顾学雍高等数学说课与讲课分享

1、顾学雍高等数学说课与讲课 顾学雍：非常荣幸高兴有机会跟大家探讨数学这门基础课在高职高专的环境里如何发展。先说这个严重的挑战，我经常听一个笑话，不喜欢上数学课的人常说“上帝啊，如果这是最后一个小时，请让我在数学课堂里度过”，说明讲这个笑话的人非常痛恨数学。我今天有一个更严苛的任务，除了讲数学课以外，还要花一个小时讲清楚怎样讲数学课，这是非常困难的一个挑战。我想有挑战才会有机会，学工程的人、学数学的人最喜欢难题，今天讨论的就是怎样讲数学。 基本上任何教学的目标和背景是要讨论学生有怎样的吸收能力和动机，整个环境的设计和实际的教学内容有非常大的关系。说课的时候基本上同时提到现在所面临的一些教学的困境，

2、以及在实际特定的教学内容里怎样有可能使用各种各样的工具和方法论来帮助我们解决目前我们看到的一些挑战。最重要一件事情，学习永远是自主发生的事情，没有任何可能老师用强灌的方式灌到学生脑子里去，教学的方法长久以来就是怎样引导学生整体一起互相帮助对方学习，产生一种学习性的文化。所有做到这样的学校都是非常好的学校，我们当然希望全国的高职高专学校都进入到这样的状态。 今天讲的是高职基础课是高等数学这门课，一般学校里写的是“简明微积分”或者“初等微积分”，都属于大学的高等数学课。绝大部分同学在高中时候都开始对基础课失去了兴趣，一天到晚做算术题很枯燥，很多老师也告诉学生，高职高专的学生相对于清华北大这样的学生

3、素质要薄弱，我今天跟北京工业职业技术学校进行了互动，之前问了自己班上大三学生一些相关的问题，很多答不上来的问题和北京工业职业技术学院的学生是一样的，相信无论是大学还是在高职里面对的基础课有很多相似之处。 有很多的行政人员也给我提出，目前最大的挑战是学校数学教师能力不足或者教学器材、软硬件的条件缺乏支撑。我在其他地方也看到很多类似的现象，基础课是有挑战，但是我们也有办法解决这些问题。传统一般的数学教学的中心内容绝大部分的同学甚至老师，一般的社会人士都认为，数学就是做一些符号的运算，做一些数字上的运算，做一些解题的动作，这些动作的技能是数学的主要核心，其实我们在高职高专里主要目标并不专门是训练这些

4、数学家，发表一些特别艰深的数学论文，我们的目标是希望高职的学生在毕业之后能够把抽象的数学知识转化成为具体的应用实际能力，能够变成一种实用导向的高技能人才，他们的数学知识必须把几何形状、微积分里面无限小或者无限大的概念映射到平常的生活当中，把数学里的理念减少加工上面的错误。这些知识在纯数理上不体现，让学生专门做一些符号解题技巧，学一千年也学不完，我想学生也不太会用。我希望学生在上课的第一堂课，高职学生学数学的中心是培养他们的应用能力，这样的课程设计怎样做是一个挑战。 经过很多的讨论和跟很多高职高专的校长讨论，也得到了查建中教授的很多指导，我们发现最核心的问题是很多的学生甚至包括大学的学生，他们其

5、实学工程专业的目标是希望在毕业之后找一个工作，不认为个人的长久价值是在技能能力的层次，而是在于薪水的高低。这样价值观的确立如果没有办法有效的告诉所有的学生，你们学数学、学工程技术主要是提升技能，你的技能好，就像一个剑客好他希望独霸江湖有很强的剑术能力，做数控车床，做其他各式各样的技能，一个技术人员必须真正的自己感知到自己技能是整体的一种哲学的价值观，这是我们提供给最核心、最基本的目标。在这样的条件下，我们要告诉学生，而且要提供他们相应的工具，帮助他们创造主要思辨，主要解决问题的条件，提高主动性，自然要让学生主动发挥行动力，我们看怎样使用工具和互动的环节，怎样使学生之间互相竞争、互相激励的过程中

6、达到这样的条件。 今天讲高等数学，核心的概念强调如何使用数学化的思维真正的帮助学生统领或者了解、组织不同领域的信息的能力，其他的科学包括文学、计算机科学，这些知识都是基础课，如果说你做的是电工学、汽车机床，它的技能就有相对的界限，但是数学是贯穿各种领域的逻辑思辨能力，我们怎样用这样的逻辑思维证实给学生看？ 先做简单的数字分析，基础课根据我的调查，英语在三年之中高职高专要学二百以上的学时，计算机至少有50个学时，数学课有60-90学时，这是非常大的学时分布量，为什么上这些课？主要的目标是提供他们一种循序渐进知识的结构和内容。今天讲的是函数这堂课，但是在高等数学这门课包含了四个大类，函数、微积分、

7、解析几何、数值计算。函数对高等数学就像一般的英文或者语文里面的语汇，微积分是方言体系，解析几何中文里的象形文。数值计算就好象占卜，因为永远不精确。计算机也是一样，没有语汇就没有办法形成方言体系，不懂得函数就没有办法做微积分，不懂得数据或指令的结构不可能做编程语言的练习，这些知识循序渐进，我们必须要让学生知道，他们事实上在学课程的过程当中是为自己长久以往的发展演进成为一个先进的高技术人员的条件在做准备。更重要的事情，在今天的时代如果你没有足够的语言能力，你吸收国外的资讯就会受到限制，没有计算机信息来源量就受到限制，所以其实所有基础课都是应该纵向的，语汇、语言能力、计算机能力会帮助你学数学，同时数

