历年高数复习题

1、4分，共20分)高数试题一、选择题（本大题2008.75小题，每小题1.设直线l1：丄丄112 :x2yy ；则l1与l2的夹角为.z 3,(A) -; ( B)-;23z = xe2y在点2.函数(C) -; (D)-.46F(1,0)出沿从R1,0)到Q(2,1)方向的方向导数为.(A)(N3.函数f(x,y)xys in 飞 x0,0,在(0, 0)点0,.（A）偏导数连续；4.积分 dx xjy2（B）偏导数不存在;（C偏导数存在但不可微;（D）可微但偏导数不连续。(A)5.设(A)x2dy .1 1 1(B) 4 (C)1i (D)24。是由x2 + y2 + z2 = 1所围成的区

2、域,则三重积分e|z|dv.2二、填空题1.过点（0,3（C） Y;（D）（本大题 5小题，每小题4分，共20分）2, 4）且与两平面x + 2z = 1和y -3z = 2都平行的直线方程是2(B)x2.设:zx2ds3.满足微分方程初值问题dydxy：4.设z = ln(1 + x2 + y2),贝U dz(1,2)(9 分)（9 分）（9 分） 的质量.四、五、“2、 x(1 y)e的解为y =求微分方程 y 4y xcosx的通解.求函数f（X, y） = xy在闭区域x2 + y21某物体的边界由曲面 z = x2 + y2和平面上的最大值和最小值。.z = 0, |x| = a,

3、|y| = a围成，其密度函数为=x2 + y2,求该物体x六、（9分）设直线L :xay z0,3在平面0,上，而平面 与曲面z = x2 + y2相切于（1, 2, 5），求a, b的值。.七、（9分）计算曲面积分(xz)3dydz (x y z)3dzdx (x y z)3dxdy其中 为由圆锥面x2 +y2= z2与上半球面x2 + y4 (A) (R r );+ z2=R2（R > 0）围成曲面的外侧.八、（8分）设函数Q（x, y）在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2xydx Q（x,y）dy与路径无关,(t,1)(1,t)且对任意 t,有(0 0)2xydx

4、Q(x, y)dy 2xydx Q(x, y)dy，求 Q(x, y).九、（6分）设当x1时，可微函数f（x）满足1.求 f（X）；2.答案4.f (x)1f(X)厂X0 f(t)dtf(0) 1.证明：当x 0时,f(x) ex.、1.B ; 2.A ; 3.D ; 4.C; 5.D.二、1.口 ;2.1dz1 -dx 3-dy ; 3. y tan(ex 1);34寻(X 2)n ;n 0 31二、y C1 cos2x C2sin 2x - xcosx3七、9(2 72) R5 .八、Q(x, y) = X2 + 2y -1.52 . -sin9x .四、fmax12,fmin弓.五、空

5、a6,六、a = 5, b = 2.45高数试题2009.7一、选择题（本大题 4小题，每小题4分，共16分）1.函数z f （x, y）在（X0,y0）处可微的充分条件是(A)f （x, y）在点（X0, y。）处连续;(B)f （x, y）在点（x0,y0）处存在偏导数;(C)I叫 z fx(x0,y0)x fy(x0,y0)x 0，7( x)2 ( y)2 ；(D)llm0z fx(X0,y0)x fy(X0,y0)X-0.2.圆心在原点半径分别为R和r的（R r）的两个圆所围成的均匀圆环形薄板（面密度为）关于原点的转动惯量为.144(B)2 (R r);4(C) - (R4 r4)；4

6、(D)(R4 r4).3.微分方程y5y 6y xe2x3xe的特解形式为(A)y* x(ax, 2xb)ecxe3x(B) y* ae2x b(x 3xc)e ；4.设(A)y* (ax是由球面b)e2x3xce(D) y* (ax b)e2x3xcxex2(B)z2(a 0)所围成的闭区域,7?yz2 dv=4(C) a1(D) 2二、填空题(本题共 6小题，每小题a b4分，共计24分)1.已知26,rnuL3LRb2.函数 f (x, y) x xyy2在点(1,1)处的梯度为3.已知曲线 为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(x 2y 3z)ds=4.由曲面z

7、 43(x29y2)与曲面zx2 y2所围立体的体积为5.x设 为平面一2-1在第一卦限中的部分，则(Z 2x4-y)dS =3y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为 (本题共5小题，每小题6分，共计30分) 1.求点F0(1,1,1)到直线-2 的距离.123以 y1 = cos2x,三、计算下列各题6.2.已知一平面通过球面 x2 + y2 + z2 = 4(x 2y 2z)的中心,且垂直于直线L:(2)该平面与球面的交线在 xOy平面上的投影。3设函数f具有二阶连续的偏导数，U f (xy , x y)求2u0,求(1 )该平面的方程;z 04.计算二重积分xjydxdy，

