高等数学微分方程试题

1、专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 179第十二章微分方程12-1微分方程的基本概念、判断题1 .y=ce 2x （c的任意常数）是y =2x的特解。（）2 .y=（ y）3是二阶微分方程。（）3 .微分方程的通解包含了所有特解。（）4 .若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）5 .微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。2 .函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。3 .积分曲线y=(c 1+c2x)e2x中满足 y x=o=0, y x=o=1的曲线是。三、选择题1 .下列方程中是常微分方程2 _

2、2222d arctanx、. a a.22(A)、x+y=a (B)、 y+(e )=0 (C)、2 +2 =0 (D)、y =x +y dx；xZ2 .下列方程中 是二阶微分方程(A) ( y *) +x2 y +x2=0(B) ( y *) 2+3x2y=x3 (C) y+3y+y=0(D) y-y2=sinxd y3 .微分万程 一+w2y=0的通解是 其中c.ci.C2均为任悬吊数dx2(A) y=ccoswx (B)y=c sinwx(C)y=c 1 coswx+C2Sinwx(D)y=c coswx+c sinwx24 . C是任意常数，则微分方程y = 3y*的一个特解是 (A

3、) y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1(C) y=(x+c) 3(D)y=c(x+1) 3四、试求以下述函数为通解的微分方程。_ 2_ 2_ 2x _ 3x. 一1. y=Cx +C (其中C为任意常数)2.y=Ge +C?e (其中C1C2为任意常数)五、质量为 m的物体自液面上方高为 h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。 用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1. . sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02. (x+xy 2)dx-(x 2y+y)dy=

4、03. (ex+y -ex)dx+(e x+y -ey)dy=04. y =cos(x-y).(提示令.x-y=z)、求下列微分方程满足所给初始条件的特解1 . cosydx+(1+e-x)sinydy=0. yx=o=，42.secxdy =xdx.y * 37r = -1X=2、设f(x尸x+ 0x f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点(0.1),且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。五、船从初速 vo=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求 船速随时间变化的规律。12-3齐次方程一、求下列齐次方程的通解y八y、y1

5、 xy -xsin =02 (x+ycos ) dx-xcos dy=0xxx求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1 啜=x2+y2y x=e=2e2 .x2dy+(xy-y 2)dx=0yx=i=1、求方程：(x+y+1 ) dx=(x-y+1)dy 的通解四、设有连结点 O(0, 0)和A (1, 1) 一段向上凸的曲线孤 OA对于Oa上任一点P (x, y),曲线孤与OCp直线段0P所围图形的面积为 x2,求曲线孤OA的方程。12.4 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解3.y+1y =xsin x1.x y +y=xex2. y +ytanx=sin2x,dy y4. =o-dx

6、x y ey、求下列微分方程满足初始条件的特解冗1 . y，cosy+siny =x y x_0 =4F2 .(2x+1)ey y 2ey=4y x=0 = 0、已知f(n),曲线积分Jb Sin x - f (x)l-dx + f (x)dy与路径无关，求函数f(x). x四、质量为 M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒 m克的速率 减少，且所受空气阻力和下落速度成正比， 若开始下落时雨滴速度为零， 试求雨滴下落的速 度与时间的关系。五、求下列伯努利方程的通解2. xy +y-y2lnx=0/，12 51. y + - y = x yx12-4全微分方程一、求下列方程

7、通解1. cos(x+y 2)+3ydx+2ycos(x+y 2)+3xdy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xe y-2y)dy=0、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y 2xdx=02 y(2xy+e x)dx-exdy=0三、xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0为全微分方程，其中函数 f(x)连续可微，f(0)=0,试求函 数f(x),并求该方程的通解。专业 班级 学号 姓名 成绩 时间18112-7可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解1. y =xsinx2. y - y=x3.y y

