（推荐）全国高中数学备战必读

1、2010全国高中数学联赛须知一、2009年全国高中数学联赛将执行新方案一试考试时间为8：009：20，共80分钟，包括8道填空题（每题7分）和3道解答题（分别为14分、15分、15分），满分100分。二试考试时间为9：4012：10，共150分钟，包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分，满分200分。二、2010年全国高中数学联赛将在分值上做一些调整据相关消息，2010年全国高中数学联赛将在分值上做一些调整。 题型、题量和时间都没有变化。具体分值变化见下表。题型调整前调整后一试填空7*88*8一试（一）1416一试（二）1520一试（三）1520一试总100120二

2、试（一）5040二试（二）5040二试（三）5050二试（四）5050二试总200180由此可见，联赛对一试的重视程度进一步增加，联赛有“高考化”的趋势。各位数学竞赛选手应对这个变化保持高度重视，并适当加强一试训练，保证简单题速度和正确率。三、近几年全国联赛试题情况分析近几年全国联赛试题的产生是由各地征题，组委会统筹，多次筛选而编成的。题目的难易程度各年的波动很大，随机性较强，颇有股市难料之感。尽管如此，从2001年至2008年的联赛试题分布情况来看，也能在宏观上了解个大概。只要“网”张大一点儿，还是能捕到大鱼的。1、首先谈谈小题即选择题和填空题。小题中函数、不等式、立体几何、解析几何、向量、

3、概率、排列组合几乎年年考。函数中的奇偶性、二次函数、简单的函数方程是热点。不等式中的解不等式、均值不等式、柯西不等式是热点。立体几何中的传统方法和空间向量相结合是热点。解析几何中的问题几乎是高考试题再现。向量中的热点是常与平面几何相结合，重点是理解定义和表达式。概率属新增题型，基本上是古典概型，实质上是计数问题。排列组合花样较多，热衷于新定义新背景。小题中有新的趋向。导数的应用；三次函数（同样也可能了现在大题中）；几何概型（同样也可能了现在大题中）；简单数论；极坐标。这些题型在近几年的联赛中频频出现。2、其次谈谈大题即一试的解答题。有关不等式的问题几乎每年都出现。考查的侧面各有不同，须具备完整

4、的不等式解题知识和技巧，才能胜出。最近几年均出现离散类的问题，好像都有两小问，第一问较简单，第二问则较难，多涉及反证法、局部调整法、归纳法、函数构造、赋值法等常用手段。函数问题都不单独出现，多与不等式、方程或数学归纳法相结合。数列问题几乎是热点，清一色的是递推数列；其与简单数论相结合进行考查好像是未来发展的方向。解析几何问题呈现两个发展的方向：讨论型；与平面几何的重要结论相结合；但总是有很大的难度，都要“探挖”才能找到解决的方法。大题有爆冷门的可能。如：立体几何；复数。3、最后谈谈加试题。要想联赛复赛获奖，加试题至少要完整地做出一题。第一题惯例是平面几何题。常见的手段是四点共圆、三角形的性质、

5、等式变形、著名定理等相结合。近几年难度有些降低，06年有回升且与圆锥曲线和三角相结合，赋予新的方向，但仍会是以线段的数量关系，位置关系，边角关系等为主体。第二、第三题题型不定，多与函数、不等式、数列有关，也常与专业竞赛理论如：组合、图论、数论等有了解。思路奇巧，没有经过专门训练的学生是很难做出的。 训练工作的最终目标需要明确。定位于联赛一等奖的训练和定位于CMO的训练力度是不一样的。定位于联赛一等奖的训练，重心放在一试和加试的平面几何题上。定位于CMO的训练，重心还须向专业理论方向靠拢；训练的题目除了通常的模拟训练题外，还要经常“光顾”IMO的试题和预选题，有时还应请专家教授来作指点或讲座。取

6、法乎上，往往能取胜。三、研究近几年的联赛试题 明确联赛几何的命题规律 01年：根轴 02年 托勒密定理 03年 塞瓦定理 04年 图形的基本计算 05年 三角形的“五心” 06年 平面图形与圆锥曲线的结合 07年 三角形的垂线的充要条件 08年 托勒密定理 和图形的简单计算我们可以看到联赛试题比较基础，难度不太高。但做题方法比较灵活。大家可以有针对性的研究考题。注重近几年试题的特征。同时看一看中等数学联赛试题的另解，很有好处。关注几何专著 陕西师大的罗增儒教授多次为联赛命制几何题，他也出了几何书，研究研究有好处。另外，安庆黄全福老师也多次命了联赛试题。比如：2000年是改编而来的。广州的吴伟朝

