立体几何典型例题

1、【知识要点】1空间直线和平面的位置关系：(1) 空间两条直线： 有公共点：相交，记作：a n b= A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交. 无公共点：平行或异面. 平行，记作：a / b.异面中特殊位置关系：异面垂直.(2) 空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交. 直线在平面内，记作：a . 直线与平面相交，记作：a n = A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交. 无公共点：直线与平面平行，记作：a / .(3) 空间两个平面： 有公共点：相交，记作： n = I，其中特殊位置关系：两平面垂直相交. 无公共点：平行，记作：/.2空间作为推理依据的公理和定理：1:如果一条

2、直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内. 2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(1) 四个公理与等角定理： 公理 公理 公理 公理定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2) 空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直

3、，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3) 我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：平面方平面直钱n平面E线丄乎面直线丄直线平面丄平面【例题分析】例2 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形,M , N分别是AB,PC的中点，求证：MN /平面DD【分析】要

4、证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件, 因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE, NE.底面ABCD是平行四边形，M , N分别是AB, PC的中点， MA/ CD, MA-CD.2 NE/ CD , NE/ E是PD的中点,-CD.2 MA/ NE, 且 MA= NE , aenm是平行四边形， MN / AE.又AE 平面PAD , MN 平面PAD , MN /平面 PAD .方法二取CD中点F，连接MF , NF ./ MF / AD, NF / PD,平面 MNF /平面 PAD , MN /平面 PA

5、D .【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法: (1)证明线线平行：a / c, b / c,a/ a, a 3all 3a丄a, b丄aan 3= bn a= a,n 3= ba/ ba / ba / ba / b(2)证明线面平行:an a=a / ball 3ba,a aa 3a/ aa / aa / a(3)证明面面平行:an 3=a /3,b / 3a丄a, a丄3all ,3/a , ba, a nb= Aall 3a/ 3all 3a/ 3例3在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi = AC, AB丄AC,求证：AiC丄BCi.BCi的平面即【分析】要证明可.证明：

6、连接ACi.ABC AiBiCi是直三棱柱，- AAi丄平面ABC , AB 丄 AAi.又AB丄AC, AB丄平面 AiACCi,- AiC 丄 AB .又 AAi= AC,侧面AiACCi是正方形，- AiC 丄 ACi.由，得 AiC丄平面ABCi,- AiC 丄 BCi.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ AB丄AC ”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4 在三棱锥 P ABC中，平面FAB丄平面 ABC, AB丄BC, AP丄PB,求证：平面 FAC丄平面 PBC.可以通过“线线垂直”【分析】要证明“面面垂直”

7、，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 进行转化.证明：平面PAB丄平面 ABC，平面 PABQ平面 ABC = AB,且AB丄BC, BC丄平面FAB, AP丄 BC .又AP丄PB, AP丄平面FBC,又AP 平面FAC,平面PAC丄平面 PBC .【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：a丄c, b / c,a丄ab aa丄ba丄b(1)证明线面垂直:a丄m, a丄na / b, b丄 aall p a丄 pa丄 p, aP p= lm, na, mGn = Aa p, a 丄 la丄aa丄aa丄aa丄a(1)证明面面垂直： a 丄 P, a a a

8、丄p例分别是5如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面 ABC，/ A1AB= 60°, E, FAB1, BC的中点.)求证：直线EF /平面， (n)在线段AB上确定一点 证明：(I )连接A1C, A1E. 侧面A1ABB1是菱形， E也是A1B的中点， 又F是BC的中点， EF / Aq 直线(IA1ACC1；G,使平面EFG丄平面ABC，并给出证明.解:平面 A1ACC1, EFEF /平面,BG当一GAA1ACC1.1一时，平面3E是AB1的中点,AiC.平面 AiACCi,EFG丄平面ABC，证明如下:连接EG , FG .A1AB

9、 = 60°,.厶A1AB是等边三角形.侧面A1ABB1是菱形，且/BG 1 E是A1B的中点， -, EG丄AB.GA 3平面 A1ABB1丄平面 ABC，且平面 A1ABB1Q平面 ABC = AB, EG丄平面ABC.又EG 平面EFG，平面EFG丄平面 ABC .练习7 1一、选择题：1. 已知m, n是两条不同直线，(A)若 m /, n / ，贝U m / n(C)若丄，丄，贝y /2. 已知直线 m, n和平面 ，且 m丄n, m丄(A)n 丄(C) n 丄是三个不同平面,(B)若m丄(D)若 m/ , 丄(B) n /,(D) n /,下列命题中正确的是(),n丄,m

10、 / ，则(或n或n，贝U m / n ，则 /)内有且只有一条直线与直线m垂直m有且只有一个平面与平面垂直m垂直的直线不可能与平面平行m平行的平面不可能与平面垂直3 设a, b是两条直线，、是两个平面，则 a丄b的一个充分条件是()(A)a 丄,b/ , 丄(B)a丄，b丄，/(C)a , b丄，/(D)a , b/,丄4 设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A) 在平面(B) 过直线(C) 与直线(D) 与直线二、填空题：5.在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，当底面 ABCD满足条件可)设 ， 是两个不同的平面，m, n是平面m丄n 丄n丄m丄以其中三个论断作为条

