材料力学部分教学内容

1、材料力学部分教学内容第一章 绪论授课提示：1. 本章重点： 内力，应力，应变2. 本章难点: 应力，应变3. 本章课时: 2学时§1-1 材料力学的任务1. 基本概念(1) 构件：机械中零件和结构中构件的统称；(2) 变形：构件在外载荷作用下，其形状及尺寸的变化称为变形；(3) 弹性变形：构件在外载荷作用下发生变形，当外载荷去掉后消失的变形称为弹性变形；(4) 塑性变形：构件在外载荷作用下发生变形，当外载荷去掉后不能消失的变形称为塑性变形或永久变形；(5) 强度：构件在外载荷作用下，抵抗破坏或过大塑性变形的能力；(6) 刚度：构件在外载荷作用，下抵抗弹性变形的能力；(7) 稳定性：构

2、件在压力作用下，保持原有平衡状态的能力；(8) 失稳：构件在一定压力作用下，突然民生不能保持原有平衡形式的现象；(9) 变形固体：认为一切固体在载荷作用下都将发生变形（区别刚体）2. 工程中对构件的要求（1） 足够的强度；（2） 足够的刚度；（3） 足够的稳定性。3. 材料力学任务研究构件在载荷作用下的受力、变形和破坏的规律，为设计既经济又安全的构件，提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论和计算方法。§1-2 变形固体的基本假设1. 连续性假设(1) 含义: 认为整个构件体积内毫无空隙地充满着物质。即主为物体是密实的。(2) 推论: 构件内的一些力学量即可用坐标的连续函数表示,也可

3、用无限小的数学分析方法。2. 均匀性假设(1) 含义: 认为构件内的任何部分其力学性能相同。(2) 推论: 在构件内任意取一单元体研究，其力学性质可代表其它部分。3. 各向同性假设(1) 含义: 认为在构件内沿各个方向的力学性能相同。(2) 推论: 在构件内沿任意方向取单元体研究，其力学性质可代表其它任何方向。4. 小变形假设(1) 含义: 认为构件在载荷作用下，其变形与构件的原始尺寸相比非常小，可以忽略不计。(2) 推论: 在研究构件的内部受力和变形等问题时，按构件的原始尺寸和形状计算。§1-3 外力与内力1. 外力(1) 按外力的作用方式a） 体积力: 连续分布于构件内部各点上的

4、外力;b） 表面力: 作用于构件表面上的外力;c） 分布力: 连续作用于构件表面或某一范围的外力;d） 集中力: 表面力作用面积远小于构件表面积或沿构件轴线的分布范围远小于构件长度，则可将分布力简化为作用于一点的力，称为集中力。(2) 按随时间变化情况a) 静载荷：缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变化很不显著的载荷；b) 动载荷：随时间显著变化或使构件各质点产生明显的加速度的载荷。c) 交变载荷：随时间作周期性变化的载荷；d) 冲击载荷：构件运动在瞬时内发生突然变化所引起的载荷。2. 内力（1） 内力：构件因外力作用发生变形，其内部各部分之间的相对位置发生变化，从而引起相

5、邻部分的相互作用力。（2） 附加内力：材料力学中的内力是指由于外力作用引起构件内部质点相互作用力的变化量，即附加内力3. 截面法（1） 定义：为显示内力，假想将构件切开，由脱离体的平衡条件由外力确定内力的方法。（2） 步骤：a) 截开 在欲求内力截面处，假想用一平面将截面分成两部分，保留任意一部分，弃去另一部分。b) 代替 用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下部分的作用。c) 平衡 对留下部分建立平衡方程，确定内力值。§1-4 应力与应变1. 应力图1-1所示截面上微小面积上的分布内力为，则式1-1中p称为点K处的应力。把p分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量，称为正应力，称为切

6、应力。 （1-1）图1-1应力单位：。单位换算：，2. 应变（1） 线应变CBA图1-2图1-2所示线段AB原长为，变形后的长度为。则按下式得到的称为A点沿AB方向的线应变简称应变。 （1-2）（2） 切应变图1-2所示线段AB与线段AC所夹直角的改变量称为切应变，用表示。应变与切应变均无量纲。§1-5 杆件变形的基本形式1. 材料力学研究对象-杆件杆件：长度方向尺寸远大于另外两个方向尺寸的构件。横截面：与轴线垂直的截面。轴线：横截面形心的边线。2. 四种基本变形（1） 轴向拉伸与轴向压缩（图1-3（a）所示）作用力特点：大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力。变形特点：杆沿轴

