导数专题(含答案

1、导数专题一.导数计算1 ) f'(x )与f'(X0)的关系函数：f'(x 数f'(x)在X=X0处的函数值，2)几种常见函数的 导数公式 0 = 0( C为常数)(sin X)= cosx就是导函(xn)(cosx)=nx"1 (n Q)sin x(In X) = 1x/ X、，x(e)= e(lOgaX)(ax)1 log a exax In a3)求导法则(u±v)'u'士 v(uv)'u'v + uv'U'V uv2v71已知函数f(x)=-，则f3)等于2)、X)xX若 f '

2、(X0)则 Xo=(2A. eB.e c.In 2D.In 23)已知函数f(x)的导函数为fO),且满足f(x) =22xf (1)+ X,则 f'(i)=A. 1二.导数的几何意义:D.2k =为是曲线y = f(x)上点(X0,f(X0)处的切线的斜率*说明：导数的几何意义 可以简记为“ k= f (Xo)”强化这一句话“斜率导数，导数斜率”导数的物理意义：s=s(t)是物体运动的位移函数,物体在t= to时刻的瞬时速度是 '(to )。可以简记为Vt° = s(to)1、已知函数 厂 f(x) 的图象在点M (1,f(i)处的切线方程是y= x中2f(1)+二

3、2、若函数 厂 f(X) 的导函数在区间a,b上是增函数，则函数 y 二 f(x) 在区间a,b上的图像可能是)3.已知某物体的运动方程是A. 10m /s B. 9m /s13S=T +t3，则当9C. 4m /s D. 3m /s = 3s 时的瞬时速度是()三导数大题中的基本题型1、导数与曲线的切线要点：斜率就是导数,导数就是斜率即k = f （Xo）, f（Xo）= k切点 （Xo, f （Xo） 是曲线与切线的公共点求曲线的切线方程的基本步骤求 f '（X）;找切点或设切点（x0,f（x0）求切线的斜率k= f x0）或切点（当斜率和切点都不知道，借助斜率公式X2 - x1

4、)特别警示求曲线的切线要注意“过点 的切线中，点 为切点.利用点斜式求切线方程P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点例曲线y32=x -3x +1在点（1, -1 ）处的切线方程为已知曲线1 2y=8 X的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为B. 3C. 2D.-2过原点作曲线yXe的切线，则切线方程为点 P（2,8） ，求过点P的切线方程。（1 ）当 P（2，£）为切点时，y'=x2y'|xT=4 所求切线方程为 12x-3y16=0 3O4（2）当P（2,；）不是切点时，设切点为（xo,yo），

5、则yo =-xo3，又切线斜率为338yokXH =xo2,所以Xo2=3，二 xo(xo-2)二丄他3-8),解得x。=一1,或x。=2(舍去)，Xo 23此时切线的斜率为1,切线方程为3x_3y+2=o ,综上所述，所求切线为12X _3y _16 =0或3x_3y +2 =0。2导数与单调性1) 求解函数y=f(x)单调区间的步骤:确定函数y = f(X)的定义域；(2)求导数y = f(X)；解不等式f(X)aO,解集在定义域内的部分为增区解不等式f(X)cO，解集在定义域内的部分为减区单调区间必须用区间表示定义域32函数f(x)= X - 3x + 1是减函数的区间为D ( 0, 2

6、)A. (2,+=c) B. (-=c,2) C (虫,0)(2) 函数：f(x)=3+x Inx的单调递增区间是(D.11A (0,-) B. (e,+g)C(一ee2) 利用导数判断函数的单调性1) 证明可导函数f(x)在(a, b)内的单调性的步骤(1)求 f ' (X).确认f (X)在(a , b)内的符号. 作出结论：f (X)> 0时f(x)为增函数；f(X)< 0时f(x)为减函数.例(1 )设f(X是函数f(X)的导函数，将f(X)和f '(X)的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是 BA.XD.f(x)(D.是减函数1(2)设函数 f(x

7、) = 2x + -T(x<0),则 XA.有最大值B 有最小值C 是增函数3)设 f (X), g(x) 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数， 当XV 0时,(x)g(x) + f (x)g'(x) > 0,且g(-3) = 0,则不等式 f (x)g(x)二 0的解集为。3) 已知函数的单调性求参数范围 方法：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 f (xp 0 ；若函数单调递减，则 f'(x) 兰0 ”来求解, 注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合 来求参数(f'(x)是二次型) 例1.已知函数

