2009南华大学硕研课程数值分析试题答案及评分标准

1、南华大学2009级硕士研究生课程考试试题答案及评分标准考试科目:考生姓名:数值分析所属学院考试时间_考生学号任课教师考试成绩i012Xi0. 320. 340. 36f(Xi)0. 3145670. 3334870. 352274(15分)已知函数|f (x)| 1且f(x)的离散值如下表:(保留小数点后6位)并估计截断误差。试用拉格朗日二次插值公式求f(0.3367)(提示：拉格朗日n次插值公式：Ln(x)nlk(x)yk，lk(x)k 0n x xjj 0 Xk Xjj k(n 1), 、 n误差公式：Rn(x) f (x)Ln(x) j(n 1)!(x Xj)10计算有误酎情扣1-2分;

2、评分标准：列出计算式 5分，计算结果5分；误差估计5分;用拉格朗日插值公式计算:一ccc"、(0.33670.34)(0.33670.36)门 c一f (0.3367) 0.314567(0.320.34)(0.32 0.36)(0.3367 0.32)(0.3367 0.36) 0333487(0.34 0.32)(0.34 0.36)(0.3367 0.32)(0.3367 0.34) 0352274(5 分)(0.36 0.32)(0.360.34)(0.0167)( 0.0233)(0.02)( 0.02)0.333487(O.。033)( O.。233) 0.314567

3、(0.02)( 0.04)(0.0167)( 0.0033) 0.352274 (0.04)(0.02)0.0302338208 0.324407818 0.0242672751 0.330374364 0.330374( 10 分) 用牛顿插值公式计算：f (0.3367)R(0.3367)y。去y0 0.3367 x。 X1 X00.314567 睦4870.340.320.3145670.3367 0.320.330365(5 分)f (0.3367)P2 (0.3367)R(0.3367)y2 y1X2 X1j/X2 X0X1 X00.3367x0 0.3367 x-i0.330365

4、O.93935 0.946 0.0167|R2 x |f3!0.04()1 | X X0 X X1 X X2(15 分)二（ 15分）求x4在-1 , 1上次数不超过0.0033)0.330374 (10 分)1-0.0167 0.0033 0.0233 2.102 10 763的最佳一致逼近多项式。（提示：第一类切比雪夫多项式T4（x） 8x4 8x2 1 ）。评分标准：给出关系式 5分；移项代入比雪夫多项式 分5分；计算5分；计算有误酎情扣1-2解：设最佳一致逼近多项式为P（X），则有x4 P（X）P*(x)x41尹 T4 , (10 分)1T4 X41 8x4 8x218 8x21( 1

5、5 分)8三（ 15分）Xi1925313844Yi19. 032. 349. 073. 397. 8c的经验公式，并估计均方误差。已知实验数据如下：求形如y ax2bx（拟合公式提示:nS(x) aji 0j(x)，k , j a j dk, k 0,1, E , 0yik, jXi k xi 0Xi,(k,j0,1,n), dkXi f X k Xii 0,k 0,1,n评分标准：给出法方程5分；求出系数5分；给出均方误差 5分；计算有误酎情扣1-2 分;19219119252251a32.3312311 , Xb , 丫49.0382381c73.344244197.8解 Ax Y，AT

6、AxAtYAtA四.727769919233153270.049719233153271575327157 , f3.69320.0193 , a20.0497X0.0193XAU Y0.0086,JdTd ， s0.11450.68820.6882 （5 分）yd-0.0460,0.0801,（5 分）s（15 分）AtY 1.0e+0050.0978（ 5 分）0.00270.0497,b0.0193,c0.6882用四点高斯-勒让德公式求定积分（提示：四点公式系数:Xk0.8611363,-0.0636,0.0209 ,，1 dx01 X2（要求小数点后4位）。0.3399810, Ak

7、0.3478548,0.6521452）评分标准：给出变换式分；5分；正确带入系数5分；正确计算分；计算有误差酎情扣1-2a Qb 1令X用四点高斯-勒让德公式求得at a b 2-dx1 X2_2dt t2 2t0.3478548 210.861品 2 0.8611363 50.8611363" 2 （ 0.8611363 50.33998102 2 （ 0.3399810 50.6521452 2（5 分） 一 一0.34785487.46384.01930.3399810" 2 0.3399810 5 10.6521452 25.79554.43560.3827800

8、.13315190.13397950.24880060.34785480.17254620.22544730.652145220.34785480.3979936 0.652145220.259549620.3927015 20.78540（5 分）（精确值为-40.785398163397448）五.（115分）对方程 2X1(1)（提示:1059构造一种高斯-塞德尔迭代公式,X3说明其收敛的理由;以x(0)000T为初值,高斯-塞德尔迭代:Ax b，A D LU，B迭代到x(k 1) x(k)L 1U, f D10 2。L 1b,x(k1)Bx(k) f )评分标准：给出变换后的对角占优式

9、 算有误酎情扣1-2分；5分；判断收敛5分；迭代计算5分，每步1分；计23 109 r3r2,r1r21425 ,A142521823 10923 10521D4,L1,U2 ,102 3D=diag(diag(A),L=-tril(A,-1),U=-triu(A,1),B=i nv(D-L)*U, f=i nv(D-L)*b.00.40.21.600B (D1L) U00.10.55 , f (D1L) b 1.650(5 分)00.050.1251.075入 1=0,入 2=-0.1125 + 0.1654i,入 3=-0.1125 - 0.1654i ,谱半径B 0.65121，所以迭代

10、x(k1)Bx(k)f收敛,(5 分)。取 x(0)0,0,0 T122184551),bx(kBx(k)kXk|Xk-Xk-1|卜|Ax-b|20(000)13.03841(1.61.651.075)2.53734.87472(0.72500.89371.0231)1.15771.56783(1.03790.99790.9918)0.33120.18774(1.00251.00471.0009)0.03720.02925(0.99790.99901.0001)0.00730.01236(1.00041.00000.9999)0.00260.00197(1.000000282,1.000032

11、093, .000009572)3.7424e-0041.6531e-004f ,(k=0,1,2,3,4,5)得下表实际取k=5即可.（5分）注精确解为X 111T六.（25分）对于初值问题（提示:yy（1）8 3y 1 X 22证明用改进的欧拉格式（梯形公式）是绝对稳定的；取步长h 0.2，用（1）的格式计算其数值解（小数点后保留5位）。yn 1 yn 2 f（Xn，yn）梯形公式:f （Xn i，yn 1）评分标准：给出递推式10分，判断绝对稳定性酎情扣2-4分；5分；计算10分，每步2分；计算有误差yn 1 yn h 83yn 8 3yn 1，解得Yn 11 3h/2yn3h/21轨（10分）对任