7、老师也是比较有名的命题专家。看一看我想对解题的思维有帮助。四、数学竞赛的体系简介数学竞赛的知识主要是4个方面代数，几何，数论和组合。虽然这四个方面在内容上相差很大，但是在实际应用中是互相了解的，毕竟纯粹的某一方面的题目要么就是太简单，要么就是太难，故而这两种题目出现的几率都不大。 代数代数的基础是计算，需要有扎实的算功和细密的思维，这个可以通过做一定数量的函数、数列和复数的题目练习。当有了比较好的代数功底后，在处理各种繁难的问题时也会感到游刃有余。参考华南师大附中习题集代数部分 函数在基础部分函数主要起铺垫作用，这部分的题目一般不难，主要就是基本的代数变形和讨论。入门竞赛书上的这部分内容都差不

8、多，参考奥数教程高一分册。函数部分的难点是函数方程和高斯函数。 函数方程这个部分的题目在大赛中经常出现，Cauchy方法是解决此类问题最一般也是最为重要的方法，同时要注意考察0点，不动点和特殊值，并注意常用的代换。在函数方程的学习过程中可以适当参考微分方程的解法，对于一些很难看出原函数的题目往往可以先假定函数可微，利用微分方程求出原函数，再根据原函数的特点给出初等方法的证明。参考函数方程，题典代数卷 高斯函数重要的数论函数，在数论中用处很多，数量掌握其变形技巧对于简化解题过程有很大的帮助。同时注意，在处理高斯函数的时候的代换技巧。参考奥林匹克数学研究教程中高斯函数部分，2005年国家队选拔赛试

9、题 数列数列是高中学习的一个重点部分，它的题目可以和代数中任何部分了解起来，因而备受命题者青睐。这部分的学习需要熟练掌握各种常见数列的通项求法和不动点的相关理论，注意计算能力的培养。参考奥数教程高一分册，奥林匹克数学研究教程中数列部分 复数复数部分主要是注意数形结合，习惯复数问题几何化，代数问题几何化的思想。注意经典题目的思想，这部分的题目涉及到数学中很多重要的方法，简单题目要仔细研究。参考奥林匹克数学研究教程中复数部分 不等式不等式是数学竞赛中必考题型，而且每次出现新题能够解出的人都寥寥无几。此部分的题目方法很多，代数技巧非常强，但是大部分都只是A-G不等式和Cauchy不等式的变形使用。因

10、而在解题的时候思维一定要清晰，不要陷入式子的海洋而迷失了方向，千万不要胡乱套用高等不等式。当然，对于Jensen不等式等高等数学中的不等式也必须了解。在解题的时候要充分利用取等号的条件寻求解题的线索，书写时也要主要写出取等号的条件。参考奥林匹克数学研究教程中不等式部分，题典代数卷，历届大赛题目 多项式多项式是数学竞赛中 思想方法偏向于高等数学的一个部分，解题时主要考察一个式子的两种表示形式即 并且注意特殊值的考察。注意到这里的一般是复数，故而会涉及到复数的处理技巧，特别是Chebyshev多项式。同时熟练掌握Lagrange和Newton两个插值公式。参考奥林匹克数学研究教程中多项式部分，题典

11、代数卷，数学奥赛丛书中不等式和柯西不等式两册，历届大赛题目 几何高中部分的几何包括平面几何，解析几何和立体几何。一般来说后两种只会在一试中出现，而且难度不大，主要考察基本知识点的掌握和计算的熟练程度；而平面几何则是竞赛必考题型之一，考察选手对于图形的把握和思维的活跃程度。 平面几何基础知识在每一本竞赛书中都会提到，要熟练掌握Menelaus定理，Ceva定理，Simson定理，Euler定理和Ptolemy定理。对于几何中的常见结论要非常熟悉，并且熟悉各种几何变换，包括平移，旋转，位似，配极和反演。这部分的知识点不多，主要就是选手对于图形结构的把握。在处理题目的时候要注意灵活选取多种方法，不要

12、以为追求纯平几证明，适当引入三角，解析几何，向量和复数对于证明题目是相当有益的。参考近代欧氏几何学，湖南几何卷，华南师大附中习题集几何部分 几何不等式这个部分题目难度很大，比常规平几题目难与下手，参加高层次竞赛的选手需要加强训练。参考几何不等式 解析几何这部分的题目一般都会涉及到大量的计算，重点就是对于计算能力的训练。在刚开始的时候不要追求最简做法，只要保证计算正确性就可以。在达到了一定的水品后，对于做法的简洁性的思考会自然显现，要注意思维的自然性和方法的对称性。参考奥数教程高二分册，解析几何的技巧单尊著 立体几何这部分是对空间想象能力的训练，一般题目都很简单，故而即使空间想象能力不强的人也可