8、学能力比较强之后，也可以看懂比较深的专业技能教材，甚至专业技能的文件，所以对学生有很直接的帮助。 我也花了很多时间跟学生沟通，我问他们到底学数学是不是很重要，几乎每一个学生都说数学非常重要，他们也看到了数学这些东西的可能性，但是很奇怪，真正开始上课的时候他们就出现了一些学习习惯上的问题。那么老师能做什么呢？我问同学第一个问题就是什么是数学，什么是函数。同学回答，买两个萝卜，买两个青菜加起来有多少钱。这不是数学，是算术。我们讲高等数学打破数学只能做算术非常限制性的概念。今天特别特提出函数，函数是高等数学或者任何数学的抽象第一个概念，什么是函数呢，讲了半天讲不出名堂，函数是非常简单的概念，只不过是

9、两个集合之中元素之间的映射关系，就是两个不同类别事物的相应的关系。函数是不是只能够描述数字之间的关系，大大不然，不同函数的表达形式都可以当做某种集合里特定的元素，这三张图描述的是同一个函数。再强调一次，高等数学之所以称之为高等，就不再是我们小学所学的算术的概念，所以很多老师说我不懂数学，确实是不懂，其实没有任何一个单一的可能完全理解数学体系，高等数学把数学在比较抽象的层次分成四个大类：函数、微积分、解析几何、级数（数值运算的方法）。绝大部分高职高专的课本里都是以这个方式分类。所以其中之一的方向都是非常庞大的知识体系，要求透彻理解是非常困难，对老师来讲任何的老师也不见得有这样的素养会理解全部的东

10、西，怎样让学生在很短的时间内掌握这些概念。 之所以要讲函数，高考是微积分、解析几何、数值运算三个不同领域支持的最核心的理念，是贯穿三个领域基础上的公约数。就好象英文里面的A、B、C字母一样，函数是另外三个领域里最核心的概念，如何把变量和因变量之间的关系进行描述。老师告诉学生，如果你学了数学，你的整体的素质会提高，个人的整体水平会提高，有能力学更多的东西，思维会变得比较精密。但是同时我们也希望整体的学生水平都提高，如果一般的学生都是数学的尖子，自然其他数学不怎么好的人有了支撑点，会很快的学会。我们的目标不是教会一两个同学得冠军，我们的目标是让整体学生的水平同时的提高，我们的目标是支持互相跟老师、

11、同学们一起学习，这样一个活动就不是对单一的元素做操作，而是对一个集合做操作，因为一个班级是学生的集合，所以我们在这种情况下就用到了函数，函数是集合之间的概念，我们就要用数学的概念分析一下我们怎样设计整个的教学过程。其中一个重要概念是数学最核心的思路，归纳性、演绎性的过程是逻辑、完备、对称，班级的学习动力归纳为四类。 （图）斯坦福大学法学家提供的概念，驱动网络行为的四力。这四个不同的角色代表四个不同力量，他们是上下左右对称的，第一个原文是Architecture，仔细看完两三百页的书可以总结，Architecture在我们今天讲的内容里主要是工具和方法。第二个Law（评价），怎样让老师使用他的行

12、政力或者评价的能力，帮助筛选和激励学生的行为，以及阻止学生做不好行为的习惯。这两种一前一后，工具和方法必然在学生开始学习之前就存在了，法令或者评价是学生做完之后才进行的，所以是前后对称或者平衡的。第三个Market（需求、兴趣），猪八戒看到好吃的东西就有需求和兴趣，这种需求就是吸引力，如果说数学非常具有吸引力，向面包、美酒一样学生自然往前冲。第四个Norm（环境与现状），在今天的说课里描述了一种环境和现状，我身边的同学天天开夜车，学新的数学理念，我不做就特别傻，环境和身边的同学都有这样的常态，自然学生就跟着做。一个是市场的需求造成的吸引力、拉力，一个是学生之间、学校整个文化环境造成的推力，推动

13、学生就算不想学旁边人学你也得学，一推一拉又是平衡和对称。为什么强调平衡和对称，在平衡和对称的过程当中才可以全面性的考虑问题，就这是数学理念核心的想法。 四个力量怎样布置到学校中呢？第一件事情，学生学习过程中有怎样的学习约束力，有了比较好的工具，学生学习的效能与没有工具有差异，如果教学生做数控机床的编程，给他一架钢琴，想象怎样做数控编程是很困难的。同样道理，不给做计算机，当然学起来是非常困难的。返过来，不但给计算机，还给模拟器材，给可视化的东西，给虚拟介质，自然学习效果不一样。工具是很重要的一个元素。学校可以提供什么样的手段？下面写了三个不同的工具，都是在网络上可以帮助学生互相学习的工具，开源及

14、互动化的知识库、课程内容管理系统、网络化的版本控制服务，这三种工具都是免费的，任何人都可以下载装到自己的机器上，可以在校园网上使用，国内如果有相应的内容就不需要占用国际的网络公共带宽。在非常少的人力和资源之下，请了助教把三四种工具装在学校的网络上，学生就做了很多奇怪并有趣的活动，当然也开放给其他同学做，有些同学上网有困难是另外一回事儿，学生通过这些工具写百科全书的内容。 光是让他们看到内容不够有意思，最重要学生的学习活动是一种人的行为。老师对学生实际的行政控制能力其实只有3-6小时，要用好这3-6小时激励学生剩下的所有时间，这里面最核心的理念，要上好一个课内的活动，真正要上出这种感觉，上出这种

15、效果，其实学生如果没有做过课程的预习，课堂互动效果会很差，因为每个人走进来没有进入课程的状况，我们要想办法设计课内的结构，帮助他不但做课后复习还要课前预习，这里面是简单的分类，老师可以备课，但是希望同学也花一点时间展现做作业的成果，甚至做一些报告，今天时间关系不会做长时间的报告，有了团队活动也可以做报告，保证小组里学生之间会有比较强的推力，帮助懒惰的同学多做作业。随堂测试也是很有效的效果，每堂课都设计这样的活动，让学生发现每次都要展示这样的成果，都要证明自己是聪明的同学，自然就有一个比较活跃的教室的气氛，大学终究是探讨自己未来前程的环境，必须让同学们养成这样的习惯。 评价指标的驱动力。唐三藏念

