推理与证明.板块一.合情推理与演绎推理.学生版

1、大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家 .www.T opS 题型一:合情推理【例 1】迄今为止,人类已借助 “ 网格计算 ” 技术找到了 630万位的最大质数。小王发现由 8个质数组成的数列 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97的一个通项公式, 并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数。 小王欣喜万分,但小 王按得出的通项公式,再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的 一个数是 ( A . 1643 B . 1679 C . 1681 D . 1697【例 2】下面给出了关于复数的四种类比推理: 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; 由向

2、量 A 的性质 |A |2=A 2类比得到复数 z 的性质 |z |2=z 2; 方程 , , (02R c b a c bx ax =+有两个不同实数根的条件是 042>-ac b 可以类比得到:方程 , , (02C c b a c bz az =+有两个不同复数根的条件是042>-ac b ; 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 .其中类比错误的是 ( A. B. C. D. 【例 3】定义 A D D C C B B A *, , , 的运算分别对应下图中的 (1、 (2、 (3、 (4,那么下图中的 (A 、 (B 所对应的运算结果可能是 ( ( 1 (2

3、 (3 (4 (A (B A. D A D B *, B. C A D B *, C. D A C B *, D. D A D C *,典例分析板块一 . 合情推理与演绎推理大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家 .www.T opS【例 4】在平面几何里,有勾股定理:“ 设 A BC 的两边 A B , A C 互相垂直,则A B 2+AC 2=BC 2” 拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, “ 设三棱锥 A BC D 的 三个侧面 A BC 、 A C D 、 AD B 两两相互垂直,则可得 ” ( (AAB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (BBCD ADB AC

4、D ABC S S S S =2222(C2222BCD ADB ACD ABCS S S S =+ (DAB2×AC 2×AD 2=BC2 ×CD 2 ×BD 2【例 5】已知 2( (1 , (11( 2f x f x f f x +=+ *x N ( ,猜想 (f x 的表达式为 ( A. 4( 22xf x =+ B. 2( 1f x x =+ C. 1( 1f x x =+ D. 2( 21f x x =+【例 6】观察下列数 :1,3,2,6,5,15,14,x ,y,z,122, 中 x ,y,z 的值依次是 ( (A 42,41,123;

5、 (B 13,39,123; (C24,23,123; (D28,27,123.【例 7】观察下列数的特点1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 中 , 第 100项是 ( (A 10 (B 13 (C 14 (D 100【例 8】设221 (+=xx f ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得6( 5( 0( 4( 5(f f f f f +-+- 的值为( A 、 2B 、 22C 、 32D 、 42【例 9】平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成 (n f 块区域,有 8 3(, 4 2(, 2 1(=f f f

6、 ,则 (n f 的表达式为 ( A 、 n 2 B 、 22+-n n C 、 3(2(1(2-n n n n D 、 410523-+-n n n【例 10】在数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 中,第 25项为( A . 25 B . 6C . 7 D . 8大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家 .www.T opS【例 11】如图 , 椭圆中心在坐标原点 , F 为左焦点 , 当 FB AB 时 , 2此类椭圆被称为 “ 黄金椭圆 ”. 类比 “ 黄金椭圆 ”, 可推算出 ” 黄金双曲线 ” 的离心率 e 等于 ( A.12 B.12 1 1+【例 1

7、2】观察式子:474131211, 3531211, 23211222222<+<+<+, , 则可归纳出式子为 ( A 、 121131211222-<+n nB 、 121131211222+<+n nC 、 nn n12131211222-<+D 、 122131211222+<+n n n【例 13】公比为 4的等比数列 n b 中,若 n T 是数列 n b 的前 n 项积,则有304020301020, , T T T T T T 也成等比数列,且公比为 1004;类比上述结论,相应地在公差为 3的等差数列n a 中, 若 n S 是 n

8、a 的前 n 项和, 则数列 ,且公差为 。【例 14】考察下列一组不等式:, 525252, 525252, 52525232235533442233+>+>+>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广, 使以上的不等式成为 推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 _.【例 15】如下图,第(1个多边形是由正三角形 “ 扩展 “ 而来,第(2个多边形是由正四边形 “ 扩展 ” 而来, 如此类推 . 设由正 n 边形 “ 扩展 ” 而来的多边形的边数为n a ,则 6a =345991111a a a a += .大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家 .www

