(教师)常用逻辑命题

1、1.四种命题的形式：a知识点一：命题1. 定义:般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如P,q,r,m,n 等.数学中的定义、公理、定理等都是真命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题 命题命题“ pTq ”的真假判定方式: 若要判断命题“ P Tg ”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助 判断。口： P 定推出g. 若要判断命题“ PTq”是一个假命题，只需要找到一个反例即可注意：“P不一定等于3”不能判定真假，它不是命题2. 逻辑联结词:“或”、“且”、“非

2、”这些词叫做逻辑联结词.个人收集整理勿做商业用途(1) 不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题(2 )复合命题的构成形式:P或q；P且q;非P (即命题P的否定).个人收集整理勿做商业用途当P、(3) 复合命题的真假判断(利用真值表)： 当P、 “非同时为真时，“与P的真假相反P且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。非P戸且§1真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假同时为假时，“P或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2 / 8注意：个人收集整理勿做商业用途(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义，以“P或q”

3、为例：一是P成立且q不成立，二是P不成立但q成立，三是P成立且q也成立。可以类比于集合中“ 丘虫或(2) “或”、“且”联结的命题的否定形式:“ P或q”的否定是“ "Ip且-1 q”；“ P且q”的否定是“p或q” .(3 )对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。 知识点二：四种命题E用P和q分别表示原命题的条件和结论，用 P和q分别表示P和q的否定，则四种命题的形式为: 原命题：若P则q；逆命题：若q则P；否命题：若卩则q； 逆否命题：若q则p.原命题互逆q逆命题若P则q若测P互P逆否命题若-if*2. 四种命题的关系ast否 否命题 若则-,q 原命题

4、 0逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. 逆命题 0否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.个人收集整理勿做商业用途命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命 题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角 度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。个人收集整理勿做商业用途知识点三：充分条件与必要条件1. 定义:对于若若“若P则q”形式的命题：pq,则P是q的充分条件，q是p的必要条件；pHq，但qP,

5、则P是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件; 若既有P =>q,又有q=>p,记作p0q,则p是q的充分必要条件(充要条件)2.理解认知：个人收集整理勿做商业用途(1 )在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论,再用结论 推条件，最后进行判断.“当且仅当”.“有且仅有”.(2)充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据“必须且只须”.“等价于” “反过来也成立”等均为充要条件的同义词语3. 判断命题充要条件的三种方法(1 )定义法:个人收集整理勿做商业用途(2)等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆

6、命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用m与rph； Bn/与Fn8；与TuT的等价关系，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断，比如aU B可判断为AB; A=B可判断为AB,且个人收集整理勿做商业用1.判断复合命题的真假的步骤:如图:“” 0 “xenxe£，且xeB书心” se丄是疋E的充分不必要条件.“/ = £” 0 “XE XEB” 0 XE是XEB的充分必要条件.知识点四：全称量词与存在量词 H1.全称量词与存在量词困个人收集整理勿做商业用途 全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表

7、示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符M中任意一个x，有p（x）,个人收集整理勿做号“ ¥ ”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对 成立”可表示为“ UxeM/（x）”，其中M为给定的集合，p（x）是关于x的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”商业用途“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号“ 3”表示，读作“存在”。含有4 / 8存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在 M中的一个x，使p（x）成立”可表示为“班”，其中M为给定的集合，P（X）是关于x的命题.2.对含有一个量

8、词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题P：，他的否定个人收集整理勿做商业用途:全称命题的否定是特称命题。乍：g总特称命题的否定是全称命题。（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题P：他的否定 注意:（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一个人收集整理勿做商业用途次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）些常见的词的否定:止面词等于大于小于是都是曰 定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于 不是不都是定不疋一个也没有至少两个总结升华:确定复合命题的构成形式;判断其中简单命题 P和q的真假;

9、 根据规定（或真假表）判断复合命题的真假2.条件“ xeM或X<0”是“或”的关系，否定时要注意【典例精析】个人收集整理勿做商业用途1.四种命题的关系关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述: 第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题； 第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题;第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题;的逆命题是（1（ 2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方

10、不是正数，则它不是负数”答案B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。个人收集整理勿做商业用途例2（07重庆）命题：“若X2 <1，则-1 <xv1 ”的逆否命题是（A.若 X2 >1，贝U X >1，或X < -1B.若 一1 C X <1，贝U X2 < 1C.若 XA1,或 x<1，则 X2 >1D.若 x>1,或 x<1，贝U>1答案:D.例3 （2005年江苏卷）命题“若a Ab，则22b -1 ”的否命题为答案若a< b,则2玄2b-1点

