理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)

1、第9章动量矩定理及其应用9 1计算下列情形下系统的动量矩。1. 圆盘以 小球以相对于圆盘的速度2. 图示质量为 m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为3的角速度绕 O轴转动，质量为 m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时 Vr运动到 OM = S处（图a）;求小球对 O点的动量矩。A，质心为C，且AC = e；轮子半 b）o （ 1 ）当轮子只滚不滑 当轮子又滚又滑时，若VA、3已知，求轮径为R,对轮心 A的转动惯量为 Ja; C、A、B三点在同一铅垂线上（图 时，若VA已知，求轮子的动量和对B点的动量矩；子的动量和对B点的动量矩。解:1、Lo2 m s（逆）2、(1)pmvcm(vAe)

2、mvA,(1LBmVc(Re) JcmvA(Re)2(Ja(逆)(2)Vr、M(a)me2)VARVA、习题9 1图(2) PLbmvcmVc(Rm(vAe)e) Jcm(VAe)(R2e) (Ja me)m(Re)VA (Ja meR)其大、A、B 解：9 2小半径分别为 R、r，对 的质量分别为 mA和mB ；3的角速度绕O轴转动， 轴的转动惯量为 Jo ；物块图示系统中，已知鼓轮以O试求系统对 O轴的动量矩。2Lo(JoEaR2 mBr )习题9 2图9 3 图示匀质细杆 OA和EC的质量分别为50kg和100kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位 置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的

3、角加速度及铰链O处的约束力。不计铰链摩擦。解：令 m = moA = 50 kg，贝U mEc = 2m 质心D位置：（设I = 1 m）5 5d OD -l -m6 6刚体作定轴转动，初瞬时3 =0mg 寸 2mg l-ml2 2m （2l ）2 2ml2 3ml2312-mgl2% -6l 9aD 5l6由质心运动定理：3m aDJoJo即 3ml228.17 rad/s2526gFoy 3mg0，aD3mg Foyc 2511一 CM3m g mg 449 N 36120,Fox0习题20-3图(f)aF1 m习题20-3解图Foy mg9 4卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B、C

4、,其半径分别为 R和r，对自身转轴的A的质量为 m，作用于轮 C的主动转矩为M，求重物 A的加转动惯量分别为 J1和J2。被提升重物 速度。解：对轮C:J2 C M对轮B和重物A：2(J1 mR )FtR mgR运动学关系：® ©(M mgr)rR2Jj2 J2R2 mR2r29-5图示电动绞车提升一质量为习题9 4图的物体，在其主动轴上作用一矩为M的主Fn'动力偶。已知主动轴和从动轴连同安 装在这两轴上的齿轮以及其它附属零 件对各自转动轴的转动惯量分别为 和J2;传动比r2 : r1 = i;吊索缠绕在 鼓轮上，此轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重

5、物的加速度。解：对轮1J1 1 M 对轮2 (图 (J2 厂"(图 a)：Fr1b)：mR2)习题9 5图J1Fn(a)(b)ri 1r2 2 ；Mi2 F r2i 2mgR1mgRJ2mR2J1i2重物的加速度:(MiJ2mgR)RmR2 J1i9 6均质细杆长的距离相等，即 AC = CB = e。现在突然移去支承 量 AF A。21，质量为m,放在两个支承 A和B 上,解:Jamge，Jml23me2)macmgacFa3ge2FaFae 22l2 3e223mgemg 72- 2l 3e23mgel2 3e2mgFamgmg习题9 5解图如图所示。杆的质心B，求在刚移去支承C

6、到两支承B瞬时支承A上压力的改变mge习题9 6图3e2 l22(pmgAfA 'mg习题9 6解图9 7为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a、b所示。摆动100次所用的时间为100s。另外，如图c所示，为了求得连杆重心到悬挂 轴的距离AC = d,将连杆水平放置，在点 A处用杆悬挂，点B放置于台秤上，台秤的读数 连杆质量为80kg，A与B间的距离 图面的轴的转动惯量F = 490N。已知l=1m，十字头销的半径r = 40mm。试求连杆对于通过质心 C并垂直于Jc。acUlK<b>习题9-7图解:Ja图(a),