8、其中D是由两条抛物线yVx，y2x所围成的闭区域.5求解微分方程的初值问题:(1y(0)2x)y 2xy1,y(0)四、(8分)计算积分I(x2 cos2y cos2z cos)dS,是抛物线z = x2 + y2被z = 4割下的有限部分的下侧，cos , cos , cos是 上各点法线方向余弦.五、(8分)设f(X)为连续可微函数，且f(1)X3X42f(x)dy的值其中L是圆周(X 2)2，对任一闭曲线L有Q4x3ydx f (x)dy 0。求曲线积分2(y 2)4上由 A(2,0)经 D(4,2)到 B(2, 4)的一段弧.2.设 是由曲面z J1 X2 y2与z = o围成的立体，

9、则的形心坐标为六、（8分）经过点P（2,1,-）作一平面，使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该平面3方程.七、（6分）设函数f（X）在1, + ）上连续，由曲线y = f （x）,直线x = 1, x = t （t > 1）与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为V(t) 3t2f(t)f(1)，2又已知f(2)-,求f (x).9答案 一、1.D ； 2.B ； 3.A ； 4.C.二、1.30;2.(1, 1)； 3.9 石；4.2 ； 5. 4阿；6. y + 4y = 0.三、1. 3羽;2. y + Z = 0,2y20.4x16y 0;3

10、. f1 + xf11 + (x + y)f12 + f22 ; 4.;5. y = x3 + 3x + 1.四、5564.五、68,六、3高数试题一、选择题（本大题2010.74小题，每小题4分,共16分）1.函数 f (x , y)(x2y2 2x)2 在闭区域(x -1)2 + y2上的最小值为(D) 3。1 y2.设函数f (x, y)连续，则二次积分0dy 0 f (x, y)dx (A)0 ；(B)1 ；(C) 2 ；.111 y(A) 0dyyf(x,y)dx； (B) 0dy 0 f(y,x)dx； (C)1dx01f(x,y)dy ；x(D)1dx0 0xf (x, y)dy

11、.3.设 为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则(x y Z)dv=1c1（A） -；（B）-；6 84.设y1 , y2是二阶线性方程 通解的充分必要条件是(C)；12y + P (x)y(D)丄.24+ Q(x)y = 0的两个解,那么y = C1y1 + C2y2 （C1, C2是任意常数）是该方程(A)屮 y2y2 y1o ；(B) y1 y2y2 y10 ； (C) yy时10 ；(D)屮讨2y2 y10 二、填空题（本题共 5小题，每小题4分，共计20分）1.已知|a| 1, |b| 72, a与b的夹角为一，则|a b |43.设曲线 为连接(1,1,1)

12、和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分(X y z)ds=4.设 为锥面z Jx2 y2被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分zdSf (x) 若方程 y + y tanx = 2cos2x 有一个特解 y = f (x),且 f(o)= o,则 limX o X 三、计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，共计3o分)5.1.求过点M( 3,2,5)且与两平面x -4z = 3和2x -5z = 1的交线垂直的平面方程.2.3.求函数U = X2 + 3yz在点(1, 1, 1)处沿椭球面X2 + 2y2 + 3z2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。 计算二重积分ydxdy，其中D

13、是由Dy = x -4与y2 = 2x所围成的闭区域.4.如果y = f(X)满足y17270( X)，且 f =1,求 f (x).5.若(X)连续，且满足方程(X)XXot (t)dt x。 (t)dt, (1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；(2)求(X).四、(8分)一质点在力F (X2y)i(Xsin2 y) j的作用下，由点0(0, O)沿上半圆y J2x2X移到点A(1,1)，求力F所作的功.五、(8分)计算曲面积分 O xzdydz yzdzdx xydxdy，其中 是由抛物面3z =x2 + y2和球面zJ4 X2 y2 所围成立体的表面外侧.2f六、(8分)设函数f

14、 (X, y)有二阶连续偏导数，满足-o，且存在一元函数 h(u)，使f (x, y) h(Jx2y2)，求X yf (X, y).七、(5分)设F(x, y) = (f1(X, y), f2(x, y)是(xo, yo)某邻域内定义的向量函数，定义|(f1(x,y), f2(x, y)| Jf12(x,y)f/(x, y)为(f1(x, y), f2(x, y)的模，如果 |F(Xox, y。y) F(Xo,yo) (A x B y,C x Dy)|o(jx2y2)，其中A, B, C, D是与X, y无关而仅与Xo, yo有关，o(x2y2)是寸x2y2的高阶无穷小，则称F(X, y)在(

