04-1995年全国初中数学竞赛试题及答案

1、佃 95 年全国初中数学联赛试题第一试、选择题1已知 a= 355,b=444,C=533,则有A.avbvCB.CVbva C.cvavb D.avcvb2.方程组+=的王整数解的组数是bxz - yz = 231A.1 B.2 C.3 D.43.如果方程(x - 1)(x2- 2x- m) = 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是(三 B 竺13C V m三1-44.如果边长顺次为 25、39、52 与 60 的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为A.62nB.63nC.64nD.65n5 .设 AB 是。0 的一条弦，CD 是的直径，且与弦 AB 相交，记M=

2、|ZB r.SACABSADABI，N=2SOAB，则A . M N B . M = N C .6 .设实数 a、b 满足不等式IIA . a 0 且 b 0B . av0 且 bMvN D . M、N 的大小关系不确定 aI(a+b)I v|a|a+bII，贝UC . a 0 且 bv0D . av0 且 bv0、填空题1在 12, 22, 32，952这 95 个数中，十位数字为奇数的数共有 _个。2.己知包是右程+袞一壬的根.贝U上亠扩：的值等于_ -a + a一a一a3.设爺为正实数，贝惬数厂/-x+2的最小值x是_ -4以线段 AB 为直径作一个半圆，圆心为 O, C 是半圆周上的点

3、，且0C2= AC BC,贝 U/ CAB =_ .第二试、已知/ ACE = / CDE = 90，点 B 在 CE 上，CA = CB= CD，经 A、C、D 三点的圆交 AB 于 F （如图）求证戸为厶CDE 的内心、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数厂寻冷+1*二龙二壮一m :厂芥勺捱人：理由三、试证：每个大于 6 的自然数 n,都可以表示为两个大于 1 且互质的 自然数之和佃 95 年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1 讲解：这类指数幕的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指 数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c= (53)11=

4、12511v243=(35)11=av25611= (44)11= b。选 C。利用 Ig2 = 0.3010, Ig3 = 0.4771 计算 Iga、lgb、lgc 也可以，但没有优越性。2 讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定 z = 1,进而可求出 两个解：(2，21, 1)、(20，3，1).也可以不解方程组耳+y = 23p直接判断：因为 x 工 y(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解， 对照选择支，选 B。3.讲解：显然，方程的一个根为 1，另两根之和为 x1+ x2= 2 1o三 根能作为一个三角形的三边，须且只须丨 X1 -X2I v1 又I -XaI =:耳=

5、J4一4mED，在 CE 上取 CF= ED,则有 OF = OE，且 SC囹3ACEADEAEF 2SAOE同理，SBCESBDE2SABOE相加，得 SABCSADAB 2SOAB，即 M N 选 B .若过 C、D、O 分别作 AB 的垂线（图 3），CE 丄 AB、DF 丄 AB、OL 丄AB，垂足分别为 E、F、L.连 CF、DE，可得梯形 CEDF.又由垂径分弦 定理，知 L 是 EF 的中点.根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的 连线平行底边，并且等于两底差的一半，有| CE-DF | 2OL .即 M N .选 B .6.讲解：取 a -1、b 2 可否定 A、C、D，选

6、 B .一般地，对已知不等式平方，有Ia|(a+b)a|a+b|.显然丨 a | | (a+ b) | 0 (若等于 0,则与上式矛盾)，有霞+b枝Ia+bI lai,两边都只能取 1 或-1，故只有 1-1,即a+ b - -I a -TTT_K有 av0 且 a+ b 0,从而 b -a 0.选 B.二、填空题1.讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力.经计算 12, 22,，102,知十位数字为奇数的只有 42= 16, 62= 36.然后， 对两位数 10a+ b,有(10a+ b)2= 20a (5a+ b) + b2.其十位数字为 b2的十位数字加上一个偶数，故两位数

7、的平方中，也中有 b = 4 或 6 时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在 1, 2,，95 中 个位数出现了几次 4 或 6,有 2X9+ 1= 19.2讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把 a=逻亞代入将导致复杂的计算.由已知，有+旷原式=-曲+1)a2(a-1)( a +1)2_(a2+a)+l_ 4+ 1_ on学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2+ a作为整体代入.这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活.比如，由有由一，得a3-a=-(a1) .(由一并将代入，得于是，原式=la5+a+l)计 T)= 16(1 + 1)=20.还可由得a2+ a

8、+ 1=扌,宁即得所求.3讲解：这个y= (x 1)2 + (衣- -j= + 111,或疔竺二仝卫+ Qi.因而 x = 1 时，y 有最小值 1.4 讲解：此题由笔者提供，原题是求 sin/ CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值首先ZACB = 90tt,进imoc二；AB.与 AB2=AB2+ AC2 联立，可推出AC+BC= |AB而式、表明，AB、AC 是二次方程|ABK+学=0的两个根，解得sin75、 sin解法如下:代入己cA0B叫.2=吗五当西+匹AB时，42LtiZCAS= 6t-(ZCA = 15aA当EC=呢耳工AB时，anZCAB=蛊=盘走(N