8、f(x)=x 3-ax-1.(1 )若f(x)在实数集R上单调递增，求实数 a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1 , 1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(1 )解 由已知f(x)=3x2-a, /f(x)在(-g + S)上是单调增函数，/ f(x)=3x2-a> 0在(-g，+ g)上恒成立，即 a< 3x2 对 xR 恒成立 |/3x2>0, 只需 a<0,又 a=0 时，f"(x)=3x2m(h故f(x)=x 3-1在R上是增函数，则 灿(2)解 由 f(x)=3x-aw 0 在(-1,1)上恒成立，得 a&

9、gt; 3x ,x (-1,1)恒成立 |1) 上单调递减I -1<x<1, 3x 2<3, 只需 a>3.当 a=3 时，f (x) =3(x2-1), 在 x(-1,1)上，fx)<0,即 f(x)在(-1 , 1) 上 为减函数， 故存在实数a>3,使f(x)在(-1 ,2)函数 f(X)= X22)函数2ax-3在区间勺2上为单调函数，则a或 a - 23、导数与函数的极值和最值1)求可导函数y = f(x)极值的步骤：1. 求函数y= f(x)的导数f (X)并因式分解(或通分)；2. 求方程f (X)= 0的根；3. 列出在定义域内X变化时f(X

10、)和f(x)的变化情况 4下结论【例】1)设函数f( X)= X3 + bx2 + cx(x R)，已知g(x)= f(x)-(X) 是奇函数。(I)求 b 、c 的值。(n)求 g(x) 极值Q32)函数f(X)= ax + x + 1有极值的充要条件是A. a A 0 B-0 C . av0 D . a兰 011已知函数f(X)= X3中ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是6已知函数f(X)= X数a的取值范围是32+ 3ax + 3(a + 2)x + 1既有极大值又有极小值，则实2) 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤(1) 求函数的导数f'(x)(2) 求方程f&

11、#39;(x)=0 在区间(a,b)内的解。(3) 列表求区间(a,b)内极值(极大值或极小值)(4) y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值特别警示碰到下列三种情况注意分类讨论当方程f '(X)= 0不知是否有解方程f '(X)= 0的根不知谁大谁小方程f '(X)=0的根不知道是否在定义域范围内【例】1已知函数f(X)= X3 +3x2 +9x +1 (I)求f(X)的单调递减区间;(n)求f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值解：(I) f'(x) = -3x2 +6x+9令 f'(x) c0即-3

12、x2 +6x +9 c0解得x>3或x<-1/. X巳=,-1)和(3,兄)单调递减(n)令 f(x)=0解得x=-1 或x=3(舍)f(2)=-8+12+18+1=23 f(-2)=8+12-18+1=3 f(-1)=1+3-9+1=-4f(x)的最大值为23,最小值为-4.2函数f(x) = 3x4x3( X丘0,1】的最大值是3.已知a是实数，函数 f (x) = x2(x- a).(I)若 f (1)=3, 求a的值及曲线 y= f(x) 在点 (1,f(1) 处的切线方 程；(n)求 f(x) 在区间 02 上的最大值.(I )由f '(1)=3易得a=0,从而可

13、得曲线y = f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x -y -2 =0.2aX1=0,X2 = ，再讨论极值点与区间0,2端点的位置关系.令3=空.当空<0,即a<0时，f (X)在0,2上单调递增，332a;当>2,即a>3时，f(x)在0,2上单调递减， 32a2af(x)max = f(0) =0 ；当0<<2,即0va<3时，f(x)在0,上单调递减，在33(n)先求出可能的极值点f '(X)=0，得 x =0,x2f(X)max =f(2) =8-4a2a竺,2上单调递增，函数f(x) (0< x < 2)的最大值只可

14、能在 x=0或x=2处取到，因3为 f (0)=0 , f (2)=8 -4a,令 f(2) > f(0)，得 a < 2,所以 f (x)max J'一他0 衣 *兰 2； 0,2 < a <3.综上，f(x)mar4a2a"2；0,aA2.4某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(xHi0)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X(单位：元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？购地总费用(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地

15、费用=建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得y=(560 +48x)+2160"00002000X=560+48X+10800 (x>10,x壬 N*)则八48一哆，令八048-呼=0，即X，解得x=15当 x15 时，y >0 ；当 0vX£l5 时，y'cO15层。因此，当X=15时，y取得最小值，ymin-2000元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为3) 已知函数的极值求参数的值f'(x) = o要点：f (x)在取得极值C则有上碰到参数多解须检验lf(x0)=C特别警示：若点(xo, yo)是可导函

