分式不等式的解法讲义

1、不等式的解法1. 一元二次不等式的解法(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式.(2)元二次不等式的解法(如下表所示)设 a 0,xA, x2是一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的两实根，且x2判别武厶=再兰AO= 0二次函数y= tixT- + JHf a cn Xj圉歎-XL.vi-(TurKj=X2北二次方程cur1-= O,厂2 心|zH % R十扛劳十 0(avb)的解集为：x|xwa 或 x b; O(avb)的解集为：x|a 0(a 0)的解集是一元二次函数 y= ax2+ bx +c(a 0)在 x 轴上方的点的横坐标的集合.3三个“二次”的关系常

2、说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点.处理其中某类问题时， 要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析.具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系.2. 解一元二次不等式的方法：(1) 图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集.(2) 公式法步骤：1先化成标准型：ax2+ bx+ c0(或v0),且 a0;2计算对应方程的判别式;3求对应方程的根；4利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出

3、解集.3. 解绝对值不等式的基本思想1) 解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号， 把带有绝对值号的不等式等价转化 为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：(1) 若a0,则|x| va?avxva?x2va2；(2) 若a0,U|x| a?xva,或xa?x2a2；(3) |f(x)|g(x)? g(x)f(x)g(x) ?f(x)g(x)或f(x)a(a0)?f(x)a或f(x)va;(2) |f(x)|va(a0)?avf(x)va；(3) |xa1| + |xa2| (v)b,用零点分区间法.4. 一般分式不等式的解法：(1) 整理成标准型区 0(或v0)或仏

4、 0(或w0).g(x)g(x)(2) 化成整式不等式来解：1 0? f(x) g(x) 0g x2电v0? f(x) g(x)v0g xfx)g(x 尸0gxgx丰0(3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集.热点考点题型探析考点 1 一元二次不等式的解法 题型 1.解一元二次不等式例 1不等式xx的解集是()A .：,0B.0,1C.1, ：D. -:： ,0 U 1，二【解题思路】严格按解题步骤进行解析由x2x得x(x -1)0,所以解集为 ：,0U1,7,故选 D；别解：抓住选择题的特点,显然当* = 2时满足不等式,故选 D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二

5、次方程的根题型 2.已知一元二次不等式的解集求系数.21 12例 2已知关于x的不等式ax 2x c 0的解集为(-一，),求-ex 2a 0的解集.【解题思路】由韦达定理求系数21 1 1 12解析由ax 2x e 0的解集为(-一，)知a：0,为方程ax 2x 0的两gx电w0?g x丰0 fx gxw03 23 2个根，由韦达定理得 -=，-=,解得a = -12, e = 2,二-ex 2x - a 0即2x -2x -12：0,其解集为(-2,3).【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是，由不等式的解集求出根，再由韦达定理求系数x【新题导练】1不等式（a 2）x2+2

6、（a 2） -4v0,对一切x R R 恒成立，则 a 的取值范围是（）解析：口可推知-2vav2,另 a=2 时，原式化为-4v0,恒成立， -2va2.选 BA 0,若此不等式的解集为xvxv2，则m的取值m范围是A.m 0B.0v m v2C.m D.m v0火瘾鳳 2解析：由不等式的解集形式知嗚 mv0.答案：Dj/f考点 2 含参数不等式的解法题型 1:解含参数有理不等式例 1:解关于x的一元二次不等式x2 （3-a）x 3a 0【解题思路】比较根的大小确定解集f 11 y V解析：x2-（3 a）x 3a 0 ,x-3 x-a 0俩训咽或粘目rt当&3时/、*或XA3，不等式解集为

7、（xx3；当a =3时，不等式为（x3）:0,解集为xR 且 x 式 3;当a 3寸,x v3或x a，不等式解集为x x c3或xna【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：根据二次项系数（大于 0,小于0,等于 0）;根据根的判别式讨论（丄0门=0, ：0）.根据根的大小讨论题型 2:解简单的指数不等式和对数不等式1例 2.解不等式 loga(1 ) 1(a 0, a = 1)x【解题思路】借助于单调性进行分类讨论A.(4 ,2B. (-2,2C. (-2,2)D.(-a,2)（为X2,xx2)x1:X2)解析（1）当 a 1 时，原不等式等价于不等式组1由此得 1 a1.因

8、为 1-av0，所以 xv0,1vxv0.x1 -a11 0(2)当 0vav1 时，原不等式等价于不等式组：x1 1 1 或 xv0, 由得 0vxv,.1vxv11 - a1 - a综上，当 a1 时，不等式的解集是x|丄vxv0,当 0vav1 时，不等式的解集为1 -ax|1vxv.1 -a【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般 的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论【新题导练】3. 关于x的不等式63x2-2mx - m2：0的解集为()mmmm、/m mA.(,)B.(,)C.(：，)(：)D.以上答案都不对9 77997解析：

9、原不等式可化为(x -m)(x-印)：0,需对m分三种情况讨论，即不等式的解集与m有97关.4. 解关于 x 的不等式：ax2-2(a1)x4：0解析：(ax _2)(x -2)：022_2(a-1)a a2 2、当aA1=2A =x| x-21综上，所求实数a的取值范围为（丄，：）2a = 0【名师指引】不等式ax2bx c - 0对一切xR恒成立二b = 0或b2-4ac：01 a二0、2I、不等式ax bx c : 0对任意xR恒成立=b = 0或c：0题型 2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.2 2解析设f (x)二ax bx

