参数方程教案[001]

1、参数方程教案第一节 曲线的参数方程【教学目标】1通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路2通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力3从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点【教学重点及难点】重点：曲线参数方程的探求及其有关概念；难点：是弹道曲线参数方程的建立【教学过程】一 复习：1满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？曲线方程的概念：(1)曲线

2、C上任一点的坐标（x,y）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C上那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C的方程，而这条曲线C就称作这个方程f(x,y)=0的曲线2写出圆心在原点，半径为r的圆O的方程，并说明求解方法O的普通方程是：x2+y2=r2； O的参数方程是： （为参数）这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式二新课：1参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y，都是某个变数t的函数，并且对于t的每个允许值

3、，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变量t叫做参变数，简称参数。2例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求出弹道曲线的方程(不计空气阻力)。我们知道弹道曲线是抛物线的一段现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？（1）建系：建立适当的直角坐标系；以炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系。（2）设标，设炮弹发射后t秒时的位置为M(x，y)(3)列式：即找出x及y之间的关系。怎样把x、y之间的关系联系起来

4、呢。这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x、y都及时间t有关在水平方向的初速度是v0cos，在竖直方向的初速度是v0sin.水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v0cos;在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动所以y=v0sin·t-gt2这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t应该有一个确定的范围？令y=0，得t=0或t =，0t。当t=时炮弹刚落地。记

5、为T。则这个方程组表示的是弹道曲线的方程。前面我们举的圆和弹道曲线这两个例子中，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标x,y之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的在圆的参数方程中旋转角参及了方程组的建立，且x、y都是的函数；在弹道曲线的参数方程中时间t参及了方程组的建立，且x、y都是t的函数。参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变量t的函数，且对于的t每一个允许值，由所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的。为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲

6、线的普通方程。参数可以有明确的几何意义(旋转角几何的)，也可以有明显的物理意义(时间t物理的)事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如弹道曲线中，x表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度？当t=时炮弹刚落地x=v0cos=，2=，即=，得x最大=当,t=,y最大=v0sin-=。【练习】1 动点M作等速直线运动，它在x轴、y轴方向的速度分别为9和12，运动开始时点M位于A（1，1），求M

7、点轨迹的参数方程。2 求半径为5，圆心在点（2，-5）的圆的参数方程。3 求经过两个不同的N（x1，y1）,M(x2,y2)的直线的参数方程。4 物体从H米的高处以初速度v米/秒沿水平方向抛出，写出物体所经过路径的参数方程。5 作水平飞行的飞机速度为150米/秒，飞行高度为H=720米，若飞机从这个高度进行投弹。求：（1） 炮弹离开飞机后的轨迹的参数方程。（2） 飞机及目标的水平距离多少时，投弹才能命中目标？（3） 从抛出炮弹到命中的时间？【小结】（1） 曲线的参数方程的概念。（2） 参数方程的优越性：当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。参数一般带有

8、物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。【课程后反思】1未来社会对人才素质的要求越来越高高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求由于人的素质是多方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，培养学生的个性品质显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用本节课的3个教学目标正是据于这样的思考而制定的2这节课按如下步骤逐渐展开：(1)圆的参数方程；(2)弹道曲线的参数方程；相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”，加快了学生思

9、维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程(参数方程)，提供了可参照的“样本”这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给这类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义旨在培养学生由具体到抽象的推理能力将两个例子作了进一步研究通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个

10、问题，可以选取不同的变数作参数既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识而对炮弹最大水平射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t联系起来的x、y的最大值，有着鲜明的实际意义(几何的)，另一方面又及前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛第二节 求曲线的参数方程一。复习：1 什么是曲线的参数方程？2 样求曲线的参数方程：建立坐标系，选好适当的参数，及时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。把x,y分别表示为参数t的函数，并且联立

11、。二几种常用曲线的参数方程1 直线：为倾斜角，t为动点M离开定点M 0的位移，当t>0时，M点在M0的上方。当t< 0时，M点在M 0的下方。当t=0时，M点及M0点重合。，表示过P1（x1,y1）,P2(x2,y2)点的直线的参数方程，（但不包括P2点）；是表示过P0（x0,y0），的直线的参数方程；当m2+n2=1,参数|t|表示动点M离开定点M0的距离。m2+n21，参数t没有明确的几何意义。2圆：，（是参数）3.椭圆：4双曲线：例1：OA是圆的直径，长是2a，直线OB及交于M1，及经过A点的圆的切线交于B，MM1OA，MBOA，以O为原点，OA方向为轴的正方向建立直角坐标系