9、CAB = 15 ).改为求/ CAB 之后，思路更宽一些如，由1 1 *Sg产詁OBC/OCS仏拇严签關产“loCnZAOC,得anZ AOC = 1 当ZAOC = 30时，ZCAE= (180*一 )-75-:当ZAOC= 150吋?ZCAS= |(lS0fl-15*第二试一、讲解：首先指出，本题有 IMO29-5 （ 1989 年）的背景，该题是：在直角 ABC 中， 斜边 BC 上的高， 过 ABD 的内心与厶 ACD 的内心的直线 分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L， ABC 和厶 AKL 的面积分别记为 S 和 T.求证 S 2T.在这个题目的证明中，要用到 AK = AL

10、 = AD .今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK = AL = AD（斜边上的高），再求证 KL 通过 ABD、 ADC 的内心（图 7）.其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连 FC、FD、FE,然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过 F 作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等.下面是几个有代表性的证法.证法 1:如图 6,连 DF，则由已知，有ZCDE的平井线连 BD、CF，由 CD = CB，知/ FBD = / CBD 45=/ CDB 45=/ FDB，得 FB= FD，即 F 到 B、D 和距离相等，F 在线段 BD 的垂直平分线上,从而也在等腰三角形 CB

11、D 的顶角平分线上，CF 是/ECD 的平分线.由于卩是厶 CDE 上两条角平分线的交点，因而就是 CDE 的内心.证法 2:同证法 1,得出/ CDF= 45= 90 45=/ FDE 之后，由于/ ABC= / FDE，故有 B、E、D、F 四点共圆连 EF,在证得/ FBD= / FDB 之后，立即有/ FED = / FBD = / FDB = / FEB,即卩 EF 是/ CED 的平分线.本来，点 E 的信息很少，证 EF 为角平分线应该是比较难的，但四点共 圆把许多已知信息集中并转移到 E 上来了，因而证法 2 并不比证法 1 复杂.由这个证明可知，卩是厶 DCB 的外心.ZCD

12、F=ZCAB = 45e二 *ZCDE,知 DF 是ZCDE 的平分线.故 F 为 CDE 的内心.证法 4:如图 8，只证 CF 为/ DCE 的平分线.由/ AGC = / GBA + /GAB = 45+/ 2，/ AGC= / ADC= / CAD= / CAB+ / 1=45 + / 1得/ 1 = / 2.从而/ DCF=/ GCF，得 CF 为/ DCE 的平分线.证法 5:首先 DF 是/ CDE 的平分线，故 CDE 的外心 I 在直线 DF 上.现以 CA 为 y 轴、CB 为 x 轴建立坐标系，并记 CA = CB = CD = d,则直线AB 是一次函数y= -x +

13、d 的图象（图 9）.若记内心 I 的坐标为（x1, y1）,贝 Ux1+ y1= CH + IH=CH + HB = CB= d满足， 即 I 在直线 AB 上， 但 I 在 DF 上， 故 I 是 AB 与 DF 的交点.由交点的 唯一性知 I 就是 F,从而证得 F 为 RtACDE 的内心.还可延长 ED 交。0 于巴，而 CP 为直径来证.二、讲解：此题的原型由笔者提供.题目是:坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点”对二次函数厂*疋+*; X 3 找岀其狡 于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点.这个题目的实质是解不等式1 lx2+ lx-1995x,求正整数解直接解，数字较繁但有

14、巧法，由1 + 2 +孟=1221= 1995 +y及 K yvx,知 1+2+ (x1)v1995V1+2+ x.但 1953= 1 + 2+-+ 62v1995V1+ 2+-+ 62+ 63= 2016，得 x = 63,从 而 y=21,所求的格点为(21, 63).经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算.解法h己知即k2+1SI si ,有 x2 x+ 18 0 时，有 x2 11x+ 18 0，得 2 x 9,代入二次函数，得合乎条件的 4 个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当 xv0 时，有x2+ 9x+ 18 0,得-6 x0,取 x = 2,4,7

15、,9,12,14；顺次代入，得(2, 2)、(4, 3)、(7, 6)、(9,9),且当 x 9 时，由Q,知y-盂再无满足尺 “I的解.对 x0，取 x= -1,-3,-6,-8,顺次代入，得（-3, 3）、（-6, 6）,且当 x J-C-6 +）2- = 0?104 4知 y-x，再无满足 yw|x |的解.故一共有 6 个整点，图示略.解法 3：先找满足条件 y=| x |的整点，即分别解方程x2 11x+ 18 = 0 x2+ 9x+ 18= 0 可得（2, 2）、（9，9）、（-6，6）、（-3，3）.再找满足 yv|x 丨的整点，这时26 时，在 2, 3,，n 2 中，必有一 个数 A 与 n 互质（2 A 1,则 d 也是 n 的约数，从而 A 与 n