16、紧箍咒孙悟空就倒霉，评价结果必须在做错事时才念，如果没有做事情就念紧箍咒，老师就没有了实际的威信。怎样才能有效的评价，其实评价的能力跟他所用的工具有关系，工具不好，不知道学校在下了课之后怎么做，所以我们就提到Norm的工具，全世界很多的学校都在用这个工具，这里是清华学生上网平均使用的次数，可以使用Google工具知道网页上有什么样的地方，什么样的人上过，还可以精确到哪个学生看多少东西，这些反映了学生下课以后学习的行为，这些讯息可以相对来讲客观的帮助老师知道哪些学生真正的天天盯着学科做空闲。我们可以使用廉价信息工具辅助老师做精确的评价，评价精准自然学生就会知道，用这些工具反映自己的学习进程，反映

17、自己的学习习惯，怎么学习的效果比较好。个人作业代码量变化，知道每天放到多少源代码，知道谁做了多少变化量，都有现成的工具产生报表，不需要花时间写软件，这些工具帮助老师精确的展现学生学习的习惯，这个工具对学习的应用还是比较先进的使用法，这个工具是完全开源免费的。 不管工具再先进，老师再严厉，学生不想学一点办法都没有，要想办法找到学生主动学习的意识，必须知道学这个东西有真正市场的需求，个人觉得很有趣，自己想学，这种行为都是一个目标，但是都感觉很难。所有的人，尤其是中国人经常说这句话“学好数理化，走到天下都不怕”，大家都知道数学是有价值的，但是有点功利性，问一个伟大的数学家问他数学的技能哪里来，他说是

18、在纸上画出来的。把数学的概念拿出来做应用，也是另外一个层次的过程，也需要相应的实训的环境，纯粹做方程式纸上推导的数学家不见得是很好的工程师，但是都是一些实训的技能，在自己的环境里是有价值的技能，高职学生的数学素养实训应该怎样做呢？实训素养必须展现在他们能否实际使用这些解题的技能，或者实训的数学思维的技能，帮助他们解决或者至少引导他们思考工程上面的问题，如果不能思考的话，解很多题也觉得没有价值。 今天提到的专业是数控专业，20个学生今天上台都是数控专业的同学，一个学校的数控专业学生，不给他们上机的机会，自然这些学生不会学到太多技能。如果教他们数学的理念，不让他们在实训当中获得数学思维的技能，自然

19、而然他们也不可能变成真正受益于高等数学的学生。打珠算要给算盘，不能全是心算，所以（图）三个不同的软件是现在国内数学教材经常使用的工具，这些工具很大一部分是开源的，屏幕下列的绝大部分软件都是函数编程语言，这些函数编程语言跟我们的课程是有关联的，这些软件大部分免费，是专门用来训练，帮助数学家展现一些比较复杂的数学现象的工具，而且这些工具都是有价值的实训技能。在美国告诉他们，用任何上面的语言做的非常好，他们觉得这个人是具有实际工程能力的人，训练这些学生使用这些工具是有必要的，而且对他们整体长期的帮助是很有价值的，看到价值他们才看到兴趣。 当然把这些工具介绍给这些同学之后，不管是清华的同学还是在北京工

20、业职业技术学院的同学，他们马上开展了相关性，一法通，万法通，你会编一种程序，编清楚了，用数学函数的关系理解他们之间的关系，会看来做函数的可视化和做机械加工是一对一直接对应的关系。如果有了这些技能，将来的工资比较高，找工作的机会比较多，他们自然就会想学，自然兴趣也很重要。 学习氛围的推动力。沙僧在西游记里描述成被动的人群或者群众，代表着被随波逐流，人家往哪里走他就往哪里走，人家说什么他们他就是什么，每个人偶尔都做一下被动群众，环境的素质非常好，自然任何独立的个体也会受到影响，大家都是短跑健将，八成天天出去拉着我短跑或者长跑我的体力也不差，被动的氛围对同学具有非常大的振动力量，我们希望创造主动学习

21、的文化形成学校的常态文化，就造成可持续创新的学习力量。要怎样做呢？1、如果让一百位、一千位团队一起做很困难，要把人分而治之，小组安排很重要。2、课堂内的活动，必须帮助小的团队展现他们的结果，小团队看到他们可以在课堂上表现他们的优势，课堂上表现的好，课后会花非常多的时间预备和准备。所有的学习一定都是如此，没有什么人上课之后就变成了伟大的数学家。3、网络化社会把氛围拉的更大，不是只有人面对面才有激励，在网络上有人做的很好，你也会受启发。这是我们希望做这个事情的方法，就是我们可以使用网络化的资源帮助学生，告诉学生怎样做他们的作业，怎样做预习。 说课总结。今天讲的答题概念，教学活动设计实际上可以借鉴数

22、学中的集合思维，要把整个班级当做一个集合来考虑，想这个集合有什么特性，怎样使整个集合所有的人互相激励，发生新的效果。对称思维，不光在事情发生前准备，事情发生中停顿，同时要有吸引力推动你，这样一个平衡对称的想法在数学里无处不在。教学的效能应该来自四个类型互补、对称、平衡的动力。 我们希望在课堂中大体展现四种力量。今天讲高等数学只有30分钟的时间，我们不可能把整个高等数学200、300页课程内容都全部涵盖完毕，大家记住高等数学不是算术，从头到尾就是一个在大学里把3-4个不同数学的大领域知识用函数的理念来贯穿的一个新概念，在高数里面勉强可以说，高数里面所思考的抽象层次不是数字而是在函数的层次。 第一