7、mg(d1时,r)Jamg(d r) 0mg(d r) 0JA代入（KJa2 n 2njJa(1)nVmig(dr)Jc m(dr)2(2)J ( b):1a 0 , dFl50.625 mmg8）、（2）,注意到周期T2s,得mg(d r)2m(d2r) m(dr)g2(d r)nn80 0.665(攀n0.665)17.45kg m2mg(d r)TJaJcCBdIIl1 mgAF(b)习题9 7解图9 8图示圆柱体A的质量为m,在其中部绕以细绳, 其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度 h时圆柱体中心 力Ft。解：法1 :图（a）maA绳的一端A的速度B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落, U

8、和绳子的拉J AaaAJa解得FtaAmg FtFyr(1)(2)1 2-mr213mg (拉)2-g (常量)习题9 8图(4)“窗2珂（J）3法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变, 量矩定理：J C由运动学 vA故可对瞬心C用动JcmgrJ A mr23 2 mr2FtaAraA |g（同式（4）再由mg FtmaA得Ft 3 mgj2aAh 石寸5gh (J)3Va(拉)(a)9 9鼓轮如图，其外、内半径分别为 =R ，鼓轮在拉力 F的作用下沿倾角为 试求质心0的加速度。解：鼓轮作平面运动，轴 0沿斜面作直线运动:R和r，质量为m,B的斜面往上纯滚动，maoFFf mg sin(1)2

9、 mFrFfR(2)纯滚：aoR(3)代入（2）2maoFrFfR(4)R解（1）、（4）联立,消去Ff，得aoFR(R'r)mgR2si nm(R22)O对质心轴0的回转半径为 p且P F力与斜面平行，不计滚动摩阻。习题9 9图m,当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮 B的半径 。求：重物A的加9 10 图示重物A的质量为滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮为R，滚子C的半径为r，二者总质量为 m，其对与图面垂直的轴 0的回转半径为 速度。习题9 10图11解：法1:对轮:JoTRFr(1)m ao 对A:(2)ma

10、Amg又:aAaH绳以O为基点：taHtaHnaHtaHOaOaHnaHOtaHO(R r)由上四式联立，得aAao(J) (注意到 mg(R r)2Joa A m ( 2 r2) m(R r)2法2:对瞬心E用动量矩定理J emaA又aA可解得:aAT(R r)mg Tr)m r2 m ( 2g(RJom! 1m (R r)2(Rr)gm( 22)1m (R r)2(本题质心瞬心之距离为常数)r2)9- 11图示匀质圆柱体质量为，求圆柱中心m,常数，滚动阻碍系数为解：JdMfFnM MfFnmg3 2 -mr2代入(1),ar得2(M mg)3mr又：ma FF 2(M mg)3r9- 12

11、跨过定滑轮B上，如图所示。已知圆柱心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮解：对轮C :Jc对物块B :且：ac解得：aBm1acm2aBaB rm1FtFnao半径为r,在力偶作用下沿水平面作纯滚动。O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。(1)习题9- 11图(a)naHO(b)aHaHaHO若力偶的力偶矩M为D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体A的半径为r，质量为 m1;物块B的质量为 m2。试求物块 B和圆柱质 D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。mgFt；JCm 3m2 gmmm1 3m2 gFt1 -gr2 1ac2 m2mt 3m2Qa tm1习题9- 12图9-

12、 13图示匀质圆轮的质量为 m,半径为r，静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力 F，并 使胶带与轮子间产生相对滑动。 设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为 f。试求轮子中心O经过距离s所需的 时间和此时轮子的角速度。解：图（a）,轮0平面运动:mao FiJo由（2）,Fn动滑动时，F1（4）代入（Fn mgFWmgaofFN1),fgfmg得（4）代入（3),得（Jo1 mr 2由（5）2fgr 代入下式： s 丄 aot22匡pgt(逆)rFi9- 14图示匀质细杆 AB质量为m, 去不计，试求杆的初始角加速度。长为I，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略解：法1： P为A

13、B杆瞬心,PC t，图（a）：J P mg sinJp 丄ml233g .sin2l法2： AB杆平面运动mxcFbmycFaJcFamg1-sin2XcXcXcyc1 . Sin21-cos2l 一sin21 -cos20 )yc(1)(2)(3)将(5)、(6)、(1mcos21Fb 一 cos21-cos2(4)yclsin21-cos21 .-sin21 cos2(6)(7)代入(2)、(3)、(4)得Fb(8)习题9- 14图(b)解得:1 . -msin21 .2 ml123g sin27FaFA sin2，与（mgL F B cos21 ）式相同。R,与其固连的轮轴半径为 半径为