7、线伸长或缩短。（2） 剪切 （图1-3（b）所示）作用力特点：大小相等、方向相反、相互平行且作用线相距很近的外力。变形特点：杆沿作用力方向相对错动。（3） 扭转 （图1-3（c）所示）作用力特点：大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶。变形特点：杆沿作用力方向相对错动。（4） 弯曲 （图1-3（d）所示）作用力特点：垂直于杆轴线的横向力的力偶。变形特点：杆轴线由直线变为曲线。图 1-3第二章 轴向拉伸和压缩授课提示：1. 本章重点： 材料拉压时的力学性质，强度条件2. 本章难点: 强度条件3. 本章课时: 授课6学时，实验2学时§2-1 内力和应力一、 横截面上的内力1. 轴力

8、用截面法求图2-1所示截面m-m上的内力时,由平衡方程得截面上只有一个与轴线重合的内力分量，故该内力（分量）称为轴力，一般用表示。若取右段部分，则由作用力与反作用力原理知，右段部分在截开面的轴力与前述左段部分的轴力数值相等，而指向相反。为了使由左段和右段所得同一截面 图2-1m-m上的轴力具有相同的正负号，联系到变形的情况，对轴力的正负号规定为：杆件的变形为纵向伸长时，轴力为正，称为拉力；杆件的变形为纵向压缩时，轴力为负，称为压力。上述方法就是截面法，在应用截面法时要注意两个问题：1）外载荷不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。2）截面不能切在外力作用

9、点处，要离开或稍微离开作用点。依据圣维南原理：作用在结构某一位置上的不同载荷，如果在静力学意义上是等效的，则在远离该位置处的应力差异甚微。2. 轴力图为了表明横截面上的轴力随横截面位置变化的情况，可按选定的比例尺，用平行于杆轴线的坐标表示横截面 的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的画在下侧。二、 横截面上的应力1. 平面假设变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍与轴线垂直。2. 横截面正应力 （2-1）式中：横截面上的正应力 横截面上的轴力 横截面面积3. 最大工作应力对于等截面直杆，当

10、杆受到几个轴向载荷时，由式（21）知最大正应力发生在最大轴力处。即 （22）最大轴力所在的截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。 §2-2 材料在拉（压）时的力学性质一、 低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢在拉伸时的应力应变图或图见图2-2，其力学性质为：图2-21 弹性阶段（ob段） 在此阶段，只产生弹性变形。oa段应力与应变成正比，即 （2-3）式（2-3）称为虎克定律。其中E为与材料有关的比例常数，称为弹性模量。a点所对应的应力值称为比例极限，记为P；b点所对应的应力是材料只出现弹性变形的极限值，称为弹性极限。2 屈服阶段（bc段） 当应力超过弹性极限后继续加载，应变

11、会很快地增加，而应力先是下降，然后作微小的波动，在曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段。这种应力基本保持不变，而应变显著增加的现象，称为屈服或流动。这时所对应的应力称为屈服极限或称屈服强度，用表示。是衡量材料强度的重要指标。3 强化阶段（ce段） 过了屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。强化阶段的最高点e点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限或抗拉强度。它表示材料所能承受的最大应力。是衡量材料强度的重要指标。4 局部变形阶段 过e点后，即应力达到强度极限后，在试样的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成颈缩现象。5 塑性指

12、标 设试样拉断后的标距长度为l1，原始长度为l，则延伸率定义为% （24）设试样的原始横截面面积为A，拉断后颈缩处的最小截面面积变为A1，断面收缩率定义为% （25）6 卸载与再加载性质在强化阶段卸载后第二次加载（dd/），其比例极限（亦即弹性极限）得到提高，但塑性变形和延伸率却有所降低。这种现象称为冷作硬化。二、 铸铁拉伸时的力学性质灰口铸铁拉伸时的应力应变关系是一微弯曲线，没有明显的直线部分。它在较小的拉应力下就被拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前的应变很小，延伸率也很小。灰口铸铁是典型的脆性材料。铸铁拉断时的最大应力即为其强度极限。因为没有屈服现象，强度极限是衡量强度的唯一指标。三、 材料