23、课：高等数学就像语文一样是循序渐进的课程，不懂得最大公约数、最小公约数不可能知道其他的知识，所以第一课我们就讲函数。函数讲什么呢？我们常常告诉同学，学数学就是训练你的逻辑论证思辨的思维，函数的第一课绝大部分课本就谈下面的四个基本的特性：有界性、单调性、周期性、奇偶性。这三四种性都是逻辑性的特质，要不就有界，要不就无界，要么单调，要么不单调，要么对称，要么不对称，任何事物之间的关系，逻辑特性都一定可以用这三到四个不同的特性来判断，所以说即使你不知道精确的数值，看形状没有算术的情况下都知道有没有这样的特性，这种情况就是高等数学最核心的精神。你可以在函数的基础上做判断，而不是在数字的基础上做判断，这

24、是高等数学一个非常重要的抽象思维，进入大学之后必须要知道的知识。 看一下知识点怎样分类到应用里去。讲课目标，希望让学生利用函数的特性对数学或者是其他非数学的知识应用，能否掌握这些逻辑性的过程。我要强调一个概念，这个过程认知的能力、技能需要长时间训练，否则学生一定会出错，待会儿在课堂上我也预计了他们会出错，出错的人有惩罚，所以这就涉及到评价，当然还有奖励，这才有对称性的效果。掌握函数的概念是理解高数的必要条件，但不是充分条件，所以今天不是希望把30分钟讲完之后现场所有的来宾以及同学就说理解高数，知道30分钟所涵盖的内容只是函数的四个特性，会观察他们学习的内容。最后强调，函数只不过是不同集合和变量

25、之间交互关系形式化的表达。 数学实训方法：全世界各个大学都知道这是一个非常庞大的产业，高等数学是一个绝对必须在文理学院都把数学当做基础课，他们花了很多时间做了非常好的教材。pearson这样的大公司都花了很多时间做了互动式的教材，我们也借用了很多里面的教材内容帮助我们理解其中的特质。（图）比如什么是对称性，对Y轴对称，对X轴对称，对原点对称等等。我们不但在国内可以有相应的支撑，到国外在网站上也可以得到很多免费的教材，学生看到了这么多奇奇怪怪的东西在网络上，发现可以这样学，他们也这样做，其实很多东西不是我找出来，是学生找出来，或者学生在网上下载展示给其他同学，帮助其他同学理解。老师最重要的事情不

26、是灌输什么东西，是老师要帮助学生引起他们互动的学习习惯，这个学习习惯会刺激学生整体的兴趣。 今天谈的是四个逻辑特性：有界性、单调性、周期性、奇偶性。但是这么干的说法对学生理解是困难的，我们要看平常都这样说：Y=F（x）=X×X，数学尤其在工程的课本或者工程技术的文件里变成语言的一部分，如果不能够很有效的让学生习惯或者愿意接受这种语言的习惯，将来再发展接受性有很大的困难。今天课堂上的结果不只是30分钟，台上一分钟，台下十年功，我们不是让学生台下准备十年做上台的30分钟展示，学生要知道，每一次上课，到了课堂这么神圣的地方，他们在台上发言，必须在台下准备预习，这样才不会浪费其他人时间，这是

27、基本的文化，如果他们上课说错话，做措事，下课一定要复习，纠正上次做错的事情，这是同心圆的概念，周而复始，学习也是复发的行为。为了保证他们之前预习，他们要之前写200字互动式的简报，不但要写对这个认识，更重要的是变成电子简报，今天现场可以看到他们的简单互动，工具是使用互动式的函数编程工具作为互动平台，我们使用的软件是正版的，绝大部分现在高数的课本都已经在使用这个软件当做教材的一部分，这也是为什么选这个软件的原因之一。 讲课小结。如果我们不能够让学生理解函数不是算术，他只会继续的痛恨数学，勉强让他们过关，后面所有的专业技能事实上在很大程度上就形成了学习障碍。但是障碍了函数理念，只是必要的学习高数和

28、其他更深工程科目的条件，不是充分的条件。高数的价值一开始就把课程编程了一个概念，把三到四个不同的数学领域以函数的理念加以贯穿，自然可以想象，我们可以用函数的理念贯穿其他超越了数学领域之外的认知的行为习惯，行为习惯是反复不断、周而复始、平衡性、周期性的，这样的情况我们只有增强他们不断的实训经验，才能创造真正的学生从心底里同意的学习价值观，认为学习像每天吃面包、看电视一样是一种享受。 高等数学的知识，是对学生逻辑思辨能力，有绝对直接的帮助，函数的概念尤其是函数的四个逻辑特性帮助他把任何世间万物相变化的关系，有逻辑的条件做分辨，这是为什么高数把它当做实训课程练习逻辑思辨能力的可能性。高等数学像英文、

29、计算机一样都属于基础课，任何一个基础课学生能力薄弱，对接下来吸收新的知识必然会产生困难。我在跟同学交互的过程中发现，很多同学大一刚进来，上机的时间不多，计算机房的条件他们也不熟悉，所以一开始第一个礼拜他们的学习速度相对来说比较慢，一旦掌握了技能之后，他们突然变成了具有学习效果的同学。这些知识都是实用技能，必须使用实训化的方式增强技能，利用网络化的工具帮助我们使用全球的教学资源，今天展示的是地区局部的教学资源，无论如何都要把所有学生以网络的方式联合成为一个整体和集合，从整体的角度考虑学生的素质，不是单一的培养哪一个单一的大学生。 刘洪一：下面请北京工业职业技术学院的同学到上台。刚才顾老师通过说课

