三角形全等的判定(二)教学设计示例

1、1 / 8三角形全等的判定（二）一、教案目的和要求熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等，进而由三角形 全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问 题。二、教案重点和难点重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明 三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重 视。难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全 等，运用不同判定公理时，要思路清楚。二、教案过程（一復习、引入提问：1. 我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？

2、（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。2. 已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到 哪个判定公理？（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180由此可以得到角角边公理）。3. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？（全等，由 AAS 公理可得出）4. 两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为 什么？（全等，由 AAS 公理可得出）5.两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？（全等，由 AAS 公理可得出）（二）新课刚才

3、同学们能很快运用ASA 和 AAS 公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意， 下面我们看几个例题：例 1 已知：如图 67,三 1=/2, AD = AE求证：OB = OCA2 / 8图 67分析：这题与书中例 1 图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段0B 和 0C分别在 BOD 和 COE 中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形 全等中创造条件。根据已知条件，可证明AABE 三:ACD。证明：在. ABE 和 :ACD 中2A=NA（公共角）丿 AE = AD（已知）N2 =N

4、1（已知）.：ABE 三.：ACD（ ASA ）.AB = AC （全等三角形对应边相等）B = C （全等三角形对应边相等）又 AD = AE （已知）BD 二 CEZ1 = Z 2.BDO =. CEO在.：BOD 和.COE 中2BDOCEO（已证）* BD =CE（已证）NB =NC（已证）.：BOD 三 COE （ ASA ）OB = OC （全等三角形对应边相等）例 2 已知：如图 68, 1= . 2, 3 =. 4 求证：/ADC = ZBCD。分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即UACD 和 BDC 中，欲让此两三角形全等有已知.3 = . 4,这时可有两种思路：

5、若用边角边公理，则应找到AD = BC , AC =BD，若用角边角公理则应证出AC = BD , ACD = . BDC，经过分析，用第一种思路较好。证明：T . 1 = . 2, . 3 = . 4DCB3 / 8.1 + . 3= 2 +. 4即.BAD = . ABC 在.ABD 和,：BAC 中22 =Z1（已知）AB = BA（公共边）NBAD =NABC（已证）.：ABD 三 BAC（ASA）.AD = BC , BD = AC （全等三角形对应边相等）在.:ADC 和 BCD 中AD = BC（已知）心3 =N4（已证）AC = BD（已证）.：ADC = BCD（SAS）.

6、ADC = BCD （全等三角形对应角相等） 例 3 已知：如图 69, AB/CD , AB = CD, AD、CB 交于 0 点。 求证：OE= OF。图 69分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即COD 与.汨 0A 全等既可以用“ AAS ”，又可以用“ ASA ”，进一步再证 OCF :- OBE 即可。证明： AB/CD （已知）.C = . B, . D = . A （两直线平行内错角相等） 在.QCD 和.QBA 中ZC=ZB（已证）；CD = BA（已知）ZD=ZA（已证）.：QCD =. QBA （ ASA ）此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等?.QC =

7、 QB （全等三角形对应边相等）在.QCF 和 QBE 中ZC=B（已证）4 / 80C =0B（已证）NFOC =ZEOB（对顶角相等）.：OCF 三.：OBE （ASA ）.OF = 0E （全等三角形对应边相等） 例 4 已知：如图 70，在. ABC 中，AD_BC 于 D, CF_AB 于 F,AD 与 CF 相交于 G,且CG = AB。求证：/ BCA 的度数。分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB 和 CG 所在的三角形，即 UBD 和.：CGD 全等，然后可知对应边 AD = DC,则DC 为等腰直角三 角形，BCA=45。证明： AD_BC,

8、 CF/B-ZB + BAD = . B + DCG =90（直角三角形两个锐角互余）.BAD = DCG 在 BAD 和 GGCD 中NBAD =NDCG（已证）* NADB = NCDG （垂直定义）AB =CG（已知） : BAD 三 GCD（AAS） AD = CD （全等三角形对应边相等）/ Rt . ADC 中ZBCA =45C5 / 8（三）巩固练习1.已知：如图 71, .=2, C = /D 求证：AC = AD。n图 712.已知：如图 72，点 B、F、C、E同在一条直线上，FB = CE , AF = DC , ZAFB =.DCE。求证：AB = DE ; AC =

9、DF。A（四 ）小结1.三角形全等公理 2 与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条 边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是 ASA。2.在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中， 若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因 而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。（五）作业1.已知：如图 73, ABC 中，N 是 AB 中点，BCMN 是平行四边形 求证：AP = PC。A图 732.已知：如图 74, ABC 中，BDJC , CE_AB

10、 垂足分别是 D、E。. ABC = . ACB , BD 和 CE 相交于0。 求证：0D = OEo6 / 8图 743.已知：如图 75,点 E、F 在 BC 上，BE = CF。AB = DC, ZB = ZC, AF 和 DE 相交成60角，且 AF、DE 相交于 O 点, 求：.DFE 和.AFE 的度数。An图 75答案及揭示巩固练习1.证明：在ABD 和. ABC 中丄 1 =N2（已知）AB = AB（公共边）ND =NC（已知）.ABD 三 ABC （ASA ）.AC = AD （全等三角形对应边相等）2.证明：在ABF 和 ADEC 中”FB =CE（已知）*NAFB =

11、NDCE（已知）、AF = DC（已知）.ABF = DEC （SAS）AB = DE（全等三角形对应边相等） B = E （全等三角形对应角相等）BF + FC= EC + FC （等量加等量和相等）在 ABC 和厶 CEF 中AB = DE（已证）=NE（已证）BC = FE（已证）.,：ABC=. DEF （ SAS）7 / 8.AC = DF （全等三角形对应边相等）作业：1. 证明：TN 是 AB 中点.AN = BN （中点定义） BCMN 是平行四边形BN = CM = AN AB/MC （平行四边形对边平行）ZANP = . M （两直线平行内错角相等）在. ANP 和. CM

12、P 中NANP =NM（已证）丿 AN =CM（已证）NAPN =NCPM（对顶角相等）.：ANP 三 CMP （ AAS ）.AP = PC （全等三角形对应边相等）2. 证明：TBD_AC, CE_AB （已知）. BEC = . CDB （直角定义）在 BCD 和.CBE 中2BEC =NCDB（已证）*NABC =NACB（已知）、BC = BC（公共边）.：BCD 三 CBE （AAS ）.BE = CD （全等三角形对应边相等）在 OBE 和 :OCD 中2BE0 =NCDO（已证）*NEOB=NDOC（对顶角相等）.BE =CD（已证）.：OBE = QCD （ AAS ） OD = OE （全等三角形对应