13、在压缩时的力学性质1低碳钢压缩试验表明，低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限，都与拉伸时大致相同。所以可从拉伸试验测定低碳铁压缩时的主要性能。2铸铁压缩铸铁压缩时试样仍然在较小的变形下突然破坏。破坏断面的法线与轴线大致成45°55°的倾角，这表明试样沿斜截面因错动而破坏。铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限的关系为。§2-3 许用应力、安全因数和强度条件一、 失效与许用应力1. 失效由于各种原因使构件丧失正常工作能力的现象称为失效。通常当塑性材料构件截面上的应力达到屈服极限时，由于产生较大塑性变形，影响构件正常使用，认为构件失效；脆性材料构件截面上的应力达到强度极限时

14、，构件将会断裂破坏。2. 极限应力将构件失效时的应力称为材料的极限应力，用表示。3. 许用应力构件工作时，其最大工作应力应小于极限应力，为此提出构件最大工作应力的容许值，称为材料的许用应力。并用表示。许用应力与极限应力的关系为 （26）式中，n 为大于1的系数，称为安全因数，安全因数的取值方法为：对塑性材料： （27） 脆性材料： （28）分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。二、 强度条件对实际中的构件，其最大工作应力要比许用应力小，即 （29）上式称为轴向拉伸或压缩时的强度条件。对于等截面拉压杆，则有 （210）根据强度条件，可进行强度校核、截面设计和载荷确定。三、 例题2000FAyFAx

15、100030ºBCAFFNb20001000D30ºBCAFa例2-1 结构尺寸及受力如图2-3（a）所示，AB可视为刚体，CD为圆截面钢杆，直径为mm，材料为Q235钢，许用应力为MPa，若载荷kN，试校核此结构的强度。 图2-3解：受力如图2-3（b）所示，由平衡方程得 解得 FN=150kN则由式（2-1）得CD杆横截面上的应力由计算结果知，故杆CD的强度不安全。例题2-2 由上题知，杆CD横截面上的应力超过了许用应力，因此需要对杆CD重新设计截面。解 根据强度条件式（2-10），设杆CD的截面为：m =34.6mm即杆CD截面的直径最小取34.6mm。例题2-3 在

16、例题2-1中，杆CD直径仍为mm，其它条件不变，试确定结构所能承受的最大载荷。解 由平衡条件得 根据强度条件得到 亦即结构所能承受的最大载荷F=37.kN。§2-4 轴向拉（压）杆的变形一、 杆件的轴线变形与虎克定律如图24，设等直杆的原长为，横截面面积为。在轴向力作用下，长度由变为。当杆件横截面上应力不超过比例极限时，应力与应变成比例关系即而按定义有 则杆件的纵向变形为 （2-11）上式称为虎克定律。它表明，当应力不超过比例极限时，杆件的伸长与轴力和杆件的原长度成正比，与横截面面积成反比。式中变形成反比，称为拉（压）刚度。 图2-4二、 拉压杆的横向变形与泊松比设杆件变形前的横向尺

17、寸为，变形后为，则横向变形为试验表明，在比例极限内，横向应变与纵向应变成之比的绝对值是一个常量。即 （2-12）或 （2-13）称为横向变形系数或泊松比。是一个与材料有关的常数。§2-5 连接件的强度计算FF在工程实际中，构件与构件之间通常采用销钉、螺栓等相连接（图25）。这些连接件的受力与变形一般比较复杂，精确分析、计算应力比较困难，工程中通常采用实用的分析、计算方法。一、剪切的实用计算 图2-5销钉的受力如图2-6所示时，m-m面上的内力称为剪力，用表示。 FnnmmF/2F/2F/2mmFQab剪切实用计算的方法是：一方面假设剪切面m-m上的切应力均匀分布，即 (2-14)另一

18、方面，通过实验测得试样失 效时的极限载荷，并除以安全因 图2-65数得许用切应力，从而建立剪切强度条件： （2-15） （2-16）FbF式中：A为剪切面的面积；为极限切应力，为安全因数。二、挤压的实用计算在外力作用下，连接件与销钉之间的接触面上相互压紧，这种现象称为挤压，由此产生的应力称为挤压应力。用表示。见图2-7。挤压应力分布也很复杂，通常采用实用计算。 图2-7即： （2-17） 强度条件 （2-18）上式中，为挤压力；为许用挤压应力，由实验测得； 为挤压面面积，对接触面为圆柱面时，其中为板的厚度，为销钉直径。例2-2 图28所示接头，由两块钢板用三个直径相同的钢铆钉搭接而成。已知载荷