30、的形式把高等数学这个非常抽象，非常艰深的一门课程讲了自己的理解、改革和设计，最后这几点我印象非常深。他强调了高等数学注重培养学生的思维能力、思想方法，不仅仅是算术。高等数学的目标要提高同学的整体素质，高等数学也是一种技能，和计算机、英语一样是一种技能。特别感兴趣的一点是，顾老师说高等数学也可以进行实训，我特别期待这门课怎样像专业课一样“做中学”、“学中做”进行实训。他提到，高等数学可以利用先进的媒介享有全球的资源包括软件系统等等。下面期待着看顾老师怎样把这样一个非常抽象的、非常理论化的课通过和学生的互动，通过“做中学”、“学中做”把知识和改革的思路体现出来。 顾学雍：现在进入讲课的过程。同学们

31、，现在全心全意听我的动作。第一，所有的同学都已经交了作业，现在做了三页互动化电子笔记。第二，预习函数的四个特性，请同学回答。200字写所有的物理现象，经济函数、美术等任何东西，看到任何的周期性、有界性、奇偶性、单调性都写到200字的内容中去，我发现很多同学事实上连电子邮件都没有，后面三个礼拜你们大概都可以有电子邮件的网站，更重要的是他们习惯去特定的网站搜资料。为了减少他们的搜索量我指定了特定的网站，这里面有很多的特定课程互动软件，学生们可以拿来做参考。 首先很快的复习一下函数，函数就是两个集合之间的映射的关系，很多人可以把它看成一个图形，X轴和Y轴之间因为自变量和因变量的关系，如果是Sin的函

32、数，把所有点划成蓝线的集合就称之为把函数可视化。其实没有人知道这是一个真的Sin值，这张图上没有把数字写进去。上面没有精确的写出来是不是真的6.28，可能是6.29，为什么告诉你学函数用这样的方法学呢？函数是从自然现象反过来看，先把方程式放一边，数字放一边，先想这个函数有没有周期性，有没有有界性，有没有对称性等等。这个例子里，Sin函数是有周期性的概念。 老师：这个图形有没有周期性？ 学生：有周期性，周期性是2。 老师：没有周期性，因为只有2，超过了就没了，0之前也没有，没有看到任何反复出现的数值，这不是一个周期性的函数。但是我们知道它的函数原来写的时候是Sin函数使用两次的结果，图象移了一点

33、，就不再是Sin函数。这个地方实际的数值从Sin函数0的结果是0，2的Sin是1，再做一次Sin变成了Sin1，不再是Sin了。这个过程知道一个很重要的现象，看图形就知道数值是错误的。高等数学第一件事情就告诉你放下屠刀立地成佛。高等数学第一件事是告诉你趋势和规则，这里看不到周期性的规则，就不应该讲它是周期性函数。其是我是在欺骗你，为了补偿你，就让你看英特尔之夜。大家注意，不要讲错话，讲错话下次没有任何奖赏。 为什么要讲函数呢，它在高等数学里贯穿了所有讯息。如果画一张图，一点一点给它需要很长的时间。用简单的sin函数的形式Z=Sin（x）+Cos（3y），使用画图的函数可以把函数的数值转移成为图

34、形，所以这种情况就是把方程式的文字领域的知识经过一些数字的转换，也是一个相应对应的关系映射到图形，同时在X方向是Sin，在Y方向是Cos，可以把讯息做很多的取样，变成一个相应的函数。 （用音频辅助演示理解） 要看函数在数学的方式表达，为什么学数学，把这么多数字信号的讯息浓缩成写一个方程式，把不知道的图象解析成一个方程式就是解析，解析的过程要涉及到函数基本的语法，就像什么是名词、什么是动词一样。函数的语法也很简单，首先讲函数名、函数的自变量、因变量，在这个例子里如果写y=SinX，x是自变量，Y是因变量。数学家为了偷懒，经常把希腊字母或者其他字母代表很长串的东西。如果把字母换一个别的东西看一下行

35、不行？试一下编程语言能不能写中文，其实写什么东西都可以，函数名称有两个简单的结构，一个结构是函数的名称，一个是因变量，这个因变量算出来的结果，右边讲算法，没有算法就没有结果，这是自然的事情。函数要理解它，就是自变量、因变量之间的关系，这个关系要给一个名称，这个名称可以为“中文”，当然写别的字也无所谓。 什么叫自变量，什么叫因变量，尊重大师的成果要秀给你们看。自变量所有的集合就是X的可能集合叫做定义域，在Sin函数的定义域是从哪里到哪里？ 学生：Sin函数的定义域从-到。 学生：Sinx的范围从负无穷到正无穷。 顾学雍：太好了，因为太简单，没有奖品。 老师：Sin函数的值域是多少？ 学生：-1到

36、1。 老师：右边是Sin反函数，刚好把X、Y倒过来，哪一条线对称？ 学生：关于中心原点（0 0）对称。 老师：其实是对45度角对称。我强调一个重点，所有同学今天只有一个条件，比声音大小和举手速度。大家知道Sin函数的反函数是RSin。这里描述的是Sin函数，X的变量可以为T变量，相对于红点的高度是Y变量，这是一个数值之间的关系，一般人所理解函数的基本功能，这个方程式写起来很简单，定义一个Sin函数，把它画出来，就变成了图中的样子。这不是重点，今天告诉你们一个比较特殊的现象，函数所谓的自变量和因变量可以不是一个数字，而且是一个向量，函数映射不同领域的关系，这两个领域可以是两个向量，从向量到矩阵，

