【优质】两角和与差的正弦公式与余弦公式

1、涟源市工贸职业中专数学组刘伟生【课题】1. 1两角和与差的正弦公式与余弦公式(一)第1章三角公式及应用(教案)【教学目标】知识目标:理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简.能力目标:学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高.【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式.【教学难点】难点是公式的推导和运用.【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(60°30 HCOS60。cos30°，然后提出如何计算cos(a-P)的问题.利用矢量论证cos(a-P)的公式，使得

2、公式推导过程简捷.教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上.例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点.推广用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维.公式sin()= cosot 时,2sin(a+P)的推导过程是，首先反向应用例 3中的结论cos(-a) =sina，然后再利用公式 cos© - P)，最后整理得到公2式.教学关键是引导学生将 (a +P)看做整体，这样才能应用公式cos(-a).逆向使用公式,2培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视.得到这些公式后，要强调公式

3、COS&-P)是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式 sin(a ± P)和公式cos(a ± P)相对比进行记忆.要帮助 学生总结公式中角 a和角P以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式.抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务.例4利用15°=60°-45°求解，还可以利用15° = 45°-30°求解.例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用.例6是三角证明题.教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思

4、路.教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析， 使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力.【教学备品】教学课件.两课时【课时安排】涟源市工贸职业中专数学组刘伟生第1章 三角公式及应用（教案）2课时.（90分钟）【教学过程】教师行为学生行为教学意图*揭示课题1 . 1两角和与差的正弦公式与余弦公式.*创设情境兴趣导入问题 我们知道，cos60°=1 ,cos30°=3，显然2 2cos (60 °_30 °)HCOS60 包 cos30 ?由此可知 cos(a _ Pcosot- cos P.*动脑思考探索新知介绍播放课件质疑了解

5、观看课件思考思考在单位圆（如图1-1 ）中，设向量oA、OB与x轴正半轴的夹角分别为a和P ,则点A ( co泊,si not ),点(cos P,sin P).因此向量 OA =(cosa,sin a),向量 OB =(cos P,sin P),引导发启学得结果OA =1,oB卜 1.总结归纳于是 OA OB = OA，OBcos(a - P) =cos(a - P),又 OA OB =cosa cos P +sina sin P ,所以 cos(a _ P) =cosa cos P +sin a sin P .(1)学生 发现 解决 问题 的方 法又cos(a + P) =cosH(P)=

6、cosa cos(0)+sin sin(-P)仔细理解教师学生教学行为行为意图=cosa -cosP -sin a sin P.利用诱导公式可以证明，（1）、（2）两式对任意角都成立 （证明略）.由此得到两角和与差的余弦公式cos(a +P) = cosa cosP -sina sin P(1.1)cos(a - P) = cosa cos P +sin a sin P,(1.2)公式（1 . 1）反映了 a + P的余弦函数与函数值之间的关系；公式（1.2）反映了 a - P的余弦函数与a , P的三角函数值之间的关系.*巩固知识典型例题求cos75°的值.分析可利用公式（1.1）

7、,将75°角看作45°角与30°角之和.cos75°=cos(45° +30=cos45 °cos30° si n45 °sin30 °例2设cosa,cosP=#，并且a和P都是锐角，求55cos(a + P)的值.分析 可以利用公式（1.1 ），但是需要首先求出sina与sin P的值.解 因为 cosa =3, cos P5=4，并且a和P都是锐角,5所以 sin a = J1 -cos2a =45因此匕 cos(a + P) =cosot cos P sinotsin P ,分析 讲解 关键 词语

8、记忆15引领讲解说明引领分析说明观察思考主动求解观察思考注意观察学生是否理解知识涟源市工贸职业中专数学组刘伟生教学意图学程时间例3 分别用sina或cosa ,表示cos -a）与sin(n -a).2教师行为启发引导学生行为理解口答第1章 三角公式及应用（教案）nnncos(ot)=coscosa+si nsi not222=0 8法+1 sina =sinancos(a) =sina .2"TT'TT令-7 = P ,则a P,代入上式得2 2启发分析学生 自我 发现 归纳25cosP =sin( - P)2sin( -a)= cosot.2*运用知识强化练习1.求 co

9、s105° 的值.2 .求cos15°的值.提问 巡视 指导动手求解及时 了解 知识 掌握 情况35总结归纳思考=cos(n -a) cosP + sin(-a) sin P=sin Ct cos P +cosa sin Psin(a P) =sin fc +(-P) =sinot cos(P)+cosa sin(-P)=sina cosP cos sin P .由此得到，两角和与差的正弦公式理解仔细分析讲解关键词语记忆发现 解决 问题 的方 法40*动脑思考探索新知由于cos（n-a） =sina .对于任意角都成立，所以sin (a + P) =cos 忖一 (a +

10、P) =cos (才a) 一 P (1.4)sin(a+P)=sin a cosP+cosa sinP (1.3)sin (a P) =si n a cos P -cosa sin P*巩固知识典型例题分析角与45分析求sin 15°的值.可以利用公式（1.1 ），将15°角可以看作是角之差.sin 15 °=sin(60。-45=sin60°cos45°cos60°sin45 °近 1 近=_-x 2 2 2 2求 Sin 105七os75°cos105°sin75°的值.所给的式子恰好是公式

11、右边的形式，可以考虑逆向使用公式.60Sin 105 先os75°cos105°si n75 Js in (105°75=si n30。=丄2求证 iJ3co +sina =2sin( +a) 3右边=2(sin 才cosa 中cos才sin a)731=2(cosa +-si na)22= J3cosa + si na =左边.故原式成立.虫1证 2 左边=2(cosa sina)22nn2(s in cosa +coss in。)33=2s in(n +a)=右边.故原式成立.*运用知识强化练习1.求 sin 105°的值.2.求 sin 255&#

12、176;的值.3.求 sin25°cos85°cos25°sin85°的值.教师行为学生行为引领讲解说明引领分析说明提问 巡视 指导观察思考主动求解观察思考理解动手求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点学生 自我 发现 归纳55及时 了解 学生 知识 掌握 情况65涟源市工贸职业中专数学组刘伟生第1章 三角公式及应用（教案）*理论升华整体建构思考并回答下面的问题:两角和与差的余弦公式及正弦公式内容分别是什么?结论:两角和与差的余弦公式cos(a + P) =cosa cos P -sin a -sin P(1.1)教师行为质疑学生教学行为意图cos(a P) =cosa cosP +sina sin P(1.2)归纳 强调两角和与差的正弦公式sin(a+P)=sinot cosP+coso sinP (1.3)sin (a _P) =si not cos P -cosa sin P(1.4)*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么?引导小组讨论回答理解强化回忆调点 突破 难点7075涟源市工贸职业中专数学组刘伟生教学意图学程时间*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的