19、，板宽b=60mm，板厚mm，铆钉直径d=16mm，许用切应力，许用挤压应力，许用拉应力。试校核接头的强度。解：1铆钉的剪切强度校核 图2-8对铆钉群，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线通过铆钉群的形心时，各铆钉剪切面上的剪力相等。因此，对于图2-8所示铆钉群，各铆钉剪切面上的剪力为由式（2-14）得切应力为2铆钉的挤压强度校核由铆钉的受力知，铆钉所受的挤压力与剪力等于。则挤压应力为3板的拉伸强度校核由分析可知，上面板的受力最不利。上面板的受力如图2-9a所示，求出横截面11，22的轴力，用截面法作轴力图如图2-9b所示。由图可以看出，截面22的轴力最大，削弱也最严重，因此，只对2-2截

20、面进行强度校核。截面22的拉应力为 图2-9即板的拉伸强度也符合要求。第三章 截面的几何性质授课提示：1. 本章重点： 惯性矩，极惯性矩，平行移轴公式2. 本章难点: 平行移轴公式3. 本章课时: 授课2学时§3-1 静矩和形心一、 静矩1. 定义如图3-1所示截面，截面对轴和轴的静矩定义为， （31）2. 性质从式（31）可以看出，截面的静矩是对某一坐标轴而言的，同一截面对不同的坐标轴，其静矩也就不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。3. 量纲静矩的量纲为长度的三次方。 图3-1二、 形心1. 形心坐标计算 （32）2. 形心坐标与静矩关系 ， （33）或， （34）3.

21、 结论由式（34）得知，若截面通过形心时，即，则截面对该轴的静矩等于零，即，；反之，若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过截面的形心。通过截面形心的坐标轴称为形心轴。三、 组合截面的静矩和形心组合截面：几个简单截面（例如矩形、圆形、三角形等）组成的截面称之。由静矩的定义知，组合截面的静矩为， （35）式中，分别表示任一组成截面的面积及其形心的坐标。n表示截面由n个部分组成。组合截面形心坐标计算式为， （36）§3-2 惯性矩和惯性积一、 惯性矩极惯性矩1. 定义如图3-2所示截面，截面对轴和轴的惯性矩定义为， （37）若以表示微面积到坐标原点的距离，则截面对坐标原点的极惯性矩定义

22、为 （38）2. 性质截面的惯性矩是对某一坐标轴而言的，极惯性矩是对一点而言的。惯性矩和极惯性矩恒为正。惯性矩和极惯性矩量纲为长度的四次方。3. 关系由图（32）可以看出， 图3-2于是有 （39）4. 组合截面惯性矩组合截面惯性矩等于整个截面对于这一轴的惯性矩。 ， （310）5. 推广在力学计算中，把惯性矩写成如下形式 ， （311）或者改写成为 （312）和分别称为截面对轴和对轴的惯性半径。惯性半径的量纲就是长度。二、 惯性积1. 定义如图3-2所示截面，截面对，轴的惯性积定义为 （313）2. 性质可能为正，为负或为零，当坐标轴y或z中有一个是截面的对称轴时，截面的惯性积恒为零。惯性积

23、的量纲是长度的四次方。§3-3 平行移轴公式如图33所示，设C为截面的形心，和是通过形心的坐标轴，截面对形心轴和的惯性矩和惯性积分别记为 （a） 图 33若y轴平行于，且两者的距离为；z轴平行于，且两者的距离为b，截面对y轴和z轴的惯性矩和惯性积应为 （b）由图33可以看出 （c） 以（c）式代入(b)式得在以上三式中， 分别为截面对形心轴的静矩，由于为形心轴，故其值为零。而，再应用（a）式，则上三式简化为 （314）式（314）即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。由式（314）可以看出，同一平面内对相互平行轴的惯性矩中，形心轴的最小。例3.1 试计算图3-4所示截面对其形心轴的惯性矩