11、件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题.已知平面 丄平面 ， n = I，点A , A l，直线AB /I，直线AC丄I，直线m /, m/ ，给出下列四种位置： AB / m；AC丄m :AB / ; ® AC丄, 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是 .三、解答题：9 .如图，三棱锥 P ABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角形，M , N分别为PA, BC的中点.6.7.8.时，有AiC丄BiDi.(只要求写出一种条件即之外的两条不同直线，给出四个论断:在三棱锥 P ABC 中，PA PB ，平面 PAB丄平面 ABC, FA丄 PB, AB丄 BC, / B

12、AC = 30°,贝U PC =BD的中点.求证:(I )求MN的长；(n )求证：PA丄BC .10 .如图，在四面体 ABCD中,(I )直线EF /平面ACD ;(n )平面EFC丄平面 BCD .11.如图，平面 ABEF丄平面 ABCD，四边形 ABEF与ABCD都是直角梯形，/ BAD = / FAB = 90°, BC / AD,BC AD,BE/AF,BE2(I )证明：四边形 BCHG是平行四边形； (n )C, D , F , E四点是否共面？为什么？ (川)设AB= BE,证明：平面ADE丄平面 例2 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中，CDE .

13、E是AC的中点.(I )求证：平面 BECi丄平面 ACCiAi; (n )求证：【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图， 据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I ) / ABC AiBiCi是正三棱柱， AAi丄平面ABC, BE 丄 AAi. ABC是正三角形，E是AC的中点， BE丄AC,； BE丄平面 平面BECi丄平面ACCiAi.(n )证明：连接 BiC,设 BCin BiC= D . BCC1B1 是矩形，D 是 BiC 的中点， DE / AB1.又DE 平面BECi, ABi平面BECi,- ABi /平面 BECi.例3 在四棱锥 P ABCD中，平

14、面PAD丄平面 ABCD , AB / DC ,ABi/ 平面 BECi.这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根ACCiAi, 又 BE 平面 BEC1, PAD是等边三角形， 已知BD = 2AD = 8,AB 2DC 4爲.(I )设M是PC上的一点，证明：平面MBD丄平面PAD ;(n )求四棱锥P ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB ,MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线 BD是否垂直平面PAD .证明：(I )在 ABD中，由于 AD = 4, BD = 8, AB 4(5 ,

15、所以 AD1 2 + BD2 = AB2.故AD丄BD .又平面PAD丄平面 ABCD，平面 PAD n平面 ABCD = AD,所以BD丄平面PAD ,又BD 平面 MBD，故平面 MBD丄平面 PAD .(n )解：过P作PO丄AD交AD于O,由于平面 PAD丄平面 ABCD，所以PO丄平面 ABCD .因此PO为四棱锥P ABCD的高，BD 平面 ABCD ,又 PAD是边长为4的等边三角形.因此 PO f 4DC , AB = 2DC,在底面四边形ABCD中，AB /所以四边形ABCD是梯形，在所以四边形ABCD的面积为S243Rt ADB中，斜边 AB边上的高为245 4j石专题七4

16、 84丿5響 24.故 Vp abcd立体几何参考答案练习7-1卑5，即为梯形ABCD的高,5P-24 2J3 16J3.一、选择题:3. C 4. B7.、三、解答题：9. (I )解：连接三棱锥；或、&MB , MC.P- ABC的三个侧面均为边长是 1a/3MC的等边三角形,且底面 ABC也是边长为1的等边三角形. N为BC的中点，MN 丄 BC.在 Rt MNB 中，MN(n )证明： M是FA的中点， PA丄 MB,同理 PA丄MC ./ MB n MC = M , PA丄平面 MBC , 又BC 平面MBC,. PA丄BC.10 .证明：（I ） E、F分别是AB、BD的中

17、点， EF 是 ABD 的中位线， EF / AD .EF /平面 ACD .又EF 平面ACD , AD 平面ACD，直线（n ） / EF / AD , AD 丄BD, EF 丄 BD . CB= CD , F 是 BD 的中点， CF丄BD ./ CF n EF = F , BD 丄平面 CEF ./ BD 平面BCD，平面 EFC丄平面 BCD .11. （I ）由题意知，FG = GA, FH = HD , a GH / AD , GH AD,21又 BC/ AD , BC -AD gH / BC, GH = BC,2四边形BCHG是平行四边形.（n ）C, D , F , E四点共面.理由如下：由 BE / AF , BF -AF , G 是 FA 的中点，2得 BE / FG，且 BE= FG . EF / BG .由（I ）知BG / CH , EF / CH，故EC , FH共面，又点 D在直线FH上, 所以C, D, F , E四点共面.（川）连