10、c(a = 0).由f (0) = 1得c = 1,故f (x)二ax bx 1. f(x 1) _ f (x) =2xa(x 1) b(x 1) 1-(ax bx 1)=2x即2ax a b = 2x,所以2a =2,a b = 0,解得a =1,b = -1f (x) =x2_x 122(2)由(1)知x -x 1 2x m在-1,1恒成立，即m：x -3x1在-1,1恒成立.令g(x) =x2-3x 1 =(x -？)2的最大值为g(1)-1.所以m的取值范围是(_：,_1).【名师指引】mzf(x)对一切R恒成立，则m_ f(x)min; m_f(x)对一切R恒成 立,则m _ f(X

11、)max；【新题导练】8.不等式ax24x aA -2x对一切xR恒成立，则实数 a 的取值范围是2 2解析:不等式ax 4x a 2x对一切R恒成立，2即(a - 2)x 4x a -10对一切 R R 恒成立若a 2=0,显然不成立5故- 3.综上，有尹故选a：0b2- 4ac：5，则g(x)在1,1上单调递减.所以g(x)在-1,1上4若a20，则a 29.若不等式 x2+ ax+ 1_0 对于一切 x (0,)成立，则 a 的取值范围是解析：设 f(x)= x2+ ax+ 1 则对称轴为x=1150,丨上是减函数，应有 f ( )_0 :X 乞122若一a迎即 a 0 时，则 f (x

12、)在0,25-2a，若一空_丄，即 a_ 1 时，贝 U f (x)在2 2 25I2D. -311上是增函数,2应有 f (0)= 1 0 恒成立，故 a_0若 0 乞一a，即一 1 _a_0，则应有2 222aa一+1=1 0恒成立,424a2抢分频道基础巩固训练1.不等式一x2+5x+6 0的解集是_解析：将不等式转化成X2-5x-6：0,即卩 x 1x-6: 0.2.若不等式x2- ax - b : 0的解集为x | 2：x：3,则不等式bx2- ax -1 0的解集为2 2.解析：先由方程x -ax-b=0的两根为 2 和 3 求得a,b后再解不等式bx -ax-1 .0.得1 1I

13、 .-.233.(广东省五校 2008 年高三上期末联考)若关于x的不等式g(x) Ka2+a+1(x R)的解 集为空集，则实数a的取值范围是 _.解析：g(x) _a2 a1(xR)的解集为空集，就是 仁g(x)max2二命题 P 为真命题=a a 21 -a 0, 2 1).x - 2原不等式即(1一k)xk-20,x - 21 。若 k=0,原不等式的解集为空集；2 _ k2若 1-k0,即 0k0,1-k 1-k2 _ k若 0k1，由原不等式的解集为x|2x;1 k2 k3若 1-k1 时，原不等式等价于(x-仝)(x-2) 0,1 -k2 k2 _ k此时恒有 2- ，所以原不等

14、式的解集为x|x2.1 k1 k综合拔高训练6.已知a0,且a工1，解关于x的不等式:1log2(ax1) _ log4(4 ax).2解：原不等式等价于1x1xxX-log2(a一1)乞一Iog2(4a ),1 2log2(a一1)乞log2(4 - a )22Iog2【(ax1)22 Iog2(4ax)”aX_10(1)原不等式同解于4 -axa 0(2)7 分2(ax1)2兰 4-ax(3)1J由得1Vax4,1由得2(ax)2-3ax2 _ 0,- _ax_ 22从而 11 时，原不等式解为x|0 xloga2 /2当0a1时，原不等式解为x|loga2x 0)万人进企业工作，那么剩下

15、从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元(a 0)。(I) 在建立加工企业后， 要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求 x 的取值范围；(II)在(I)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x 多大时)，能使这 100 万农民 的人均年收入达到最大。解：(I)由题意得(100-x)3000 ( 1+2x% ) 100X300,即 x250 x0解得 0 x0/ 0 x3000 1+2x%)+3000ax100322=5【x 25(a+1) +3000+475(a+1)(0 x 50)(i) 当 025(a+1

16、)50 即 0a 50,即a 1,函数y在(0,50单调递增，.当 x=50 时，y 取最大值 答：在 0 a1 时安排 50 万人进入企业工作, 才能使这 100 万人的人均年收入最大60X2+3000(a+1)x+300000100则 y=7.已知二次函数f(xHax2bx c,(a,b, R)满足：对任意实数 x,都有f (x) x,且12当(1, 3)时，有f (x) (x 2)成立。822(1)证明：f (2) =2;(2)若f(_2) =0, f (x)的表达式;m1(3)设g(x)二f (x)x,0, ：J， 若g(x)图上的点都位于直线y的上方，求24实数 m 的取值范围。解析：(1)由条件知f(2) =4a 2b c _2恒成立又取 x=2时，f(2)=4a 2b c/(22)_2与恒成立,f(2) =2.(2)T4a+2b+C=2 4a+c=2b=1, bJ, c = 1 4a.4a2b+c=02又f (x) _ x恒成立，即a