矩阵与伴随矩阵的关系

1、方阵A与其伴随矩阵, *A的关系本文给出了 n阶方阵A的伴随矩阵A*的定义，讨论了 n阶方阵A与其伴随之间的关系，例如A与A*之间的关系,并且给出了相应的证明过程关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵, 对我们以后的学习中有很大的用处。1.伴随矩阵的定义.设n阶方阵伴随矩阵。它们之间有很好的联系,aila21an1A11A21An1a12a22an2* *.令AA fj n nA12A22An2，其中Aj是aina2nannA1nA2nAnn*为A的伴随矩阵.Aaij n naij的代数余子式.则称2.矩阵A与其伴随矩阵A的关系及其证明.detAAi1.IAA = A

2、A = det AI .当 A 可逆时，有 A det A证明：因为 aiiAji ai2Aj2ain A jndet A,若 i0,若 i j；j,.一 * *所以AA =A A =det A00det A= detAI .det A当A是可逆矩阵时，det A0,所以由上式得 A*det Adet AA A .det A证毕.T *TAT = A .（显然）*1若A可逆，则A1 = A .（显然）0 r A n 1 *设A为n阶万阵n 2,则rA 1 r A n 1 2. n r A n引理1.若n n n 2矩阵a, B满足AB 0,则rA r B n.证明 因为AB 0,所以B的列向量

3、是以A为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若r A n,则detA 0 .由克拉默法则知，方程只有零解，从而B 0,进而r B 0;若r A r n,则方程组的基础解系中含 n r个向量，于是r B n r,因此有r A r B n.证毕.下面证明.当r A n 1时，A的每一个n 1阶代数余子式都为零.所以A为零阵，所以 *r A 0 .当 r A n 1 时，detA 0, AA =detAI =0.由弓 I 理 1 知，rA+rA n.因 . - -一一* ， . . . . 一为r A n 1则r A n n 11 ,知A至少有一个n 1阶子式不为零.即A至少有一行不全为零.所以r A

4、1.因为r A 1,从而r A 1.当rA n时，A可逆，由1知，A也可逆.所以r A n.证毕._ . *det A, A n 1 det A一 、 . *当A可逆时，A detAA所以 det A* det A n det1n 11 det A当A不可逆时，rA n 1, det A 0.1）当n 2时. , * _* _r A n 1 ,由知 r A 0.所以 det A 0.*n 1r A n 1 , r A 1 n , det A 0 .则 det A det A 02）当 n 1 时，detA 0,即 A 0, det A* 0,贝 UdetA*det A n 1 0.证毕.det

5、A .当A可逆时，若为A的特征值，则是A的特征值.当r A n 1时，A的特0征值为零，并是n重的.11引理2.设A可逆，若0为A的特征值，则一是A 1的特征值.0证明：若00,则由0E A 0得到| A 1 n|A 0,于是网 0,这与A可逆矛盾，所以00.同时由0E A 0还有0 A 1| 0E A 0A 1 E 1 n E 0A 11 n 0n E A 1 .01la1-1d因此一EA 0,即工是A 1的特征值.00引理证毕.不妨设A*的特征值为二则由_ _ * _ _ _ AA det AE 有值.由引理2知，A若 r A*0,（即 rAA1所以0AnE A1A四即0.A 0,这说明是

6、A1的特征IAN是A*的特征值.0A n 1)时，A 0,所以A的特征值0且是n重的.若A为可逆矩阵，则A也是可逆矩阵.证明：由即可得到此结论.若A为对称矩阵，则A*也是对称矩阵.*AB B A .证明：当 A,B 均可逆时，A* det AA 1, B* detBB1,所以B A det(AB)B 1A 1 det(AB)(AB) 1 AB .当A , B不都可逆时，则当x足够大时，存在x使得A xIn, B xIn均可逆，此时 *有(A xI n )( B xl n) (B xI n) (A xI n ),这是关于x的恒等式，即 *x取零时，该等式也成立，即AB B A .证毕.若A为正交矩阵，则A*也是正交矩阵.证明：T* T *若A为正交矩阵，则AATAT A I且det A 1,由知A A A AT .再由知T*1*A A A ATATAI I ,所以A也是正交矩阵.证毕.* *n 2.一 、.A A A,其中A是n阶万阵n 2 .证明：因为AA* A*A AE,所以1）当 A 0 时，A*AA 1 .则2）当A 0时，由知r A 1 .当 n 2时，r A 0,故 A|AA.当n 2时，令Aa b ,