直线与圆锥曲线题型总结

1、直线和圆锥曲线基本题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2 2例题I、已知直线l：y kx I与椭圆C:- 乞I始终有交点，求m的取值范围4 m解:根据直线1: y kX i的方程可知，直线恒过定点(G,22I )，椭圆 C:- L i4 m2 过动点(G, 7m),且m 4，如果直线l : y kX I和椭圆C: 42' I始终有交点，m贝y jm I, 且 m 4，即 I m且m 4 o题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-I,G)作直线I与曲线N : y2 X交于A B两点，在X轴上是否存在一点E(Xg,G)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出XG ；若不Xo存

2、在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于Go,|ab 7(Xi X2)2 (yi y2)2兮5设直线 l : y k(x 1), k G , A(xi,yi) , B(x2,y2)o由y2 k(x i)消y整理，得 y Xk2X2(2k2I)X k2 G(2k2242I) 4k 4k I G由直线和抛物线交于两点，得即0 k2丄 4由韦达定理，得:XiX22k2 TI一，XiX21 o则线段AB的中点为(2k22k2呛)o线段的垂直平分线方程为:I2kI(X 22)令 y=G，得 xgi2 ABE为正三角形，E(2k2，g)到直线AB的距离d乎AB o2k2IJ1 k22 k解得

3、k ¥9满足式此时5x0 3 °题型三:动弦过定点的问题例题3、2已知椭圆C：笃2a b21(a b0)的离心率为写，且在x轴上的顶点分别为 Ai(-2,0),A 2(2,0)。(I )求椭圆的方程;(II )若直线l：x t(t 2)与X轴交于点点P为直线I上异于点T的任一点，直线PA,PA2分别与椭圆交于M N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论解：(I )由已知椭圆C的离心率ef，a 2,则得 c 73,b 1。从而椭圆2的方程为勺y2 1(II )设 M(xi,yi)，N(X2,y2)，直线AM的斜率为ki ,则直线AM的方程为y k1(x 2)，由

4、2xMx 2)消y整理得(14y 42 2 24ki )x 16k2X 16ki是方程的两个根，2xi16ki2 44ki22则 x1，y11 4ki4k11 4k12即点M(2 8匕21 4k2,1 緊)，,2 和 Xi04的坐标为同理，设直线AN的斜率为k2，则得点N的坐标为(鲁'总)I ypk1(t2), ypk2(t 2)k1 k2 2 k1 k2tT直线MN的方程为：y乂览 y1X X1X2 X1令y=0，得x，将点MN的坐标代入，化简后得：xf珀t 2，yiy20 ? 椭圆的焦点为加汕，即t433时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点 A B

5、、C是椭圆E:2 X 2 aA(2品0是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心如图。求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q使得直线Pc与0bAy1 (aAA X2 y b0)上的三点，其中点BC 0，BC 2aC，直线QC关于直线x爲对称，求直线PQ的斜率。aC，且BC过椭圆的中心0解：(I) jBC詢 lACFBC 0 ACO -又：A (2 73,0)C的坐标为(73，凋。yA(2s/3,0)是椭圆的右顶点，a则椭圆方程为:2 x12c(73,73)代入方程，得b2 4，2 2椭圆E的方程为話七1(II) T直线PC与直线QC关于直线X43对称，设直线PC的斜率为k，则直

6、线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为:y y/3 k(x 73)，即y kx巫1 k)，由：爲密；0)消y，整理得:(1 3k2)x26j3k(1k)x 9k218k 3 0 x 73是方程的一个根，匚 9k218kxp V321 3k29k2 18k73(1 3k9k2 18k 3XqJ3(1 3k2)ypYqkxp73(1k) kxQ 73(1k) = k(xpxQ)2飒=73(112k3k2)9k2 18k 3xp xq厂73(1 3k2) 为定值1。3题型五：共线向量问题9k2 18k 336 k佝1 3k2)73(1 3k2)kPQYp Yq xp Xq则直线PQ的斜率2例题5、设

7、过点D(0,3)的直线交曲线 M乞9讦P、Q两点，且和二曲,求实数人的取值范围。II解：设 P(x1,y 1),Q(x 2,y 2), D?rDQ：(X1,y 1-3)=入(X2,y 2-3)即X1 _餐y1 二 3-)©2- 3)方法一：方程组消元法又；P、Q是椭圆x2+Y=1上的点/.9422亠-Xi 二 194(农L(肘2 -3943)2 消去X2，可得(»2 +3-3廿-血4即 y2=5 又 T 2 y2<2, ,一一 2<5 £ 2 解之得:1,5。5范围是方法二:设直线E2判别式法、达定理法、配凑法PQ的方程为： y kx 3,k 0,由y