12、，求M点的轨迹方程。分析：点M是随OM1的变化而变化，设xoM1=，为参数。解：M点的坐标为（x,y）, 设xoM1=，为参数。x=OC=|OM1|cos=|OA|coscos=2acos2;y=AB=|OA|tg=2atg;M点的参数方程是例2求抛物线x2=4y的过焦点弦的中点的轨迹方程。分析：过焦点弦的中点是及过焦点的直线的斜率k有关，选过焦点的直线的斜率k作为参数。解：设过焦点的弦的中点M（x,y）, 焦点坐标是（0，1），所在直线的斜率为k，那么直线方程为y-1=kx,x2-4kx-4=0，由违达定理x1+x2=4k，x=2k，代入y=kx+1中得y=2k2+1过焦点的弦的中点的轨迹方

13、程是例3过M点（2，-1），倾斜角为135°的直线及圆x2+y2=4相交于A、B两点，求： AB的中点坐标；|AM|BM|；|AB|。解：过点（2，-1），倾斜角为135°的直线的参数方程是:,代入圆方程x2+y2=4,得t2-3t+1=0,t1+t2=3,t1t2=1AB中点对应的参数t=,代入直线的参数方程，得，AB中点的坐标是()：|AM|·|BM|=|t1t2|=1;|AB|=|MB-MA|=|t1-t2|=评注：这里利用了直线的点角式参数方程中的参数的几何意义。【练习】（1）下列哪个点在曲线上（ ）A；B；C ；D。（2）直线的倾斜角（ ）A B；C；D

14、。（3）直线l经过P（-3，2），倾斜角为，且及曲线相交于A、B两点，求：|PA|PB|。（4）已知O的半径为a(a>0)，若以过原点的弦所在直线的斜率k为参数，求圆的参数方程：若以过原点的弦长t为参数，求圆的参数方程。【小结】1 样求曲线的参数方程： 建系：建立适当直角坐标系， 选参：选择适当的参数，及时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。设标：设曲线上任意一点M的坐标为（x,y）列式：把x,y分别表示为参数t的函数，并且联立。2 常用曲线的参数方程：（1） 直线：；（2）圆：，（是参数）, (x-x0)2+(y

15、-y0)2=r2（3）椭圆：,（4） 双曲线：；（5） 抛物线：,y2=2px3 参数方程的应用： 利用直线的点角式参数方程的参数t的几何意义； 把曲线上的点坐标用参数形式表示。 第三节 参数方程和普通方程的互化【教学目标】1掌握把参数方程及普通方程互化的基本思路。2理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的3基本掌握消去参数的常用方法4培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力【教学重点及难点】使学生掌握参数方程及普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法【教学过程】1 复习：曲线参数方程的定义。2 参

16、数方程及普通方程之间的互化：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了参数方程参数方程化为普通方程：消参，即消去参数方程中的参数；普通方程化为参数方程：选参，即通过适当选择参数，将普通方程化为参数方程。例1：消去参数t，将曲线的参数方程化为普通方程：。解：将x=v0t变为t=，代入2式中，得y=h-.例2：已知参数方程(1)消去参数t，将曲线

17、的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？(2) 消去参数，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？解：（1）从得，代入得：，表示直线。（2）利用三角公式：sin2+cos2=1，得x2+y2=t2，表示以原点为圆心圆。例3：消去参数t，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？解：三角公式：sin2t+cos2t=1，得:,表示椭圆。消参的基本方法代入消参法；加减（乘除）消参法 ；利三角恒等变换或代数恒等变换例4：求下列曲线的所表示的图形：（t是参数）（1）；（2）解：（1）从得=x-1，代入得y=2(x-1)-1=2x-3,注意到0，x1。参数方