8、 +( y )2= y4. y (1+ex)+y =0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解“-*A1. 2 y =Sin2yy xo =- y x_o =1一 2 一22. x y - y in y + y inx=o y x+ = 2 y x = e、函数f(x)在x0内二阶导函数连续且f(1)=2 ,以及f(x)- f (x) - f f 9)dt = 0 ,求f(x). x 1 t四、一物体质量为 m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为口，摩擦系数为u,试求 物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。12-8高阶线性的微分方程、选择题1.下列方程中为线性微分方程(A) ( y

9、 ) +x y =x(B)y y -2y = x22(C) y -y y xxx二e(D) y _ y _ 3xy = cos y2.已知函数yi=ex，yi=ex2_21、2x , y3=e(x-) 则(A)仅yi与V2线性相关(C)仅yi与y3线性相关3,若yi和y2是二阶齐次线性方程，yy=ciyi+c2y2(A) 一定是该方程的通解(C)是该方程的解4.下列函数中哪组是线性无关的 (A) lnx, lnx2 (B)i , lnx二、证明：下列函数是微分方程的通解iy=cix2+c2x2lnx(ci C2是任意常数)是方程(B)仅y2与V3线性相关(D)它们两两线性相关+p(x) y+4

10、(x)y=0两个特解，cic2为任意常数，则(B)是该方程的特解(D)不一定是方程的解(C)x, ln2x (D)ln x, lnx2x2 y -3x y+4y=0 的通解x2y=cie +C2e +e (cic2是任悬吊数)是方程2 y + y = 2e的通解三、设yi(x)y2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且yi(x)y2(x).y3(x).线性无关,证明：微分方程白通解为：y =Gy(x) , c2y2(x) , (i-a-cz)y3(x)i Y y ex四、试求以y= 1 (ci ex+c2e-x)+ e (ci c是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。x212-9二阶常

11、系数齐次线性微分方程一、选择题1以yi=cosx,y2=sinx为特解的方程是(A) y_y=0(B)y+y=0(C)y“+y = 0(D) y _ y，= 02 .微分方程2y“ + yy =0的通解是xxx_2x ,、_x2/cx-2-x2x(A)y=Ge -Re (B)y = ce -e2(C)y=c1e -C2e 2 (D)y = Ge +c2e3 .常微分方程y” + 3+九2)y +-i%y =0,(其中九i,%是不等的系数)，在初始条件yix=0= y x=o =0 特解是(A) y=0(B)y= Ge*+c2e2x (C) y = %x2(D) y=(% 十九2)x22x4.

12、y=e是微分方程y +py+6y =0的一个特解，则此方程的通解是 (A) y =c1e2x+c2e4x(B) y = (c1 +xc2)e2x2x3x2x ,(C) y=Ge +c2e(D) y = e (c1sin3x+c2cos3x)5. y =c1ex +c2e”是微分方程 的通解(A) y + y=0 (B) y*_y=0(C) y + y = 0 (D) y y=0二、求下列微分方程的通解1. y5y = 02. y4y +4y=03. y + 4y，+ y =04. y -5y* + 6y = 0专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 1895. y _6y 3y 10y =05.

13、y _2y y =0三、求下列微分方程满足初始条件的特解1. y 2y 10y =01x=0 =2d 2x dx2.-3x =0 dt dtt=0 = 1四、一质量为m的质点由静止 小成正比(比例系数为(t=0,v=0)开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大 k),求此质点的运动规律。12-10二阶常数非齐次线性微分方程一、选择题一一，一乙一* 一， ，、，1微分方程，y-2y = x的特解y形式为_22,(A)ax (B)ax+b (C)ax (D) ax - bx2.微分方程y“-y=ex+1的特解y*形式为(A)aex+b(B) axex+b(C) aex+bxx .(D) a