11、评：否命题不同于命题否定：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.2命题真假的判断例4（08广东理）已知命题P：所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，贝U下列命题中为 真命题的是（D ）个人收集整理勿做商业用途A. (p)vqB. p AqC. Lp )a(F)【解析】不难判断命题P为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有（P）v（q）为直命点评：真假判断（真值表）可概括为：P或q：同假为假，一真为真；P且q：同真为真, 假为假；非p：真假相反，真假假真Q个人收集整理勿做商业用途例5（ 2009江西卷文）下列命题是真命题的为1 1A .若一=一，贝U x =

12、 yX yB.若 X2 =1,则 x = 1C.若 x=y,则D .若 x<y,则 x2vy2答案：A1 1解析 由得x = y,而由X yX =1得X = ±1,由X = y ,仮,jy不一定有意义，而X cy得不到X2 cy2故选A.2.全称命题和特称命题的否定全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同，可有不同的表述方法，在实际应用中要灵活选择.个人收集整理勿做商业用途例6 （2009天津卷理）命题“存在xo亡R, 2X0 <0”的否定是A.不存在 x R, 2冷 >0B.存在 x R, 2* >0C.对

13、任意的x<R, 2X<0 D.对任意的X <R, 2X>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题解析：由题否定即“不存在x。丘R，使2' <0 ”，故选择Do例7（ 07宁夏）已知命题弋涉 R,sin X <1，贝U(C. -p : 3 R,sin X >1B.D.'p : Vx 亡 R,sin X > 15 / 8答案:C.例8（07山东）命题“对任意的R,xx2十1兰0 ”的否定是（）A.不存在 X 迂 R,x' X2 +1 <0B.存在 R,x' X2 +1 二0C.存在 X 忘 R, X3- X2

14、 +1 > 0 D.对任意的X忘R,x' -x? +1 >0答案:C.3充要条件的判断例9 （2009安徽4）下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(A)p: a +c > b+d , q:>b 且 c> d(B)p:a > 1,b>1 q:f（x）=aX-b（aA0,且aHl）的图像不过第二象限(C)p: x=1, q:2X =x(D)p:a > 1, q:f（X）= loga x（a >0,且a廿）在（0,址）上为增函数IT1例 10 （2009 北京 5） “a =二 +2k 兀（k 忘 Z） ”是“ cos2 僅=”的（）6

15、2充分而不必要条件B必要而不充分条件充分必要条件.既不充分也不必要条件【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.JIf花 r当_6+2“(宀)时，cos2-cosi4k"3j兀 1=cos=-32反之，当 cos2a =时，有 2- =2k兀 + = a + (k<Z )，236*'JI或2a =2k兀3半 a -(k<Z )，故应选 A.6例11（湖南文）“ X-1 c2”是“A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6 / 8【答案】A【解析】由X-1 <2得-1&

16、lt;x<3 ,所以易知选A.点评：不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断，大范围推出小范围.专题训练 1.知真假性求参数例已知P： x2+mx+1=0有两个不等的负根，q： 4x2+4（m-2）x+1 =0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围 分析：由P或q为真，知P、q必有其一为真，由P且q为假，知P、q必有一个为假，所以，“ p假且q真”或“ P真且q假”.可先求出命题P及命题q为真的条件，再分类讨论.个人收集整理勿做商业用途解：p： X2柏x+1=0有两个不等的负根.f2也=m-4 >0cXum>_2I 5 <0q : 4x2 +4(m /)x 利

17、=0 无实根.=16(m 4)2二6 <0=1 <m<3因为p或q为真，p且q为假，所以 p与q的真值相反.(i )当p真且q假时，有Jm¥2= m 33 ;兰1或m二3(ii)当p假且q真时，有m ° = 1 cm兰2 .1 cm <3综合，得m的取值范围是 m1 <m兰2或m 3.2.充要条件的证明例1已知抛物线C: y = -x2+mx-1和点A (3，0)，B(0,3).求证：抛物线C与线段AB有两个不、 、 10同的交点的充要条件是 3 c m < 个人收集整理勿做商业用途3解：(1必要性:由已知得，线段AB的方程为y=-x+3

18、 ( 0<x<3)由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点,厂2y = x + mx 1所以方程组 y(*)有两个不同的实数解y = -x +3(0 <x <3)消元得：X2-(m+1)x+4 =0( 0<x<3)设 f(x) =x2 -(m+ 1)x+4 则有产2也=(m+1)4咒4 >0f(0) =4 >0r (3) =9 -3(m +1)+ 4>0m+10 <<3L210(2)充分性当3vm<-0时3m+1 - J(m +1)2 -16 m +1 -J(m + 1)2XL> > 0 I0 “0 八 2“X ） 3X2 = S = 3- 2”.方程X2-（m+i）x+4=0有两个不等的实根Xi,X2，且0vX|CX2<3 , 方程组（* ）有两组不同的实数解。因此，抛物线y=_X2+mX 一1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3<m晋例 2.（08 江苏）若 fi（x） = 3Z，f2（x）= X4，