用时域变换的方法计算微带线的有效介电常数

1、用时域变换的方法计算微带线的有效介电常数于学萍吕英华王昕玮黄永明(北京邮电大学培训中心,北京100876)摘要使用了各向异性的PML吸收边界条件来截断时域有限差分网格,对具有匹配负载的微带线中的电磁波的传播进行了模拟,并通过时域变换来计算微带线的有效介电常数。首次把各向异性的PML吸收边界条件和数值模拟终端负载以及时域变换等技术结合起来,引入到有关微带线的计算中来,以替代分别使用完全电壁和完全磁壁进行两次计算的边界条件。从计算结果看,该结果同分别使用完全电壁和完全磁壁进行两次计算的边界条件所得的结果符合得很好。并且在计算上更简洁。可以看出各向异性的PML吸收边界条件对用时域近似这类方法来解决微

2、带线问题非常适用。 引言FDTD方法是由Yee在1966年首次提出的1,在之后的30多年来FDTD方法经历了一个蓬勃发展的过程。最初的FDTD还有很多缺陷,且鉴于当时的计算机水平,使得早期的数值精度不高,应用范围也不广。随着FDTD技术的发展,使它在复杂形体结构和多种媒质并存的一类问题中占有重要的一席之地2。在电磁场领域中,FDTD已经广泛地应用于电磁传播和电磁散射的各类问题中,当然这其中也包括对微波电路的分析3。然而对于开放问题,就需要设置特殊的边界条件以便于计算机的运算。设置这个边界条件的目的在于吸收外行波。使得能够用有限的计算机资源来模拟开放空间。为了吸收外行波,过去的几十年发展了多种技

3、术来用于计算机计算。第一种是辐射边界条件4,这种边界条件现在已经不常用了。第二种是匹配层边界条件5,它的原理是在计算的区域外包围着吸收媒质层。这种吸收媒质层的阻抗同自由空间的阻抗相匹配。第三种技术是源自于单向波方程的近似,其中较有代表性的是Mur吸收边界条件6。Mur吸收边界条件解决了许多电磁场方面的 问题,因而应用相当广泛,是八十年代的一种较有影响的技术。但是,Mur吸收边界条件自身仍存在着很大的缺陷:它对入射波同边界的夹角有很高的要求。因而使用Mur吸收边界条件就要求散射体离边界足够远,这种条件无形中加大了对计算机内存需求,使许多问题在现有的计算机资源条件下无法得到解决。在1994年,Je

4、an-PierreBerenger提出了PML(perfectlymatchdelayer)吸收边界条件。PML吸收边界条件很好地解决了上述的困难,所以它一出现就得到了极大的推广,相继解决了一些过去难以求解的问题。在随后的几年中,PML技术又得到了进一步的发展,TongLi把PML技术推广到不对称的三维FDTD网格中7。StephenD.Gedney提出了各向异性的PML吸收媒质8。这种吸收媒质避免了在吸收媒质中对磁场的劈裂,它不仅保留了原PML技术的长处,而且进一步降低了PML技术对计算机内存的需求,并且使计算机编程计算更容易实现。本文所采用的就是各向异性的吸收媒质。应用时域近似的方法来处理

5、微带线的问题,已经是一个比较成熟的方法。时域近似的优点在于只执行一次计算就可得到宽带频域的结果。但是时域近似对时域结果的精度要求很高,时域结果很小的误差就能导致频域结果的错误。所以应用时域近似往往对吸收边界条件具有十分严格的要求。在以往的应用中,多数尽量避开这一困难。如ZhangXiaoLei9在使用时域近似时,就是应用了在边界上分别设置终端电壁和终端磁壁,执行两次计算后取平均的方法。这样虽很好地避免了这种困难,但是增加了计算和编程的工作量。而本文使用PML吸收边界条件所得的结果符合时域近似的要求,避免了这种重复运算。且所得结果同理论计算符合得很好。在PML吸收边界条件下,时域近似的长处得到了

6、充分的发挥。有效介电常数是PCB的设计的一个重要的参数10。利用有效介电常数可以得到许多微带线的特性参量:如相速、接地板电容、传输时延等等。本文虽只着重对微带线的有效介电常数进行了研究,但是利用此方法同样可以得到特性阻抗等其他重要的参量。把这一方法引入到微带线的设计中具有十分重要的实际意义的。2理论2.1各向异性的PML吸收媒质FDTD方法是用差分形式来表示Maxwell方程11。在非轴对称媒质中安培定律的矩阵形式可表示成8: yHz- zHy zHx- xHz xHy- yHx=jor(1)1+jo1+jo11+joExEyEz(1)式中的横磁场元Ex和Ey同各向同性媒质中的关系式是相同的,

7、因此可以通过标准的FDTD方程来计算。差分方程可以写成:En+1/2xi+1/2,j,k=20-t20+tEn-1/2xi+1/2,j,k+2tr20+t.Hnzi+1/2,j+1/2,k-Hnzi+1/2,j-1/2,ky-Hnyi+1/2,j,k+1/2-Hnyi+1/2,j,k-1/2z(2)而Ez可以通过如下的方法来计算:引入电通量密度Dz,Dz同Ez的关系如下:Dz=or1+j0Ez(3)由(1)(3)式可得: xHy- yHx= tDz(4)Dz由标准的FDTD公式来计算:Dn+1/2zi+1/2,j,k=Dn-1/2zi+1/2,j,k+t.Hnyi+1/2,j,k+1/2-Hn