37、矩阵到向量，矩阵到影像，影像到声音都可以。以两个图形为例，一个是火车，一个是雷达。两个因变量，一个因变量是图形本身，一个因变量是次数，使用nest函数的次数，这个函数定义域，每隔三个做一次进展，三次的函数叫Blur，三次之后右边的影像就变得比较模糊，加六次更模糊，加九次就越来越模糊。所以函数可以有不同领域的自变量，自变量是函数，也可以是影像。函数只是描述不同事物之间的关系，不仅是描述数字之间的关系。 再强调一次，函数的主要工作不光是了解数字之间的内容，最重要的是把不同集合的特色从一个领域到另外一个领域。“定义域为英文语句，值域为说话声音”，不相信我放一段声音来看。我发现一个现象，他们把我们每一

38、个字母当做一句话出来，再做一个简单的例子，我写文字竟然可以出人讲话的声音，自己做了一些翻译。 接下来做简单的例子，如果要学电工会用到示波器，最重要的事情是所有现场同学要学会做Mainpulate，帮助你做所有函数解释的环境，做的最好的同学有奖，还有一个很重要的概念就是做复合函数，什么是复合函数？如果你有自变量，它映射到另外一个因变量，这种情况从X、Y两个值开始，映射到下面一个函数X、Y，但是这个值可以在经过一个F的函数再变化，所以这个函数是一个复合函数，把F函数的结果再次的做到上面。下面告诉我们这里有没有单调性的特质？ 学生：我觉得有单调性的，当把红色方块里面的原点往上走的时候，绿色往下走，数

39、值是单调减的。圆里面的点是单调增的。 老师：算你答对，但是没有服从我的规律，今天还是没有奖。 接下来看一下函数的特性。今天重点不是我来表演，是你们来表演，四个特性有界性、单调性、周期性、奇偶性，看你们的作业，有没有同学做有界性的例子非常好，自己愿意举手的？ 学生：我的例子是在网站上做的电梯模型。电梯总共有八层，坐这个电梯不可能停在八层以外或者别的楼上，这就体现了函数值域的有界性。 老师：自变量是什么？ 学生：电梯里面自动操作的钢丝绳，拉动的变化。 老师：你是我碰到的最抽象的职业技术学院的学生，别人坐电梯都想到按按纽，你想到用钢丝。 学生：我是从网上找的一个螺丝转动的有界性问题，请大家注意观察螺

40、丝的转动，螺丝是不可能转出圆盘的，因为底下有一个螺丝的顶部被挡住了，所以体现了一个有界性的问题。 老师：实际上有界性是机械设计的概念。什么是自变量？ 学生：自变量是螺丝的顶部。 老师：现在控制的是什么东西？ 学生：螺丝的转动。 老师：所以什么是自变量？ 学生：螺丝。 老师：螺丝角度的转动是自变量。自变量、因变量要搞清楚，为什么今天要做这个练习的原因就在这里，如果搞不清楚什么东西是你在控制的，其实这个就是自变量，可以控制的元素和发生结果，因为你的控制发生的结果，所以结果为因变量。搞不清楚这个概念就不是学函数，函数的概念非常重要，这才证实你逻辑的判断能力，说明目前你们还没有到家。 有没有学生讲一下

41、单调性的例子。 学生：我找的例子是两桶水，高度的水只能到低处的水桶，不能倒流。我们可以大体预测它的一个趋势，例如出租车和公交车的计价方式随着路程的增加价钱单向递增，不可能你坐的路程很少而计价方式越来越低。 老师：两个变量相对变化的关系，距离长度跟费率是相对应的增加，而且永远相对应增加，不是发生司机倒贴钱的情况。 请看图中的函数在这个定义域里是不是单调的函数？ 学生：这是单调函数。 老师：为什么？ 学生：随着自变量的增加函数值增大。 老师：用眼睛看还是头脑算？ 学生：图像。 老师：非常好，你帮助了一个很重要的概念。今天很多人做判断，是从图像、从经验里判断这个函数的特性，你根本就没有做数值运算就断

42、定他单调增加了，但是是正确的。很多的人每一天观察各种各样的现象，包括在计程车里越坐越久，花钱越多，紧张不得了。就是人类直接体验单调性的判断，即使没有上过数学课的人也知道单调性。数学在这种情况下被证实，确实它无所不在，即使不学，也有部分的能力。很多同学现在因为搞不清楚什么是自变量，因变量，所以你们说话的逻辑性不够严谨，会说错。 下面做一个周期性的例子。像Sin函数到2，6.28的形状跟在0的时候完全一样，所以周期是2。有没有举手让我看周期性的例子？ 学生：展示一个螺旋桨的事例。螺旋桨的旋转就是周期，每次都是重复之前的轨迹。 老师：螺旋桨旋转就是周期，这个不够直观。 学生：我这个做的是一朵花的枯萎

43、与盛开。讲的是大自然中的周期，大自然中一些事情也是有一定周期的，花的盛开代表它一个周期的开始，花瓣的减少代表周期的结束。 老师：这不光是函数描述的现象。现在告诉我一个简单的问题，这里面有多少个自变量？ 学生：自变量有两个，一个是时间，一个是花瓣的增加。 老师：两个自变量，一个是时间，一个是颜色，只有这两个可以控制。 下面做一个奇偶性的想法。什么是奇函数呢？把X和Y倒过来就是奇函数，是相对于原点对称。所以这个又称之为旋转对称，还有偶函数，没有对称，U的四次方会不会对称？（对称）。下面的图是反转过来的结果，如果是一个奇数就不会对称，如果7.5不会对称，必须是偶数才对称。今天看到这些事情最核心是让明

44、白，光是知道这四个性质，不知道什么是自变量，什么是因变量，就不能深刻的理解函数的特性。我让你们做一个例子，最先做出来的两个同学就可以得奖。 请学生给我解释什么是你的Mainpulate函数自变量？ 学生：我做的是正弦函数里面有两个自变量，一个是X，一个是A。 老师：A是什么？ 学生：是我给他赋的值。 老师：Mainpulate有多少自变量？ 学生：图形的整体移动。 老师：一个还是两个？ 学生：后面全部都是，应该就一个。 老师：Mainpulate这个函数操作的只有一个字变量，其他的都被锁死在源代码里面。这种方式会帮助你有效的理解什么是自变量，什么是因变量。 快速总结。你们在这个过程当中所有的同