24、。解：为分析方便，将截面看成由两个矩形和组成。截面的形心在C点，形心轴到参考轴的距离为。由式(3-6)得： 图3-4由式（3-14）得矩形和分别对形心轴的惯性矩： 截面对形心轴的惯性矩为：第四章 扭 转授课提示：1. 本章重点： 圆轴扭转切应力，圆轴扭转变形2. 本章难点: 圆轴扭转切应力3. 本章课时: 授课2学时§4-1 扭转内力一、 扭转概念扭转：把以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式称为扭转。其计算简图如图4-1所示。扭转角：截面间绕轴线的相对角位移称为扭转角。用表示。轴：工程中把以扭转变形为主要 变形的直杆称为轴。 图4-1二、 外力矩计算在传动轴计算中，通常不是直

25、接给出作用于轴上的外力偶矩的数值，而是给出轴所传送的功率和轴的转速，这时外力偶矩的计算式为： （N·m） （41）式中：输入功率（千瓦，kW） 轴转速（）三、 扭矩和扭矩图轴扭转时横截面上的内力可由截面法求出，假想地将图4-2a中圆轴沿nn 截面分成两部分，取部分作为研究对象（图42b）,根据部分的平衡知,截面nn上的内力系必须归结为一内力偶矩T，由的平衡方程，得称为截面nn上的扭矩，它是、两部分在nn截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。若取部分为研究对象（图42c），仍然可以求得的结果，其方向则与用部分求出的扭矩相反。为了使无论用部分或部分求出的同一截面上的扭矩非但数值相等,而且

26、符号相同，为此，对扭矩T的符号规定为：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，T为正，反之为负。 图4-2若作用于轴上的外力偶多于两个时，外力偶将轴分成若干段，各段横截面上的扭矩不尽相同，则需分段按截面法求扭矩。为了表示各截面扭矩沿轴线变化的情况，可画出扭矩图。扭矩图中横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩值。§4-2 扭转应力一、 薄壁圆筒扭转时的切应力如图4-3所示厚度远小于其平均半径（）的圆筒称为薄壁圆筒。试验结果表明，圆筒发生扭转后，受扭前的方格由矩形变成平行四边形（图4-3b），但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转

27、时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上便只有切应力，它组成与外加力偶矩相平衡的内力系。图4-3因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变。又因在同一圆周上各点情况完全相同，应力也就相同（图43c）。根据q-q 截面以左部分的平衡方程，得 (42)二、 切应力互等定理用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒中取出边长分别为，和的单元体，并放大如图43d所示。当薄壁圆筒受扭时，此单元体的左、右侧面是横截面的一部分，其上无正应力只有切应力。其值均由（42）式计算，大小相等而方向相反，并形成一个力偶，其力偶矩为。对整个单元体，为保持平衡，上、下两个侧面上必须有切应力，组成力偶与力

28、偶矩相平衡。由知，上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力，由得所以 （43）上式表明，一对相互垂直的平面，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。这是切应力互等定理，也称切应力双生定理三、 剪切虎克定律在单元体的上、下、左、右四个侧面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切。纯剪切单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，就是前面定义的切应变（图43e）。若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，由图43b知切应变为 （44）纯剪切试验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比

29、，即 （45）式（45）为剪切胡克定律；为比例系数，称为材料的切变模量，单位： Pa。对已出现的三个材料常数，若材料为各向同性材料，三个弹性常数的关系为 （46）§4-3 圆轴扭转时的应力和强度条件一、 平面假设根据试验观察，圆轴扭转时表面各圆周线的形状不变，仅绕轴线作相对转动；变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变。据此对轴内变形作如下假设：圆轴受扭后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，而且，半径仍为直线。也就是说，圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对转动。此假设称为圆轴扭转平面假设。kh'hgdxcbdc'b'eaR二、

30、 横截面切应力1. 几何关系图4-4为在受扭转变形轴上取出一部分，由图可知， （1）由此得 （2）2. 物理关系 图4-4根据剪切胡克定理，在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比，因此，横截面上距轴心处切应力为 （3）上式表明，扭转切应力沿截面半径线性变化。如图45 图4-5 图4-63. 静力关系如图46所示，在距轴心处的微面积dA上作用有微剪力，它对圆心O的力矩为。由平衡条件得 将式（3）代入上式得 （47） 为单位长度扭转角。将（47）式代入（2）式 （48）此即圆轴扭转横截面切应力公式。三、 强度条件 由式（48）知，切应力最大值在圆轴截面边缘上各点。即 （410）式中，是一个与截面尺

