A22函数的求导法则

1、2.2 导数的运算法则导数的运算法则 0 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则0 反函数、复合函数的求导法则反函数、复合函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)(3),0)( ,)()()(

2、xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推论推

3、论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例题分析例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2co

4、s)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh .,1csc2. 12yxxy 求求补充题补充题).(,0),

5、1ln(0,)(. 2xfxxxxxf 求求设设3. 设函数设函数 f(x)在在 x=0的某邻域内可导的某邻域内可导,且且).0(f 求求,3)(lim0 xxfx4. 求证求证:双曲线双曲线 x y = a2 (a0)上任一点处切线与坐标轴上任一点处切线与坐标轴构成的三角形面积为常数构成的三角形面积为常数.解解2., 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x,11)(xxf ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf222)1(csc2)1(cotcsc2xx

6、xxxxy 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 解解1.解解3. . 3)(lim)0()(lim)0(, 0)0()(lim),(3)(:,3)(lim0000 xxfxfxfffxfxoxxfxxfxxxx由由极极限限与与无无穷穷小小的的关关系系解解4. 证明证明: 在曲线上任曲一点在曲线上任曲一点(x,y), )(:),(22xxxayyyx 的的切切线线方方程程为为过过点点.222121)0 ,(), 0(:22222222222aayxxaxaayxxxaysayxxxay 切切线线与与坐坐标标轴轴的的交交点点为为222,xayxay 二、反函数的导数二、反函数的导数定理定

7、理.)(1)(,)(,0)()(yxfixfyyiyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xix 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xixxx 例例1 1.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,

8、)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yiyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xi)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xi)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyiax特别地特别地.1)(lnxx hxhxyaahlog)(logli

9、m0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00u

10、fuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例3 3.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例4 4.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092

11、 xx例例5 5.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例6 6.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx , ,求求y y ( ( /2)./2).xxy22cos1cos1 2222)cos1(s

12、incos2)cos1()cos1(sincos2xxxxxxxy 22)cos1(2sin2xx , , y y ( ( /2)=0./2)=0.例例8 8例例9 9xnxynsinsin xxnnxxnxnynncossinsinsincos)1( xnxnxnxxnxxnnn)1sin(sin)cossinsin(cossin11 .,arctan1arctanyeeyxx 求求已知已知xtwxvutwyvuyy 21解：解：222111)1(11xteeuwv 221arctan21111)1(11xxeeexxx xxxxtgxxxctansec)(secsec)(cos)(sin0

13、)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式（常数和基本初等函数的导数公式（p94）xxxxctgxxxxxcotcsc)(csccsc)(sin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)(11)(arccosxarcctgxxx 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu

14、)(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )c 3.反函数、复合函数的求导法则反函数、复合函数的求导法则.)(1)(,)(,0)()(xxfixfyyiyxxy 且有且有内也可导内也可导区间区间在对应在对应那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.复合函数的求导法则复合函数