45、学都做了一些简单的作业，花时间最多的是韩涛，他把整个函数的四个性质，周期性、单调性、奇偶性、有界性都做了定义，同时描述了什么是函数的自变量，因变量，有了结果的分析。同时又有周期性的例子，这个作业是花时间最多，做的最干净的，所以要给予韩涛同学一个奖励。 今天告诉各位，所有同学都已经会怎样编程了，而且可以做简单的例子，学习开始就是模仿，要知道从哪里模仿，精确标明谁最的很重要，真正开始学会使用资源就知道什么是数学，什么是函数。 今天的讲课到此为止，你们要继续使用函数的概念帮助你们判断事情。今天发现你们对自变量，因变量还是没有完全理解，不过使用这个工具搞清楚Mainpulate哪些是可控的，这是自变量

46、，剩下的是因变量。 有没有同学告诉我今天学习的经验？ 学生：函数是一个离我们生活非常贴近的一个东西，各种性质体现了，比如说人的生老病死就是一个周期，有生也有死亡的时候，有病的时候也有好的时候，这就是一个周期。比如人一天的生活，早上起来晚上睡觉也是一个周期，所以离我们的生活非常贴近。像河流的奔涌和枯竭也是一个周期，在我们的现实生活中函数与我们是密不可分的。 老师：有没有最后一个举手告诉他学习的经验。 学生：这节课我首先学到的函数是高数中最核心的，也是最基本的东西，并且学到了四个性质，奇偶性、周期性、有界性、单调性。并且这节课告诉我从函数方面学数学，不是从算术方面学数学，这是一个质的飞跃。并且这四

47、个性质可以解释生活中任何一个自变量和因变量之间的关系，并且在以后的生活中函数本身就是数学的一部分，数学讲究的是精确性，这四个性质可以帮助我们以后在生活中或者工作中做一些逻辑性的决定，告诉我们什么该做，什么不该做。 老师：你总结的非常好，而且还有做笔记，所以最后一个入场券就送给你。今天的讲课到此结束。 刘洪一：非常感谢顾老师，虽然时间有限，可以粗略的感受到顾老师这堂课中把函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性和我们的生活了解起来，特别是调动同学在课堂当中动手去做，理解这样一个比较抽象的东西，本来同学还做了课外的作业，因为时间关系不能展示了。下面休息十分钟，之后进入下一节的教研活动，再一次感谢顾老师

48、的辛勤劳动。 各位领导、各位老师，我们进入下半段。下半段是一个教研活动，在前面顾学雍老师说课讲课的基础上，我们以高等数学这门课为切入点，展开一个开放性的基础课教研活动。这个教研活动邀请了会议代表当中在不同工作岗位上的一些老师，还有全体会议的代表嘉宾。首先允许我介绍在台上互动的老师和同学，我们请了两位同学作为学生代表，他们是北京工业职业技术学院数控技术专业的杜佳和韩涛同学。数学课同行老师的代表：山东淄博职业技术学院数学教师马明环老师。基础课老师的代表：湖南铁道职业技术学院人文系副主任田文艳。教务处管理人员代表：安徽机电职业学院教务处处长郑晓峰老师。学院分管教学工作的副院长：江苏农林职业技术学院李

49、振陆副院长。院校长代表：湖南交通职业技术学院王章华院长。还特邀深圳数学教研室主任郑红老师一起参与。 下面进行一场开放性的围绕基础课的调研活动。刚才顾学雍老师主要是以高等数学为切入点，把他关于高等数学在职业院校怎么上，重点教什么，怎样调动学生和专业进行沟通，怎样“做中学”“学中做”，怎样作用技能来训练。如何利用多媒体和软件手段享用更多的教学资源。 今天上午在说专业的时候，很多嘉宾和老师都直接关注到基础课了，基础课的重要性不言而喻。当前高职院校基础课的教学情况到底怎样，实际效果怎样，同学是否园艺学，和我们专业的衔接度，对学生可持续发展的培养各个方面，各个院校情况不完全一样，有了做的比较多的探讨和改

50、革，有些遇到不少的困难。首先请江苏农业职业技术学院陆院长谈一谈基础课在本校情况的基本研判？ 李振陆：基础课在我们整个教学体系当中从我所了解的情况来看，现在基础课教学大致分为三种情况：一种，沿袭本科的做法，仍然保持体系，或者按照原有的模式组织教学。二种，在以经济为导向的情况下基础课会产生偏差，领导者就想到，把基础课砍掉。三种，按照内涵建设的要求，在积极进行教学改革，这种情况虽然少，但是在一百所高职院建设当中已经出现这样的情况。 第二，整个国家的高职院校对基础课的关注不够。我们可以查看一百所国家示范性高职院校的建设方案，建设方案当中真正去在基础课上动手的学校可以说是几乎没有，大家都不愿意去控制一个

51、比较麻烦的事，于是把改革的重点放到专业课和顶岗实习，那种的创新反而很多。包括国家的精品课程当中我们也会看到，基础课的数量是相当少。 第三，基础课的教师群体还是弱势群体，在学校里他们的话语权也比较少，所以整个的改革积极性还是不够。讲到这里我想用八个字来概括基础课“急需改革，必须改革”。 刘洪一：谢谢李院长。因为时间关系，一边讨论，一边直接进入互动。 提问：职业院校普遍非常重视技能培养，这个情况是非常好的，但是有个别的专业和一些学院采取了对基础课比较忽略甚至取消了基础课。请问台上的嘉宾这种情况合适吗？或者哪些专业可以不上基础课？ 刘洪一：请湖南交通职业技术学院的王院长谈一谈看法。 王章华：这种情况