16、数f(x)的极值点，贝If (xo)= 0 ； 但3/反过来不一定，如函数y = X ,在X = 0处f(X)= 0 ,【例】1函数y = f ( X ) = x + ax + bx + a,在x = 1时，有极值10,贝U a = _,b15.已知函数 f (x)= X3 + 3x2 +9x+ a.)若f(x)在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.(I )求f(x)的单调递减区间；(II解:1), (3,+ ).f (2) = 8+ 12 + 18+ a = 22+ a,(I ) f ' (x) = 3x + 6x + 9 .令 f (x)<0，解得 x<

17、 1 或 x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(一8,(II )因为 f( 2) = 8+ 12 18+ a=2 + a,所以f(2)> f( 2).因为在(一1, 3)上f (x)>0，所以f(X)在1,2上单调递增,又由于f (x)在2， 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值,于是有22 + a= 20,解得a= 2.故 f (x)= x3 + 3x2 + 9x 2,因此 f( 1) = 1+ 3 9 2 = 7, 即函数f(x)在区间2, 2上的最小值为一7.4、利用导数研究方程的根(函数的零点或两图象的交点 方法：做

18、草图具体步骤(1)求f'(x)并因式分解(2)解方程f'(X)= 0(3)在定义域范围列表(4)求出极例1方程2x30在(0,2)内根的个数为39 22设函数 f(x)八2x+6xa - 若方程f(X)= 0有且仅有一个实根，求 a的取值范围.解：f'(x) =3x2 -9x+6=3(x-1)(x-2)，因为 当 x<1 时，f(x)AO;当 1<xc2 时，f(x)<0;当 xa2 时，f(x)AO;5所以 当x=1时，f (X)取极大值 f (1) = 2-a；当X =2时，f(x)取极小值f(2) =2-a；故当f (2)0或f (1)vO时，方

19、程f (x) =05仅有一个实根.解得a <2或a > 一源网23 已知函数 f(X)=x3-3ax-1，a H0若f (x)在X =-1处取得极值，直线 y=m与y = f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：(1) f'(X)=3x2-3a =3(x2 a),高考资源网因为f (X)在X = -1处取得极大值，高考资源网17所以所以f'(-1) =3咒(-1)2 -3a =0, a =1.3'2f(X) =x -3x-1, f(X) =3x -3,(X)=0 解得 x -1, x2 =1° 由(1 )中f (x)的单调性可知，f

20、(x)在x = -1处取得极大值f(-1)=1，在X =1处取得极小值f (1) = -3。因为直线y =m与函数y = f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3) = -19v-3 f (3) =17 A1,结合f (X)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1)五、导数与不等式的证明 要证不等式f(x)>g(x)只须证f(x)-g(x)>0只须证f(X)g(x)min >0转化为求f(X)g(x)min (般利用导数求)1例已知函数 f(x)=l n(x+1) X , x>1，证明：1 < I n(x + 1)<x1X证：函数f(X)的定义域为(-1,+

21、处).f x) = 1 = x+1X 1, 0)时，f(X) >0，当 x( 0,+)时，f -(X) < 0,因此，当X A 1时,f(X)w f (0)，即 ln(x+1)X w 0. In (x +1)<x .令 g(x) =ln(x+1) +1 1-1 则 g '(X)=x+1x+1 (x+1)2(x+1)2x .高考资源网 X ( 1, 0)时，g(x) <0,当X ( 0,+8)时，g，(x) >0.当 X >1 时，g(x) > g(0)，即In (x+1) +丄-10,. In (x + 1)31-丄x+1x + 11综上可知，

22、当X A -1时，有1 -x+1<1 n(x+1)<x.咼考3 2 21.已知函数f(XX +ax +bx+c在2与x"时都取得极值(1)求a,b的值与函数f (X)的单调区间;若对xq-1,2，不等式f(x) <c2恒成立，求c的取值范围。高考资源网解：(1) f(X)=x3+ax2+bx+g f(X)=3x2+2ax+b212 41由"一3"5一3"&",f(1)=3+2a+b=0得a1，b一2' 2f (x)=3x X2=(3x +2)(xT)，函数f(x)的单调区间如下表:X（亠冷）23(岭1)1（1,址）f'(x)+00+f(x)极大值极小值22所以函数f （X）的递增区间是（亠,一）与（1,址），递减区间是（一,1）；33(2)f(X)=x3-ix