31、寸有关的量，称为抗扭截面系数。 对受多个外力偶作用的圆轴，由扭矩图可求出最大扭矩，当轴为等截面轴时，按式（412）算出最大切应力。由此得强度条件为 （411）§4-4 圆轴扭转时的变形和刚度条件一、 圆轴扭转变形计算公式由式（47）知，对于长、扭矩T为常数的等截面圆轴，轴两端横截面间的扭转角为 （412）上式表明，扭转角与扭矩T、轴长成正比，与成反比。称为圆轴截面的扭转刚度。二、 圆轴扭转刚度条件等截面圆轴的扭转刚度条件为 （rad/m） （413）式中为单位长度许用扭转角。提醒：单位长度扭转角的单位为rad/m，但在工程实际中，单位长度许用扭转角的单位一般为（o）/m，因此，在应用

32、式（413），注意单位的换算。第五章 弯曲内力授课提示：1. 本章重点： 剪力图，弯矩图2. 本章难点: 弯矩图3. 本章课时: 授课5学时§5-1 剪力和弯矩一、 平面弯曲工程实际中绝大部分的梁，其横截面都有一根对称轴，因而整个梁有一包含轴线在内的纵向对称面。当作用在梁上的所有横向外力（或外力的合力）均位于该纵向对称面内时，由对称性可知，梁变形后的轴线必定是一条与外力位于同一平面内的平面曲线（图5-1）。称这种弯曲后轴线为一平面曲线，且所在平面与外力作用面重合的变形为平面弯曲。图5-1二、 剪力和弯矩设图5-2a所示梁上外力皆为已知，利用截面法，在截面m-m处假想地将梁截成左、右两

33、段，并取左段作为研究对象（图5-2b）。在左段梁上作用有平行于横截面的外力 F1和FAy。为了保持左段梁的平衡，即为了满足左段梁的平衡条件和（C为截面m-m的形心），在横截面m-m上必定存在两个内力分量：平行于横截面的内力FQ和位于载荷平面内的内力偶矩M。内力FQ称为剪力，内力偶矩M称为弯矩。图5-2根据左段梁的平衡条件得同样，也可取右段梁作为研究对象（图5-2c），并根据其平衡条件求出截面m-m上的内力FQ和M。剪力和弯矩的符号规定如下：在所截横截面的内侧取出微段，剪力FQ以对微段内任一点的矩为顺时针转者为正（图5-3a），反之为负；弯矩M以使微段的弯曲呈凹形，或使微段的上部（纵向纤维）受压

34、、下部（纵向纤维）受拉者为正（图5-3b），反之为负。按此规定，图5-3所示剪力与弯矩皆为正。图5-3综上所述，依据梁的内力符号规定，利用截面法和设正法即可求得梁任意横截面上的内力，且有如下规律：（1）横截面上剪力FQ，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有横向外力的代数和，即 （一侧） （5-1）式中，对截面左侧梁上向上的横向外力或截面右侧梁上向下的横向外力前均正号；反之则取负号。（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧）或（右侧）梁上所有外力对该截面形心C的力矩的代数和，即 （一侧） （5-2）式中，对向上的横向外力，不论在截面的左侧或右侧，所产生的力矩前均取正号，反之则取负

35、号；对作用在截面左侧梁上的外力偶矩，顺时针转者前取正号，反之取负号；对作用在截面右侧梁上的外力偶矩，逆时针转者前取正号，反之取负号。式（5-1）和式（5-2）称为梁的内力计算法则。例5-1 图5-4所示简支梁，在截面C处承受集中载荷F作用，试求截面C左与截面C右上的剪力与弯矩。截面C左与截面C右分别代表集中力F作用处C的稍左和稍右截面，它们无限接近于截面C，并分别位于C的左侧和右侧。图54解： 1求支反力由平衡方程与，得A端与B端的支反力分别为方向如图所示。2计算指定截面的内力对截面C左及C右，均取左侧梁上的外力，按式（5-1）和式（5-2）计算，得同时注意到，与截面C左比较，截面C右的内力只

36、增加了集中力的作用，故有由此可见，在集中力作用处，其左、右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力则不同，即有突变（跳跃），且突变的量值等于该集中力的值。§5-2 剪力图和弯矩图一、 剪力方程和弯矩方程通常在梁的不同横截面或不同梁段上，剪力与弯矩沿梁轴变化。若沿梁轴取x轴，其坐标x代表横截面所处的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即 这种关系式分别称为梁的剪力方程与弯矩方程。二、 剪力图和弯矩图1. 剪力图、弯矩图坐标方向规定绘剪力图时，将正值的剪力画在x轴的上方，负值剪力画在x轴的下方。绘弯矩图时，将正值弯矩画在x轴的下方，将负值弯矩画在x轴的上方，即将弯矩画在梁的受拉侧。2.