8、 kx 34x2 9y22 2(4 9k )x 54kx 450yP、Q是曲线M上的两点(54k)2 4 45(4-5则实数人的取值536消y整理后，得9k2) = 144k2 80 0 即 9k2 5xix254 k49k2,X245 ' (Xi X2)24 9k2X1X2XiX2XXi542k2(1)245(4 9k2)3651 _?9k249k2由得)2I，解之得5当直线PQ的斜率不存在，即X 0时，易知1。总之实数入的取值5范围是5,5。题型六:面积问题例题6、已知椭圆C:1 (a >b > 0)的离心率为V短轴一个端点到右焦点的距离为<3。(I)求椭圆C的方

9、程;(H)设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为¥求 AOB面积的最大值。解:c(I)设椭圆的半焦距为C,依题意aa3罷,b 1,所求椭圆方程为y21。()设 A(xi, yi), B(X2, y2)。( 1 )当 AB 丄 x 轴时，ab| 73。(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxmV3m。由已知E 21)。把y kx m代入椭圆方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx3m23 0 ,x, x262km，2 3k2 13( m 21)x-i x22。3k(3k1)1AB22(1 k2)(X2X1)2(1k2)十(3k2 1)212(m2 1)3

10、k2 1m2)3(k21)(9k21)2 212(k21)(3k2 122(3k1)12k23 9k4 6k2139k212"T-(k O)w 36 2 3 6当且仅当9k2f时等号成立。当ab| 73 ,综上所述ABmax 2。当lABl最大时， AOB面积取最大值S 2ABmax题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C( 0, P)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求 ANB面积的最小值;()是否存在垂直于y轴的直线I，使得I被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若

11、不存在，说明理由。(I)依题意，点 N 的坐标为 N (0,-p ),可设 A (xi,y 1),B (X2,y 2),直线 AB的方程为y=kx+p,与x1 2=2py联立得了p消去y得22X -2pkx-2p =0.由韦达定理得 Xi+X2=2pk,x iX2=-2p2.于是S ABN S BCN S ACN 2 p|2XiX2=p|xi X2I pj X2P4X1X2=p J4 p2k2 8p2 2p 2Jk22.当 k 0时，(S ABN) min 2j2p2.()假设满足条件的直线l存在，0,t与AC为直径的圆相交于点P、其方程为y=a,AC的中点为Q , pQ的 点为Y H ,O

12、HPQ,O点的坐标为( 生, 一p)2 21O P 21 AC 2 Jx12 (y1 P)2 =2，O h|ph|2|21i21221oP |OH| =-(y1 p) (2a44y1 p)2 =(a 即1 a(p a)，PQ方程为y(2PH|)2a y1 pI，=4 (a 号)y2 a(p a).卫0，得a卫此时I PQ| p为定值，故满足条件的直线I存在，其2 2p即抛物线的通径所在的直线.解法2:(I)前同解法1,再由弦长公式得AB 寸 1 k2 Xj x2k2 J(Xi X2)2 4x1X2 Jlk2 44P2k2 8p2=2 pk2 Jk22.又由点到直线的距离公式得d2pJ1 k2

13、.从而，S ABN 2 d AB2pJ1 k22p2Jk2 2,当 k 0时，(S ABN) max 2d2 p2.()假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为(X 0)(x X1) (y p)(y yj 0,将直线方程y=a代入得2XX1X (a p)(a yj 0,则=x2 4(a p)(a yj 4 (a 号)y1 a(p a).设直线I与以AC为直径的圆的交点为 P (X2,y2),Q(X4,y4),则有PQX3X4J4 (a )y1 a(P a)2(a |)y1 a(P a).令a p 0,得a R,此时|PQ2 2程为y -.2p为定值，故满足条件的直线

14、I存在，其方即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题& (如图(21)图，M(-2 , 0)和N (2, 0)是平面上的两点，动点P满足:PMPN6.Igo tJnic2i图（I）求点P的轨迹方程；()若 |PM| PN=2,求点P的坐标.1 cos MPN解：（I）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M N为焦点，长轴长2a=6的椭因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴b= Ja2 c275 ,2 2所以椭圆的方程为三上952,得1 cos MPN1.n)由PM|pNPM IPN cosMPNPM IPN2.因为cosMPN 1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M N构成三角形.在 PM

