高等数学6章常微分方程ppt课件

1、高 等 数 学第6章 常微分方程主要内容: 一、微分方程的根本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶的微分方程 四、二阶常系数线性微分方程一、微分方程的根本概念解解定义2定义1由上两例，得如下相关定义：定义4定义3定义5留意：通解不一定包含一切特解，由于有奇解定义6定义7定义8解ktkCktkCdtdxcossin21ktCkktCkdtxdsincos221222ktCktCksincos212ktCktCksincos2122kktCktCsincos210例1AC 102CktAxcos即：二、一阶微分方程22xyy 1、可分别变量的微分方程先看一个实例：方式：解法：两边积分 dxxfdyy

2、g特点： dxxfdxxxg由于： dxdyx yGxF ygxf反之，留意：解xydxdy2xdxydy2xdxydy22xCee21xeCCxey2例2解xxdxyydy22111221ln211ln21Cyx12211ln21CyxxyC2211yx|01C12xy221112即：故所求特解为： 例3解CtMlnlntCeM例4如：0222dyxyxdxyxyxyxyxydxdy222xyxyxy212可化为： 2、齐次方程dxduxudxdy udxduxu xdxuudu ,得其解法为：xydxdy由齐次方程的方式：思绪：解12xyxyCxyyln例5dXdY11111ckbhaYb

3、XacbkahbYaX3、可化为齐次方程的微分方程00111ckbhacbkah解1422khYXkhYXdXdY23khYXYXdXdY2XYxY12例6，dXduXudXdY uudXduXu12XdXuuu221222222CXXYY，（212CC ） Cyxyxyx282222 )10(2 CC 定义4、一阶线性微分方程 1lnlnCdxxPy dxxPCey其解法为： dxxPdxxPexPxuexu dxxPexuxP xQ dxxPexuxQ CdxexQxudxxP dxxPexuy解ydxxe12251xdxedxx11Cdxxe1ln2251xdxex 1ln2C21 x2

4、51xdxx211C21 xCx23132例7三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程： 1)1()(Cdxxfyn21)2()(CdxCdxxfyn同理可得： 依此法继续进展，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个恣意常数的通解。 )()(xfyn微分方程(1)Cxeyx sin21222cos41CCxxeyx32212sin81CxCxCxeyx21CC解例82、右端不显含y的方程其特点：解法：),(yxfy 微分方程解dxxxpdp212plnCxln1ln221lnxC例9211xCpCC12333Cxxy3、右端不显含x的方程yy

5、fy ,微分方程其特点：dxdpy dxdydydpdydpp解法：这是一阶微分方程，可解解dydpp02 pdydpypydypdpCyplnlnlnyCp1CC1例1021lnCxCy四、二阶常系数线性微分方程1、线性方程解的构造定理6.1 0)(111 yxQyxPy 0)(,222 yxQyxPy0)()()(221122112211 yCyCxQyCyCxPyCyC证明即：了解如：1Cy问题：线性相关性：如：0sincos23221xkxkk定理6.2 如：定理6.3证明 xfyxQyxPy*)( 0)(, YxQYxPY xfYyxQYyxPYy*)(如：定理6.4证明略0)(2r

6、xeqprr2、二阶常系数线性齐次微分方程分三种情形讨论：A.2422, 1qpprxrreyy2112xqpe422B.221prr如何求得第二个特解呢？由于)(11urueyxr)2(,2111ururueyxr 0)()2(12111 qurupururuexr0)()2(1211 uqprrupru0 u)0, 02(1211qprrprCxu xrCxey1xrxrxeCeCy1121xrexCC121C. ir2, 1xiey1xixexsincosxiey2xixexsincos21121yyyxexcos21221yyyxexsinxeCxeCyxxsincos21xCxCex

7、sincos21综上所述 即：rxexCCy21xCxCeyxsincos21xrxreCeCy2121解0322 rrxeCy1xeC32012 rr2312, 1irxey21xCxC23sin23cos21例12解例11例13解0122 rr1,21rrtetCCs21 *41CteCs2tetC24*22Ctets243、二阶常系数线性非齐次微分方程 xQxQeyx* xQxQxQeyx 22*，那么： xPexfmx情形1： xQxQm设mmmmmbxbxbxbxb122110 xxQxQmmmmmmbxbxbxbxbx122110 xQxxQm2mmmmmbxbxbxbxbx122

8、1102综上， xmkexQxy例14解032 yyy0322 rr11r3,2r10*bxby0*,by 0,*y13323100 xbbxb13233100bbb31110bb例15解065 yyy0652 rr3, 221rrxxeCeCY3221xebxbxy210*xebxby210*则xebx20 xebxbx2102110202222bxbxbxbex110202*2222bxbxbxbeyx1002224bbxbex1010202322622bbxbxbxbexxbbxb100220212100bbb12110bbxexxy2*121*yYyxxxexxeCeC23221121 xPxPexfnlxsincosieePeePexixinxixilx22xinlxinleiPPeiPP2222 ximximexPexP其中： iPPxPnlm22iPPnl22 iPPxPnlm22iPPnl22 qyypy ximexP*2*1*yyy又 ximximexQexQ ximximxkexQexQexxixQxixQexmmxksincossin