37、 剪力图、弯矩图绘制方法根据剪力方程、弯矩方程作剪力图和弯矩图时，先求支反力（对悬臂梁可以例外），再根据梁的载荷与支承情况将梁分段，并分段建立剪力方程、弯矩方程，然后，按剪力方程、弯矩方程计算各控制截面的剪力和弯矩，绘出剪力图与弯矩图。注意：作梁剪力图和弯矩图时，由于它们将是梁强度设计和刚度设计的重要依据，必须标明剪力和弯矩的正负号及各控制截面（包括内力的峰值截面）的剪力和弯矩值，以使梁的内力及变形情况可以从其剪力和弯矩图中反映出来。3. 刚架内力图绘制一般在平面刚架各杆的任一横截面上将同时存在轴力、剪力和弯矩，相应地要绘出这三种内力图。考虑到刚架各杆的轴线位置情况与直梁相同，作刚架内力图时按

38、下面步骤进行：（1）计算轴力、剪力及弯矩时，有关拉压杆与直梁的内力正负号规定及计算公式（如式（5-1）或（5-2）仍然可用，但要求观察者必须站在刚架的内侧面对各杆或各横截面。（2）作弯矩图时，习惯上将弯矩统一画在各杆的受拉一侧，而不必标注正负号；作轴力图和剪力图时，习惯上将正值轴力与剪力画在各杆的外侧，并且必须标注正负号。而其余作图步骤则与直梁的完全相同。例5-1 图55a所示外伸梁，在其外伸部分的右端截面C处承受一集中力偶作用，试列梁的剪力方程与弯矩方程，并作梁的剪力图与弯矩图。图5-5解： 1求支反力由平衡方程和，求得支座A、B的支反力分别为 2分段根据梁的受力情况和支座情况，将梁分为AB

39、、BC两段。3列剪力方程和弯矩方程将坐标原点选在梁的左端A处。用式（5-1）、式（5-2）分别求AB段上任一横截面x1与BC段上任一横截面x2的剪力与弯矩，即得各段梁的剪力方程和弯矩方程为AB段： （1） （2）BC段： （3） （4）4作剪力图、弯矩图根据上面各段梁的剪力方程与弯矩方程，计算出各段梁的控制截面的剪力与弯矩后，即可画出梁的剪力图和弯矩图，分别如图55b和图55c所示。例5-2 图56a所示为下端固定的刚架，在其轴线平面内受集中载荷F1与F2作用。试作此刚架的内力图。解： 1求支反力对所有求内力的问题，一般首先要求出支反力，刚架也不例外。但本题中刚架的C点为自由端，故与悬臂梁的情

40、形相似，可以不必求支反力。2分段图5-6根据刚架各杆的组成情况及载荷情况，将该刚架分成竖直杆AB与水平杆BC两段。3分段建立内力方程对水平杆BC可将坐标原点取在C点，而对竖杆AB可将坐标原点取在B点，并分别取截面x1右侧杆段，以及截面x2以上部分作为研究对象（图5-6a），按平衡条件，或按式（5-1）与式（5-2），计算截面x1与截面x2上的内力，即得各段杆的内力方程为CB段：AB段： 4作内力图根据各段杆的内力方程，并计算各控制截面的内力后，即可绘出轴力图、剪力图和弯矩图，分别如图56b、图56c和图56d所示。由此可见，刚结点不仅能传递力，而且能传递力矩。§5-3 载荷、剪力与弯

41、矩间的关系一、 载荷、剪力与弯矩间的微分关系图5-7a为任意支座的静定梁，设梁的左端为坐标轴x的原点，x轴正向取向右。又设在梁的某一段AB上作用有连续变化的分布载荷，其集度q=q(x)，且方向朝上为正。现用坐标分别为x和x+dx的横截面，从该梁段中截取一微段dx，并放大为图5-7b。设截面x的剪力和弯矩为FQ和M，则截面x+dx上的剪力和弯矩应力FQdFQ和 M+dM。于是，由微段的平衡方程（C为截面x+dx的形心），得 （a） （b）由式（a）、（b）并略去高阶微量得 （5-3） （5-4） （5-5）称式（5-3）、式（5-4）、式（5-5）为载荷、剪力与弯矩间的微分关系。图5-7根据上述