15、l中，mn| 4,由余弦定理有MNPMPN2 PM IPN cosMPN将代入，得42PMPN2 2(P m| PN| 2).故点P在以M N为焦点，实轴长为273的双曲线2x 2.y 1 上.322由（I）知，点P的坐标又满足育 +1，所以x解得y3/32752 .由方程组5；2 9y2 45,X2 3y23.即p点坐标为(3屈品、( (亍亍(学,季)、(-琴呼)或(问题九：四点共线问题2例题9、设椭圆c：务a2豊1(a b 0)过点M(V5,1)，且着焦点为F1( 72,0)b(I)求椭圆C的方程;(n)当过点P (4,1)的动直线I与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足

16、Ap|QB |AQPB，证明：点Q总在某定直线上解(1)由题意:2 c2_a22 c2丄b2a2 b21 ，解得a2 4,b2 2，所求椭圆方程为方法设点Q由题设知P,A、B 的坐标分别为(x,y),(X1,y1),(X2,y2)。 aPj|PBaQQB均不为零，记aPB,Q四点共线，从而PB, aQaQQBIQB于是X1X21XX21y1y21y1y21从而2 2X224x ,2yi1又点A、B在椭圆C上，即2Xi22y14,1(111(3)X； 2yf 4,| 卅 I (1) + (2)X 2 并结合(3), (4)得 4s 2y 4即点Q(x, y)总在定直线2x y 2 0上方法二设点

17、 Q(x, y), A(X1,y1), B(X2,y2), pAIpbI由题设，pA lUqB均不为零。pAAQ,pb bQ( 0, 1),于是又P,A,Q,B四点共线，可设4x1-1-114x1 y (2)X2,y2 (2)1 1由于A(x,y1), B(X2, y2)在椭圆C上，将(1 ),(2)分别代入C的方程x2 2y2 4,Xix,y2整理得(x2 2y24) 24(2x2)14(x2 2y24) 24(2x2)14(4) - (3)8(2xy 2)00, 2x y 20即点Q(x, y)总在定直线2x问题十：范围问题(本质是函数问题)2设F1、F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点。4

18、(I)若P是该椭圆上的一个动点，求 P Fi PF2的最大值和最小值;(H)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B ,且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围。解：(I)解法一：易知a 2,b 1,c 73所以Fi屈0 ,F2虫0，设P x,y ,则X, y , y3X, y x匸1 0，即k2 4 k2- y23 x2 134因为X2,2，故当X 0，即点P为椭圆短轴端点时，pF! Pf2有最小值2即点P为椭圆长轴端点时，pf! pf2有最大值1解法二：易知 a 2,b 1,c ，所以 Fi73,0 , F2 5/3,0，设 P X,y，则PF P

19、f2 |Pf1 |Pf2|cos Fi PF22 PFi PF22 、 _X 5/3y2 12X2y2 3 （以下同解法一）()显然直线X 0不满足题设条件，可设直线l:y kx2,A xi, y2 ,B X2,y2 ,联立y2 X4kx 2y2 1消去y，整理得:k2-X2 4kx 304X2k24kr4XiX23k2 -44k4k2 3 0 得又00A0B 900cosA0B 0 OA oBXi X2yi y20又yykX|2 kX?22k XiX2 2k Xi X23k2,21k -48k2,2 1k -4k21,21k -43.2 1k -4故由、得2 k普或字k 2问题一、存在性问题

20、：（存在点，存在直线 y=kx+m,存在实数，存在图 形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）22设椭圆E:乡笃1 (a,b>0 )过M(2, 72) , NG/6,1)两点，O为坐标原a b（I ）求椭圆E的方程;E恒有|AB |的取值范（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 两个交点A,B,且oA Ob ?若存在，写出该圆的方程，并求围，若不存在说明理由。因为椭圆2E: Zj 2a2V 1 (a,b>0)过 M( 22 )，N（76,1）两点,42 所以a62 a2孑1b21解得112a1b218所以142 ab24椭圆E的方程为7使得该圆的任意一条切线与椭圆假设存在圆心在原点的圆，OB,设该圆的切线方程为有两个交点A,B,且OAy kx m解方程组y kx mx2y2得X2 2(kx丄184m)28即(1 2k2)x224kmx 2m 80w.w.w.k.s.5.u.c.o.m贝卩 =16k2m2 4(1 2k2)(2m28)8(8k2m24)0 ,即 8k2m24X1 X2X1X2 1yy (kxi2m)(kx2 m) k x,x2km(x1 X2) m2k2(2m28)1 2k24k2m21 2k22c.