9、.T opS【例 16】古希腊数学家把数 1, 3, 6, 10, 15, 21, 叫做三角数,它有一定的规律性,第 30个三角数与第 28个三角数的差为 。【例 17】数列 n a 是正项等差数列,若 nna a a a b nn +=32132321,则数列 n b 也为等差数列 . 类比上述结论,写出正项等比数列 n c ,若 n d ,则 数列 n d 也为等比数列 .【例 18】在一次珠宝展览会上 , 某商家展出一套珠宝首饰 , 第一件首饰是 1颗珠宝 , 第二件首饰是由 6颗珠宝构成如图 1所示的正六边形 , 第三件首饰是由 15颗珠宝构 成如图 2所示的正六边形 , 第四件首饰是

10、由 28颗珠宝构成如图 3所示的正六边 形 , 第五件首饰是由 45颗珠宝构成如图 4所示的正六边形 , 以 后 每件 首 饰都 在 前 一 件上 , 按 照 这 种规 律 增加 一 定数 量 的珠 宝 , 使 它 构 成更 大 的正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6件首饰上应有 _颗珠宝 ; 则前 n 件 首 饰所 用 珠 宝 总数 为 _颗 .(结果用 n 表示 【例 19】在平面上, 我们如果用一条直线去截正方形的一个角, 那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:. 222b a c +=设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧 棱两两垂直

11、的三棱锥 O LMN , 如果用 321, , s s s 表示三个侧面面积, 4s 表示截 面面积,那么你类比得到的结论是 .图 1 图 2图 3大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家 .www.T opS 【例 20】对于平面几何中的命题 “ 如果两个角的两边分别对应垂直 , 那么这两个角相等或互补 ”, 在立体几何中 , 类比上述命题 , 可以得到命题 : 。【例 21】依次有下列等式:222576543, 3432, 11=+=+=,按此规律下去,第 8个等式为 。【例 22】在等差数列 n a 中,若 010=a ,则有等式n a a a +21 , 19(1921+-<+=

12、N n n a a a n 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 n b 中,若 19=b ,则有等式 .【例 23】 将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1三角数表.从上往下数, 第 1次全行的数都为 1的是第 1行,第 2次全行的数都为 1的是第 3行, , 第 n 次全行的数都为 1的是第 _行; 第 61行中 1的个数是 _.第 1行 1 1 第 2行 1 0 1 第 3行 1 1 1 1 第 4行 1 0 0 0 1 第 5行 1 1 0 0 1 1 【例 24】在平面几何里,可以得出正确结论:“ 正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的 13” 。拓展到

13、空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。【例 25】已知:23150sin 90sin 30sin 222=+ ; 23125sin 65sin 5sin 222=+ 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _=23 ( * 并给出( * 式的证明。【例 26】观察以下各等式:223sin 30cos 60sin 30cos 604+= 223sin 20cos 50sin 20cos 504+=223sin 15cos 45sin 15cos 454+=, 分析上述各式的共同特点, 猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。【例 27

14、】在 ABC 中, 若 C=90°, AC=b,BC=A, 则 ABC 的外接圆的半径 222b a r+=,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。【例 28】请你把不等式 “ 若 12, a a 是正实数, 则有22121221a a a a a a +” 推广到一般情形,并证明你的结论。【例 29】二十世纪六十年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:一个自然数,如果它是偶数就用 2除它,如果是奇数,则将它乘以 3后再加 1,反复进行这样两 种运算,必然会得到什么结果,试考查几个数并给出猜想。【例 30】圆的垂径定理有一个推论:平分弦(不是直径的直径垂直于弦,这一性质能推广到椭

15、圆吗?设 AB 是椭圆0(12222>>=+b a by ax 的任一弦, M 是 AB 的中点,设 OM 与 AB 的斜率都存在, 并设为 K OM 、 K AB , 则 K OM 与 K AB 之间有何关系? 并证明你的结论。【例 31】已知椭圆 C :12222=+by ax 具有性质:若 M 、 N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 C 上任意一点, 当直线 PM 、 PN 的斜率都存在, 并记为 KPM 、 KPN 时, 那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。 试对双曲线 12222=-by ax 写出具有类似特性的性质,并加以证明。【