14、，缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点 滑动，板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力9- 15圆轮A的半径为(9)(10)D。均质平板r，两者的重力共为W，对质心 C的回转BE的重力为 Q,可在光滑水平面上 试求平板FBE的加速度。解：对轮C:JCFfRFTr ； Jc对板BE:W比gQaBEgFtF f ； acFf ； aBE(Rr)求得：aBEF(RQ(R r)2 W(2r) g2 2r )可绕铅直轴z转动。水从铅直管流入，以相对A,*9 - 16图示水枪中水平管长为 2l，横截面面积为 速度Ur从水平管喷出。设水的密度为解：水平管上各点科氏加速度相同aC 2q vraC 2 3Vr科

15、氏惯性力均布，其合力（如图）：FicIA ac 2 Vr lA1 2Mz 2 Fic 2 TA £2*9 - 17图示匀质细长杆 AB，质量为m,长度为I，在铅垂位置由静止释放，借 角为 的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。解：图A端的水滑轮沿倾斜ac即 acx aA（a），初瞬时aCxaCyTacA cosaAAB 0，aA aCA 丄cos2以A为基点，则(1)aCA sinsin习题9-17图由平面运动微分方程:macxaCxmg sin gsinmacyJc丄m|212Fnmg cos FnFn -sin21 . Sin2(2)、(5)联立，得3g

16、sin22I (1 3sin )(6)(1)、得aA(6)代入，得aA-cos24si n1 3 si n2gsin,D棱是光滑的。在图*9 18匀质细长杆AB，质量为示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心 解：初始静止，杆开始运动瞬时，aD此时沿m,切向，即沿AB方向，所以(a)，以D为基点：由 aCx aCy aD aCD aCx aCD d由AB作平面运动：mg sinmacxFnaCDmacy ml12(3)， aCy(1)、(2)mg cos1 Fn dacxFngcos、(4)联立12gd2sinI212d2mgl2 sinI212d2长为I， CD = d,与铅垂墙间的夹角为 c

17、的加速度和D处的约束力。VD必沿支承处AB方向，如图(1)(2)(3)9 19如图所示，足球重力的大小为 形成头球。球员以头击球后，球的速度大小为来，时间为0.15s。试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。解：击球前后球的动量改变为P m(v1 v1)fi习题9- 18图40°角的速度向球员飞20 0角。若球头碰撞4.45N,以大小V1=6.1m/s,方向与水平线夹V1=9.14m/s，并与水平线夹角为4 45p 9.14cos20o ( 6.1cos40o), 9.14sin20o ( 6.1sin40o) g=0.454 (13.26,0.795) = (6.02,0.3

18、61) NTs设p与水平夹角巴tan 型0.06Px6.023.431°p|6.03 NTsp 6.03 40.2 N t 0.15(a)人头受力F与p反向，即向左下方。习题9- 19图9 20边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍 木箱能完成上述运动的最小初速习题9 20图VO7777777碰前(a)(b)A相碰撞。碰撞后绕 A翻转。试求 v0 ；木箱碰撞后其质心的瞬时速度VC与瞬时角速度 。A点受冲A点的动量矩守恒。解：碰前方箱以初速度 Vo平移，碰后箱绕A点转动直到翻倒，碰撞中箱只在 量，重力等其它有限力的冲量可忽略不计，因此碰撞前后箱对设箱的质量为mJa md2 Jc -ma26对A动量矩守恒:amv。-2八 2m(2a)2 2-ma32 2 -ma33vo4a若箱刚能完成翻转, 最高点机械能守恒，即则转到最高点时0，从碰后到a mg-由(1)得，1 ma33v-1 2 2 ma 2 3_9V0_a2mg(72 1)a2丿由此,16Vo3v04a0.207ag1.05 匱'O.788書，Vc转到最高处0.557f ag (方向如图示)(c)*9 21台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度 h。I解：设杆给球的冲量为I，受击后球心速度为V,球的角速度