8、yi-1/2,j,k+1/2x-Hnxi,j+1/2,k+1/2-Hnxi,j-1/2,k+1/2y(5)利用中心差分来近似对时间的微分,得到二阶精度的差分表达式:En+1/2z=En-1/2z+10r.Dn+1/2z1+t20-Dn-1/2z1-t20(6)对于边角区域,Maxwell方程表示成: ×H=jorE(7) ×E=-joH(8)453=syszsx000sxszsy000sxsysz(9)sx=1+xjo(10)sy=1+yjo(11)sz=1+zjo(12)类似于前面,引入电通量密度Dz=orsxszEz(13)由(7)(8)(9)式可得: xHy- yHx

9、=jsyDz=jDz+yoDz(14)由(13)可以通过Dz计算出Ez,而且jDz+zoDz=or(jEz+xoEz)(15)用中心差分代替对时间的微分,可得二阶精度的差分表达式:En+1/2z=En-1/2z1-xt2o1+xt2o+11+xt2oor.Dn+1/2z(1+zt2o-Dn-1/2z1-zt2o(16)2.2微带线终端阻抗匹配的数值方法对于终端具有负载的微带线,Maxwell方程可作如下改写8 ×H=JC+ D t+JL(17)其中JL代表负载的电流密度,用下式计算JL=ILyz(18)其中IL=E(19)y和z分别表示Y方向和Z方向的FDTD网格宽度。在微带线的终端

10、用改写后的FDTD方程代替标准的FDTD方程,并且通过的设置来达到微带线终端负载匹配的目的。3数值计算本文所研究的微带线如图1所示。为了便于对比,本文采用的微带线参数同XiaoLeiZhang的论文所使用的微带线的参数相同。微带线的各参数如下:衬底厚度:h=3.17mm衬底的介电常数:11.7微带线宽度:W=3.04mm导带宽度:0mm图1微带线的结构把高斯脉冲源均匀设置在微带线的前平面导带下方的平面上,而且只有Ex分量。高斯脉冲源的表达式如下:Ex(t)=exp-(t-t0)2T2(20)其中t0是一个常数,之所以要对高斯脉冲源做这样的修改是为了避免数值的剧烈变化所引起的数值震荡。这个修改相

11、当于把高斯脉冲源在时域中向时间轴的正方向平移了t0。t0的数值设置与具体的计算情况有关。为计算有效介电常数需把结果由时域变换到频域。取导带下方的两个不同点,分别进行付里叶变换,得到如下的表达式:Ex(,z=0)=-Ex(t,z=0)e-jtdt(21)Ex(,z=L)=-Ex(t,z=L)e-jtdt(22)当传输线无限长或线的终端处于匹配状态时,线上只存在入射行波,则可由(21)和(22)求得L线段的转移函数:e-()L=Ex(,z=L)Ex(t,z=0)(23)()=()+j()(24)有效介电常数reff()通过()定义为:()=00reff()(25)或者写成:reff()=2()20

12、 图2给出了本文所计算的导带下方平面的电磁场分布图。可以看出导带正下方的电磁场幅度要远大于其它位置的电磁场,这和微带线中传播的电磁波是准TEM波是相符合的。许多人对有效介电常数已做过理论研究,在图3中列出了这些结果8。图4再次单独列出了本文的结果。图2高斯脉冲源在微带线中的传播图3不同作者计算的有效介电常数的对比(1)Farrar和Adam,(2)Itoh和Mittra,(3)VandeCapelle和Luypaert,(4)Denlinger,(5)Schmitt和Sarges,(6)Chang和Kuester,(7)Pregla和Kowalaki,(8)XiaoLeiZhang.(这些结果

13、都是从XiaoLeiZhang的论文中得到的),(9)是本文的结果图4有效介电常数随频率的变化4讨论从结果上来看,由数值模拟匹配负载和各向异性的PML吸收边界条件产生的反射所引起的误差很小,所以用数值模拟匹配负载结合各向异性的PML吸收边界条件完全可以替代XiaoLeiZhang文章中所用到的完全电壁和完全磁壁的边界条件。数值计算中对内存的要求是一个敏感的问题,由于内存的限制使得许多问题无法计算。所以如何从计算方法上改良以减少内存的需求是一个很实际的问题。由于微带线特殊的几何形状使得在本文中采用PML吸收边界条件对内存的需求大大低于采用Mur吸收边界条件。由于微带线厚度(设为x方向)远小于长度

14、(设为z方向)和宽度(设为y方向),所以使用FDTD时y和z方向上划分的网格数远大于x方向。例如:计算中使用PML吸收边界条件时需要对散射体划分成200×200×20,那么对于Mur吸收边界条件就需要210×210×30。这是因为Mur吸收边界条件要求散射体距离边界5个网格以上,才可以把由于边界所产生的反射降低到合理的程度。由于FDTD方法中的网格数是和内存成正比的,这就使得两者对内存的需求差了50%以上。如果考虑到对散射体同等网格划分,使用Mur吸收边界条件所得到的结果的精度低于使用PML吸收边界条件这一因素时,使用Mur吸收边界条件所需的内存就更大了

15、。所以在对微带线进行数值模拟时,PML比Mur更优越。在用FDTD方法进行计算是常常遇到的另一个问题是,在计算中如果采用富含高频成分的时域 信号,往往高频部分精度不高,这并不是FDTD方法本身的原因,而是由于内存的限制。由于FDTD方法要求在一个波长内至少取10个数值采样点,对于散射体来说,入射波频率越高,网格的划分就要越细化。如本文采用的是高斯脉冲源,频谱是从直流一直到无穷,所以只能要求网格的划分满足高斯脉冲源主要频率分量的要求,这样就使得高频部分精度不高。但是高频在这里是一个相对的概念,随着内存的增大,可以使更高频率部分达到精度要求。可见,只要设定了计算所感兴趣的频率范围,就可以估算出所需的内存了。所以增加内存完全可以解决这一困难。5结论由图3和图4可以看出不同理论所得到的结果在高频部分差异很大,但在