14、xe + bx. _ .* 一， r、 、*3.微分方程y “ - 2u = xe的特解y形式为2 x2 x2 x(A) x(ax+b)e (B) (ax + b)e (C) xe22x(D) (ax +bx+c)e 1al. * -/ r、 、 r4.微分万程y +4y =cos2x的特解y形式为(A) acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x)(D)acos2x+bsin2x25.微分方程y y=xsin x的特解形式为y*=(A) (ax+b) sin2x(C) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x(B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)c

15、os 2x(D) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f6.微分方程y * 4y -5y = e, +sin 5x的特解形式为 (A) ae +bsin5xx(B) ae b cos5x csin5x(D) axe+bcos5x + csin 5x(C) axej +bsin5x二、求下列各方程的通解2. y - 7y 6y = sin x1. y“ + 2y，+ y=xex3. y “-2y，+5y =exsin x4. y y = x cosx三、求微分方程 y + 9y = cosx满足y| xn = yj xn = 0的特解四、已知二阶常系数微分方程y + oty+B

16、y =(x+2)有特解y* = ex+1 _x2.6x ,求口，P,y的值，并求该方程的通解五、k为常数。试求y-2ky+k2y =ex的通解。xx六、设 f(x)=sinx+ f f(t)dt-x(f(t)dt ,其中 f(x)为连续的数，求 f(x)。0o七、一链长18cm,挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm,另一边垂下10cm,问整个链子滑过钉子需要多少时间？第十二章自测题一一、 填空题1 .已知曲线y=y(x)过点(0, 2 )且其上任一点(x,y)处的切线斜率为 xln(1+x2),则f(x)=222 .以(x +c) + y2 =1为通解的微分方程是 (其中为任意常数)3。微分方程y

17、dx+(c2-4x)dy=0的通解为4 .微分方程y + y + ln x = ax的通解为5 .已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解ex,ex,sinx,cosx,则该微分方程为二、选择题1 .已知函数y=f(x)在任意点x处的增量Ay= x2 +o,且当Axt o时，a是比x x更高1 x阶的无穷小量，y(o)= n ,则y(1)等于31J(A) 2n (B) n(C) e4(D) e42 y=y(x)是微分方程 y_y esinx =0 的解，且 f(x0) = 0,则 f(x)在(A)x。的某个邻域内单调增加(B) x。的某个邻域内单调减少(C) x处的取极小值(D) x处取极大值

18、3 .一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点p处的切线在y轴上的截距等于原点到p的距离，则此曲线方程为 22(A) x2 +y2 =25(B)y =2 +x(C)(x +9)2 -(y +9)2 =25 (D) y = 410164 .下列方程中可利用p = y, p = y 降为p的一阶微分方程的是 (A) (y)2 +xy-x =0(B) y+yy+y2=0(C) y + y2 y，- y2x = 0(D) y + yy+x = 0三、求解下列微分方程21 .求 ydx+(x y-x)dy=0 ,满足 y x = 1 的特解，12 .求y + y = x的通解1 e四、求y + y

19、 =x+sin x的通解。五、已知y1x xexe2x,y2= xex-ex,y3= xex -e2x- ex是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。六、已知函数f(x)可微，且对任意实数x,y满足：f(x+y尸ex f (y)+ey f (x)，求此函数f(x).七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).第十二章自测题二一、单项选择题1 .设 y= f (x)是方程 y 2y +4y = 0 的解，若 f(x0)0,则 f (x)在 乂0点(A)取得极大值； (B)取得极小值；(C)某邻域内单调递增；(D)某邻域内单调递减； 2x一2 .函数y = 3e是方程y 4 y = 0的(A)通解；(B)特解；(C)解，但既非通解也非特解( D)以上都不对3 .微分方程2y+5y=cos2x的特解应具有形式(其中，a,b,c为常数)_22(A) x(acos x+bsin x);(B) ax+bcos2x + csin2x(C) a+bcos2x;(D) ax2+bcos2x+csin2x3x4 .微分方程y + 6y+9y = xe特解应具有形式 (A) (Ax+Bx) e3x(B)x(Ax+B)e 3x (C) x2(Ax+B)e