52、不合适，不可取。基础课在高等职业教育中确实存在困境，我觉得基础课在目前高职教育中作用地位认识不清，概念特征研究不透，领导、老师重视不够。教研、教改措施不力。所以从全局看，基础课的改革进展情况落后于专业课，落后于尤其是重点示范建设的专业核心课程。而且我们基础课团队在学校里面有一种被冷落、被边缘化的倾向，刚才这位老师提到，我们有些学校改革力度非常大，把基础课都砍掉。其实基础课的教学对于高职学生知识层面的扩展，综合素质的提升，思维方法的熏陶和可持续能力的培养都是极其重要的。高职所有的专业设置都有内在的要求，但是每一个专业的背后根本的育人最终目标还是在于提升人的素质。高等数学这个课我们今天就以顾学雍教

53、授讲的高数为例，对文秘经管学生来说，看似没有直接的功效，但是科学的、数学的逻辑思维方式的训练非常重要，顾教授讲课当中一再展现从数学层面的人文关怀，对社会层面的关注。 刘洪一：前半段主要都是根据顾老师的说课和讲课为主。我相信他这段时间一直思考这个问题，给我们带来了很多启发，在理念上，在方法上，在和学生的互动包括其他的做法上都有启发。我特别想听一听数学同行的老师，根据顾老师刚才讲的这样情况，专业课现在要改革，包括高等数学，取消也是不可取的。我想关紧的问题就是下一步基础课包括高等数学、英语课、计算机等等，怎样改的问题，我特别想听一听数学同行老师听完刚才顾老师的说课和讲课，结合自己的情况谈一谈同行老师

54、的意见。请淄博职业技术学院数学马老师谈一谈。 马明环：刚才听了顾教授的课，结合我们学校的情况谈一下。基础课公共课改革应该是一个系统的，应该是由上而下的，通过两位院长的认识在我们学校已经很到位了。这样需要一个统筹的安排，我们是作为人文素养的需要统一设计，我们主要讲高等数学，辅助于选修课，比如说数学建模、数学文化，数理统计等。高等数学的改革设计我们侧重于做中学，用中学，其实贯穿了数学建模的思想，这个思想也是教育部在课改中提出的，要把数学建模的思想融入进去。数学建模就是一个很好的范例，就是在数学当中的做中学、用中学很典型的东西。数学建模的步骤和我们专业核心课程所轰轰烈烈的改革，六个基于工作过程的系统

55、化，或者基于工作过程六个教学法都是一脉相承的，是相融通的，所以我们觉得数学改革和其他课的改革是必然的，也是必需的，早改就早获益。 我们学校还有其他课，比如说大学语文，已经不叫大学语文，也叫人际沟通，从这方面经过应用性的改革，包括外语还是计算机也进行了相应的改革。我也体会了，基础课的老师从原来的被边缘变得越来越重视，我们很欣慰，下一步就继续推动做工作。 刘洪一：小贴士里有很多关心这样一个问题，刚才讲数学重在训练学生的思维能力，当做技能看待。很多代表请问顾老师，高等数学怎样和专业贴近，去融合？ 顾学雍：最核心的概念还是学生自己对自己未来的前途规划，他们有自主的动力。绝大部分的同学他们上网搜寻的资料

56、都会跟自己个人兴趣有关，如果这门课教铸造专业或者电子电工专业，他们自然会把高等数学的理念把他们相应的门类里带，数学本身就是抽象的学科，它没有任何针对哪个领域可用或者不可用，基本上刚才提到的概念都可以很有效的应用在各式各样不同专业领域上，最重要核心的概念是数学老师不可能知道所有专业知识，必须有学习和互动的模式，让学生在预习的阶段告诉老师我们可能学什么，让老师把案例带出来，在高等数学可以解决的范畴下，很轻松的让这些方程式或者案例带给他们兴趣。最重点是怎样驱动学生自己的市场兴趣和市场需求，让他们发觉专业和数学的知识，才可以发觉他们主动学习的效果。 刘洪一：我是教育部高职高专文化教育类教指委的委员，对

57、基础课也做了一点调研，在今年国家精品课的评审当中，也有少量的基础课的课程被评为国家精品课，其中一门叫做经管数学，经济管理类专业怎样上数学，这门课程就是把高等数学和专业相结合的探讨。我想清深圳职业技术学院郑红老师谈一谈，你们在专业的结合上和具体的取舍以及操作上如何思考的？ 郑红：各位领导、各位老师。深圳职业技术学院的数学课，校领导和教务处比较重视搭建了一个平台。数学课老师走到专业课里面，专业课里面走进数学课，互相上课，通过上课以后确定专业所需求的数学内容，然后确定我们的模块。所以我们深圳职业技术学院的数学课分了几大类：经管数学、工程应用数学（计算机类、电子通讯类、机电类）、高等数学的要求相对来说

58、不是那么专业的，比如说建工学院、汽车学院等等，他们就用一般的应用数学基础，我们首先是通过走入专业，专业老师走入数学来确定大的框架内容，把它模块化以后整体案例驱动，我们在案例驱动的时候，整个无论是每小节课还是每一个课程都贯穿着一个数学建模的思想方法，注重数学思想的教育。整个数学体系结束的时候，发现每一个人还有机会进一步，比如说基础数学结束再上建模培训班，每一个学生通过建模的思想、建模的实践去参加校数学建模，全国大学生数学建模，包括最后国际大学生数学建模，经过这几年我们学生提高了很多想学数学的兴趣，我们数学教研室在此也做了很多的工作，相对来说感觉我们的地位也比以前有所提高。 刘洪一：公共基础课涉及很多，刚才