2018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2.4-空间直角坐标系(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2.4空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点的距离公式.知识链接在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为，两点的距离为.预习导引1.空间直角坐标系及相关概念为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点，每两条坐标轴分别

2、确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面.2.空间中点的坐标过点P作一个平面平行于yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标.过点P作一个平面平行于xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的y坐标.过点P作一个平面平行于坐标xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标.这样对空间的一点P，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.3.三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分都称

3、为一个卦限，在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的.4.空间两点的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离d(A，B)|AB|.特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点的距离d(O，P)|OP|.要点一求空间中点的坐标例1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.解以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，AO×2，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，1,3).规律方法(1)

4、题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的投影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.跟踪演练1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(

5、0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1).(2)棱CC1的中点为M.(3)面AA1B1B对角线交点为N.要点二求空间中对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分

6、量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x2×2(2)6，y2×(1)13，z2×(4)412，所以P3(6，3，12).规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁

7、保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.跟踪演练2求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1).过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，2,1).点A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，1)关于x轴对称的点为B(1，2,1).要点三空间中两点之间的距离例3已知ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5).(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC

8、边上中线的长度.解(1)由空间两点距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最短边是|BC|，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为.规律方法解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪演练3已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，1).(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|MQ|.解(1)|PQ|.(2)设M(0,0，z)，由|MP|MQ|，得1202(1z)24232(1z)2，z6.M(0,0，6).1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y轴上 B.xOy平

9、面上C.xOz平面上 D.第一象限内答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上.2.在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称 D.以上都不对答案A解析点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称.3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A.3或4 B.6或2C.3或4 D.6或2答案D解析由题意得2解得x2或x6.4.已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_.答案(4,0，1)解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4,0，1).5.在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，1)间的距离为_.答案解析|AB|.1.结合长方体的长宽高理解点的