18、程表示射线：y=2x-3,(x1)。利用三角公式：Cos2t=2cos2t-1，把化为：cost=x-1，代入得：y=2(x-1)2-1=2x2-4x-3,且cost-1,1，x0,2，参数方程表示抛物线y=2x2-4x-3, x0,2的一部分。注意；把参数方程化为普通方程要两个方程的等价性，特别要注意参数的范围对x,y的限制。例5：消去参数k，将曲线的参数方程化为普通方程：，并说出方程表示的是什么曲线？解:把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0(4)它的图形是圆。例6：把弹道曲线的参数方程，化为普通方程。 故炮弹描绘的曲线是一条抛物线(含顶点在内的一部分因为二次项系数是负值，所以这

19、是开口向下的抛物线，及实际问题相吻合)例7：把参数方程化为普通方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程。在解题时注意参数t的取值范围，t为不等于-1的实数，即t-1，x-33x+5y-11=0(x-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4)注意：在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价。例8  化下列参数方程为普通方程解 ： (1)(x+1)2+y=sin2+cos2，所以  (x+1)2+y=1，(0y1)所以x2-y2=4小结：1消去参数的方

20、法常用的有哪些？消去参数的方法常用的有以下两种：(1) 代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(2) 加减（乘除）消参法；(3)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数2转化过程中应注意什么？转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价例9：在曲线(x+1)y=1上求一点P，使它到直线x+2y+3=0的距离最小，并求这个最小值。分析：曲线方程中有2个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；如果用参数方程表示问题可转化为讨论当为何值时，点P到直线的距离最小问题。参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数

21、值时，就能唯一地求出相应的x及y的值，因而也就确定了这时点所在的位置解：把曲线(x+1)y=1化为参数方程。设P(tg-1,ctg) 曲线上一点，由点到直线的距离公式， d= .因为tan、cot同号，|tg+2ctg|=|tg|+|2ctg|2又|tg+2ctg+2|tg+2ctg|-|2|=2-2,d,此时，tg=2ctg=-。即P（-1，）到直线x+2y+3=0的距离最小。最小值是从例9的结论知道，参数不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性【练习】一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们

22、各表示什么曲线二、关于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，yR，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程下面是作业题略解一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆(2)y-y0=tan(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tan的直线(3)2x+y-5=0(0x3)，缺一个端点的线段(4)y2-x2=4(y2)，双曲线的上支二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为x，y，tR，得4x2+y2+4x-2y=0为所求设计说明参数方程及普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容

23、：参数方程化为普通方程对这一问题课本仅用32页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题纵观全章参数方程、极坐标也只是对参数方程进行了初步研究而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用我们知道，参数方程及带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题 第四课时 参数方程小结一参数方程的：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变量t的函数，且对于的t每一个允许值，由所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。二参数方程的优

24、越性：（1） 当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。（2） 参数一般带有物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。（3） 参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性三 样求曲线的参数方程： （1）建系：建立适当直角坐标系， （2）选参：选择适当的参数，及时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。（3）设标：设曲线上任意一点M的坐标为（x,y）（4）列式：把x,y分别表示为参数t的函数，并且联立。四 常用曲线的参数方程：（1） 直线：；

25、（2）圆：，（是参数）, (x-x0)2+(y-y0)2=r2（3）椭圆：,（4）双曲线：；（5）抛物线：,y2=2px五 参数方程的应用：（1）利用直线的点角式参数方程的参数t的几何意义；（2） 把曲线上的点坐标用参数形式表示,使把曲线上的点由二元转化成为一元。有利于解题。（3） 用参数法求动点的轨迹方程。六消去参数的方法（1）代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去（2）加减（乘除）消参法；（3）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数七参数方程及普通方程转化过程中应注意什么？转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价【例题】例1  化下列参数方程为普通方程解 ： (1)(x+1)2+y=sin2+cos2，所以  (x+1)2+y=1，(0y1)所以x2-y2=4例2：在曲线(x+1)y=1上求一点P，使它到直线x+2y+3=0的距离最小，并求这个最小值。分析：曲线方程中有2个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；如果用参数方程表示问题可转化为讨论当为何值时，点P到直线的距离最小问题。参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x及y的值，因而也就确定了这时点所在的位置解：把曲线(