42、微分关系式以及式（5-1）、式（5-2），并结合有关剪力图、弯矩图以及坐标系的规定，可以归纳得出载荷图与剪力图、弯矩图三者之间的关系如下：（1）在有均布载荷作用的梁段上（q=常量），剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线。当均布载荷q指向下时，FQ图从左到右斜向下，M图为下凸抛物线；反之亦然。（2）在无载荷作用的梁段上（q=0），剪力图为一与x轴平行的直线，弯矩图为斜直线。当FQ为正号时，M图从左到右斜向下，反之亦然。（3）在集中力作用处，剪力图有跳跃（突变），且从左到右跳跃的方向与外力指向一致，跳跃值等于该集中力的值。而弯矩值在该处无变化，但弯矩图在该处的斜率有突变，因此弯矩图在此有尖角。（4

43、）在集中力偶作用处，剪力图无变化，但弯矩图在该处有跳跃（突变）。当集中力偶矩为顺时针转时，弯矩图从左到右在该处向下跳跃，其跳跃值等于该集中力偶的值；反之亦然。（5）在集中力、集中力偶作用处或剪力为零的截面上可能出现峰值弯矩。将上述载荷、剪力及弯矩间关系汇总为表5-1。表5-1 几种载荷下剪力图与弯矩图的特征一段梁上的外力情况q向下的均布载荷无载荷CF集中力MeC集中力偶剪力图上的特征向下方倾斜的直线水平直线，一般为CF在C处有突变在C处无变化C弯矩图上的特征下凸的二次抛物线 或或一般为斜直线或在C处有尖角在C处有突变CMe最大弯矩所在截面的可能位置在FQ0的截面在剪力突变的截面在紧靠C点的某一

44、侧的截面例5-3 一外伸梁如图5-8a所示，试作出梁的剪力图和弯矩图。图5-8解： 1求支反力由平衡方程，得支反力其方向如图5-17a所示。2将梁分段根据梁的支座及载荷情况，将梁分成CA、AD和DB三段。3作剪力图 （1）逐段判断剪力图的大致形状，应用式（5-1）计算控制截面的剪力值。CA段：梁上无载荷，剪力图为一水平直线，其控制截面的剪力为AD段：梁上有向下的均布载荷，剪力图为一斜直线，控制截面上的剪力分别为DB段：梁上无载荷，剪力图为一水平直线，其控制截面上的剪力为（2）作图根据上述分析和计算结果，作梁的剪力图，如图5-7b所示。从图上可见，在AD段内截面E上剪力为零，弯矩有极值。3作弯矩

45、图（1）逐段判断弯矩图的大致形状，应用式（5-2）计算控制截面上的弯矩值CA段：梁上无载荷，弯矩图为一斜直线，其控制截面上的弯矩分别为AD段：梁上有向下的均布载荷，弯矩图为下凸的抛物线，且在截面E有弯矩峰值，控制截面上的弯矩分别为此外，由式（5-3）并结合剪力图可得，截面E到支座A的距离为故截面E 的弯矩按式（5-2）计算，得DB段：梁上无载荷，弯矩图为一斜直线，其控制截面上的弯矩分别为（2）作图根据上述分析和计算结果，作梁的弯矩图，如图5-8c所示。二、 载荷、剪力与弯矩间的积分关系由式（5-3）、式（5-4）可得在x=a和x=b处两个横截面A、B间的积分为上式也可写为 式中，FQB、FQA和MB、MA分别代表截面A、B上的剪力和弯矩；代表两横截面A、B间分布载荷图的面积；代表两横截面A、B间剪力图的面积。并称式（5-6）、式（5-7）为载荷、剪力与弯矩间的积分关系。根据上述积分关系，并结合式（5-1）、式（5-2）可得下列结论：（1）梁上任意左、右两横截面的剪力之差，等于两横截面间的横向外力的代数和，即 （5-8）式中，Fi 代表左、右两横截面间的横向外力（包括分布载荷的合力、集中力、支反力），且在向上的外力Fi 前取正号，反之取负号。（2）梁上任意左、右两横截面的