16、例 32】观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题:( 求第六行的第一个数. ( 求第 20行的第一个数. ( 求第 20行的所有数的和.135791113151719【例 33】(2004年上海春招高考题在 DE F 中有余弦定理:DFE EF DF EFDFDE-+=cos 2222. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱 ABC-111C B A 的 3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角 之间的关系式,并予以证明 .【例 34】已知数列 3021, , , a a a ,其中 1021, , , a a a 是首项为 1,公差为 1的等差数列;201110, , , a a a

17、是公差为 d 的等差数列; 302120, , , a a a 是公差为 2d 的等差数列(0d.(1若 4020=a ,求 d ;(2试写出 30a 关于 d 的关系式,并求 30a 的取值范围;(3续写已知数列, 使得 403130, , , a a a 是公差为 3d 的等差数列, ,依次 类推,把已知数列推广为无穷数列 . 提出同(2类似的问题(2 应当作为特 例 ,并进行研究,你能得到什么样的结论?【例 35】 已知椭圆具有性质:若 MN, 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点, 点 P 是椭圆 上任意一点,当直线 PMPN, 的斜率都存在,并记为 PM k 、 PN k 时,那么 P

18、M k 与PNk 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线22221x y ab-=写出具有类似特性的性质,并加以证明【例 36】 已知数列 n a (n 为正整数 的首项为 1a ,公比为 q 的等比数列. 求和:012122232a C a C a C -+; 012313233343a C a C a C a C -+-. 由 的结果,概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明.题型二:演绎推理【例 37】由 正方形的对角线相等; 平行四边形的对角线相等; 正方形是平行四边 形,根据 “ 三段论 ” 推理出一个结论,则这个结论是 (A 正方形的对角线相等 (B 平行四边形的对角线相

19、等(C 正方形是平行四边形 (D其它【例 38】下列表述正确的是( 。 归纳推理是由部分到整体的推理; 归纳推理是由一般到一般的推理; 演绎推理是由一般到特殊的推理; 类比推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理。(A ; (B ; (C ; (D 。【例 39】有这样一段演绎推理是这样的 “ 有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数 是真分数 ” 结论显然是错误的,是因为( 。A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误【例 40】(4 有一段演绎推理是这样的:“ 直线平行于平面 , 则平行于平面内所有直线; 已知直线 b /平面 ,直线 a平面

20、,直线 b 平面 ,则直线 b 直线 a ” 的结论显然是错误的,这是因为 ( 。A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 【例 41】小王、小刘、小张参加了今年的高考,考完后在一起议论。小王说:“ 我肯定考上重点大学。 ”小刘说:“ 重点大学我是考不上了。 ”小张说:“ 要是不论重点不重点,我考上肯定没问题。 ”发榜结果表明,三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个,并 且他们三个人的预言只有一个人是对的,另外两个人的预言都同事实恰好相 反。可见:(A 小王没考上,小刘考上一般大学,小张考上重点大学(B 小王考上一般大学,小刘没考上,小张考上重点大学

21、(C 小王没考上,小刘考上重点大学,小张考上一般大学(D 小王考上一般大学,小刘考上重点大学,小张没考上【例 42】已知直线 l 、 m ,平面 、 ,且 l , m ,给出下列四个命题:(1若 ,则 l m ; (2若 l m ,则 ;(3若 ,则 l m ; (4若 l m ,则 ;其中正确命题的个数是(A 1(B 2 (C 3(D 4【例 43】给出下列三个命题: 若 bb aa b a +-11, 1则; 若正整数 n m 和 满足n m ,则 2(n m n m -; 设 9: , (22111=+y x O y x P 为圆 上任意一点,圆 2O 以 , (b a Q 为圆心且半径为 1。 当 1 ( (2121=-+-y b x a 时, 圆 21O O 与圆 相切。其中假命题的个数是( (A 0 (B 1 (C 2 (D 3【例 44】