15、X0, yo)点可微，记为dF(X, y) |(X0,yo) (A X B y,C X Dy)设 F(x, y) (arctanE)，求 dF(x, y)皿)。X答案 一、1.A; 2.C; 3.B; 4.D .二、1. 45; 2. - ; 3. 6714 ; 4. -2 ; 5. 2.83三、1. 4x + 3y + z +1= 0;2. -17 ；3.18 ;4.;5.V1471.-SI n2.64七、！( X y, x2四、五、y).94271 2 2六、-C1 (x2 y2) C2.高数试题一、选择题2011.07.141.设f (x,y)Jx2 y4，则函数在原点偏导数存在的情况是

16、.(A) fx(0,0) , fy(0,0)都存在(B) fx(0,0) 不存在，fy(0,0)存在(C) fx(0,0)存在，fy(0,0) 不存在(D) fx(0,0) , fy(0,0)都不存在的垂直的.(A)充要条件；3 .设是球面(D)无关条件.2.设平面的法向量为n (A, B,C)，直线L的方向向量为s (m, n, p),则 旦 C是平面 与直线Lm n p(B)充分条件； (C) 必要条件; x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是4.(A) o(x y2z) dS 0 ；(B) Q dSR3 ;2 2 2(C) O(x y z )dS2(D) Q(x24z )

17、dS 4 R .5.设曲线 L : f (x, y) 1(上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是.(A) T f (x, y)dx(B)f(x, y)dy(C) T f (x, y)ds二、填空题fx(x,y)dx fy(x, y)dy1 .设|a |爲,|b|1, (a,b),则 a6b上的投影为2.交换积分次序2dx1J2x x22 xf (x, y)dy 为10dyy2f(x, y)dx3.设正向闭曲线L的方程为|x|y| 1，则ds =l|x| |y| 25.设函数z z(x, y)由方程x az (y bz)所确定，其中(u)有连续导数，则 a b x y三、计算题1.设 z f

18、(u,x, y), u xey，其中f具有二阶连续偏导数，求2z。x y22.求曲面z xy2的与直线2z3.计算二重积分2z1垂直的切平面。2Jy xdxdy，其中D是由直线y x, y 1，x 0所围成的平面区域.4.求 (x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy, 是抛物面 zx2 y2被平面z = 1截下的有限部分，法向量与z轴正向成锐角。5.求解初值冋题y(1)y 2x3,1,y(1) 2,四、设球体占有闭区域:x2y2 z2 2z,它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方,求球体对于z轴的转动惯量。五、(8分)求抛物面 z x22y 与平面 x yz

19、1的交线(椭圆)到原点的最长距离和最短距离.八、5.设f(x)是非负连续函数，且20 f (x)dx1，计算曲线积分xdy (y ex)dx，式中 l 为沿 yf (x)从点O(0,0)到A(2,0)的曲线段.七、求y 3y 2y sin x的通解.答案、1.B,2.A, 3.D, 4.C, 5.B.二、1.22. 2.11 J10dy2yy2f (x, y)dx , 3.抄,4.2 + 2,5. 1。三、1.f1ey f2,f1y2y re xe f11eyf13xey f21f 232. 2x2y4154.5.四、32。35五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为15 10 血$15 10

20、2八、3 e2七、y C1 ex C2e2x cosx 丄 sinx10 10V 22咼数试题一、选择题2012.07.121.设(X)为任意一个X的可微函数，(y)为任意一个y的可微函数，若已知上X y，则 F (X, y)是.X y(A) f (X, y) +(X);(C) f (X, y) +(X) +2. 在曲线X = t , y =(A)只有1条；(B) f (x, y) +(D) f (x, y) +3. 设f (X, y)是连续函数，f(x, y)则 f(X, y)=(A)xy + 1 ;4.二、填空题1 .过点(3,(y);(X) (y).X + 2y + z = 4平行的切线

21、(C)至少3条；(D)不存在。y = X2, y = 0, X = 1所围的区域，且f(X, y)满足恒等式 f (x, y)dxdy(y);t2, z = t3的所有切线中，与平面(B)只有2条；D是由.1(B) xy -2.xyD(C) xy1(D)xy1。1, 4)且与y轴相交，又与平面12 .交换积分次序dx0J2x X20 f (X, y)dyy + 2z = 0平行的直线方程为22 X1 dx 0 f(x,y)dy 为3 .设 L 为圆周 X = acost, y = asint (0 t2 ),贝y L(x2 y2)3ds=4.三、计算下列各题1.2已知u f X2 y2, ex

22、 y，其中f具有二阶连续偏导数，求,U。X X y2.计算 (2x3y z)dv,是半球面z J2 X2 y2和旋转抛物面z X2 y2围成的立体。3.求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。4.求解初值问题df ky。y It 0 yo,5.(X yz)dS，式中是平面y + z = 5被柱面X2y225所截得的有限部分。四、(8分)计算积分Ix3dydz y2dzdx zdxdy, 是柱面 x2 + y2 = a2 在 0z h部分外侧。五、(8分)在抛物线:zX y1 上求一点 M 0(X0, y0, Z0) (Xq 0,