13、以通过解析几何求解大部分的题目。注意作图的美观和计算的准确性。参考奥数教程高一分册，奥林匹克数学研究教程中立体几何部分 数论数论是竞赛中非常优美的部分，其中涉及到初等数论中很多古典的技巧。通过这部分的学习，可以掌握定义一个新的体系的过程和方法，故而一定要注意这部分内容是一个体系，是密不可分的。学习数论一定要仔细研读初等数论，部分讲述不详细的可以参考华罗庚教授的数论导引，熟练掌握基本的思想和方法，很多难题都是以很简单的题目的方法编制而成。参考初等数论，数论导引，华南师大附中习题集数论部分，题典数论卷 经典不定方程这个部分是经典部分，基本的技巧就是不停地取模，因式分解和代数变形，题目一般不会很难，

14、只要注意特殊情况就行了。 Pell方程这个部分是近几年命题的热点，它的多种形式的通解公式和推导都需要掌握。掌握这部分知识需要学习Legendre符号，Gauss二次互反律，Jacobi符号，连分数，无理数的有理逼近等知识。 指数和原根这个部分在竞赛中虽然不会明确被提出，但是很多思想其实就是使用的这部分知识，因此熟练掌握非常有益。 组合这个部分是真正的大杂烩，在前面提到的三个方面的知识在这里都会得到应用，同时它还有自己的一些方法。每道题都会有不同的方法，因而思维需要高度的发散。一般来说，除了经典类型的题目可以用一些万能方法求解外，剩下的题目求解完全是一种数学直觉的体现，需要大量的训练和不断的总结

15、，修正自己思维在解题时的偏差。参考题典组合卷，华南师大附中习题集组合部分，奥林匹克数学研究教程组合部分 五、全国高中数学竞赛经验1、全国高中数学联赛判卷以档次分为主如果不会要尽可能多写以赢得步骤分 2、可以关注以下几点：（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。 （2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题。这样也许能超水平发挥。（3）数学联赛题大约有70%的题目都是直接法，要

16、注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。（4）挖掘隐含条件，注意易错易混点，例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限制条件等。 （5）方法多样，不择手段。高中联赛试题凸现能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要在一两个小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”也有25%的胜率。（6）控制时间。一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答

17、题留下充裕的时间，一试只有80分钟要分配好时间 ，其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确填空题的考点少，目标集中。否则，试题的区分度差，其考试的信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因，有的可能是一窍不通，入手就错了；有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管他们的水平存在很大的差异。解题策略： ，只针对不同的特征给几条建议： 一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按

18、规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断； 二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分； 用特殊值法.换元法.执果索因.先猜后证.（1）常见失分因素：对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；思维不严谨，不要忽视易错点；解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避免“对而不全”如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；计算能力差失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析中的圆锥曲

19、线问题就要求较强的运算能力；轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的

20、考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，

21、将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有”一直做到底。也许，后来中间

22、步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把

23、题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。（3）能力不同，要求有变： 由于考生的层次不同，面对同一张数学卷，要尽可能发挥自己的水平，考试策略也有所不同。针对基础较差、以二类本科为最高目标的考生而言要“以稳取胜”这类考生除了知识方面的缺陷外，“会而不对，对而不全”是这类考生的致命伤。丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。考试时要克服急躁心态，如果发现做不下去，就

24、尽早放弃，把时间用于检查已做的题，或回头再做前面没做的题。记住，只要把你会做的题都做对，你就是最成功的人！针对二本及部分一本的同学而言要“以准取胜”他们基础比较扎实，但也会犯低级错误，所以，考试时要做到准确无误（指会做的题目），除了最后两题的第三问不一定能做出，其他题目大都在“火力范围”内。但前面可能遇到“拦路虎”，要敢于放弃，把会做的题做得准确无误，再回来“打虎”。针对第一志愿为名牌大学的考试而言要“以新取胜”这些考生的主攻方向是能力型试题，在快速、正确做好常规试题的前提下，集中精力做好能力题。这些试题往往思考强度大，运算要求高，解题需要新的思想和方法，要灵活把握，见机行事。如果遇到不顺手的试题，也不必恐慌，可能是试题较难，大家都一样，此时，使会做的题不丢分就是上策。（文字中针对高考展开，但原理是一