23、丫00,x； y21)使在 M。处的切平面与柱面y J1 X2及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。六、(8分)已知L是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x2 + y2 = 2x到点(2, 0),再沿圆周X2 + y2 = 4到点(0, 2)的曲线段。计算曲线积分 I |3x2ydx (x3 X 2y)dy。七、（8分）八、（6分）设有一半径为R的球体，Po是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到Po距离成正比（比例常数 答案：一、i.二、i.3k > 0)，求球体对于D;2. B; 3. D ;y i z 4 ""8Po的转动惯量。Ai 2 yodyi 厂

24、卩 fdddx ； 3. 2a7;三、1.解f2，2.3.4.2yfif2。2x fii(4xyfii(2x 3y2y) fi2yy f2 exyf2i(2y)f22ex y2(x y)exz2)dv =fi2zdv2x 2y -x ye f22 ef2irdr0i i -r(202 M= 。12(x y z)dS = (x 5)dSr2zdzx2r2) r4dr(x 5)Ji ( 1)2dxdyy2 25=i25血设所求平面方程为 6x + y + 6z = D,贝yI DD-|- D -| I6 66|D| = 6故所求平面方程为 6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z =

25、 6。5.四、解设 i: z = 0 (x2 + y2 a2)下侧; a2)上侧 y2dzdxi： z = h (x2 + y2 x3dydzi 2zdxdyx3dydzi 2y2dzdx zdxdy(3x2 2y i)dxdydzOdxdyx2 y2 a2x y2 a2hdxdyI2h3x dxdy dz a20dxdydza2h3hyx2y2(x2 y2)dxdya2a2ha2h3h23dr03 a4h4五、解 过Mo点的切平面方程为2x0(x -X0)+ 2y0(y -y。)-(z -z0)= 02 .y。 12x0X 2y0y z2Xo立体的体积为(2x0X 2y0yD2 3(x0 y

26、。)23 2x07(x00，Vy0故所求的点为(六、解七、解y22yo21)dxdy D : x 0, y 0,xy2 11)。尹0 0，-2)。3 '3 )补充L1: x = 0, y从2到0，由L和L1围成的平面区域记为 D ,L®dxdyD由题设由格林公式2ydx (x3 x 2y)dy3x2 ydx (x3L102( 2y)dyan > an + 1,若lim an0 ,则交错级数nx 2y)dy(1)nan收敛，与题设矛盾，故lim annI (l > 0).由根值法，有 lim J 1一n V 1 an1,故级数收敛。八、解以P0点为坐标原点, 转动惯

27、量为球心在z轴上建立坐标系,则球面方程为x2 + y2 + z2 = 2Rz.k(x3z2)2dxdydzo2sin2RCOS Qdr30r2dr2 k1 "sin6 0(2Rcos )6d2013.0764k r621高数试题一、选择题1.设a(aX, ay, az),b (bx,by,bz)，则 a/b 的充要条件是.(A) axbx, ayby, azbz;(B) axbxaybyazbz©aayaz - ，bybz(D)axay azbxbybz.2.设f (X, y)Jxy，则函数f(X, y)在原点(0, 0)处.(A)连续且 fx (0,0), fy (0,0

28、)存在;(B)连续且fx (0,0), fy (0,0) 不存在;(C)不连续且fx (0,0), fy (0,0)存在； (D)不连续且fx (0,0), fy (0,0)不存在。3.设是球面z2 R2所围成的闭区域，则下列结果正确的是.(A)(X y2z) dv 0 ；(B)(X2 y2 z2)dv4r5 ；(C)(X y4.微分方程(A) Ax si nx ；5 .设f(D) n(x2 y2 z2)dS 4y + y = sinx的一个特解的形式为(B) Acosx Bsinx ； (C) Axcosx40z)dv 0 ；R2。Bsinx ；(D) Axcosx Bxsinx。(u)连续

29、可微，且f (u)du k 0，其中 L为圆周yJ2x X2上从原点到点(2,0)的部分，则Lf(x22y )(xdx ydy)(A) 0 ；(B) k ；(C) k ；2(A) 2k.二、填空题dz =1. 函数z = f (x, y)由方程2sin(x 2y 3z) x 2y 3z所确定，则11 y2 .交换积分次序 0 dy y r f(X, y)dx为.3.设 L 为圆周 x = acost, y = asint (0 t 2 ),则 L(x y)2ds =2y ，则平面薄板4 .设平面薄板所占闭区域D由直线x + y = 2 , x = 2和y = 2围成，它在点(x, y)处的面密

30、度为 的质量为5微分方程y 10y25y0的通解是三、计算下列各题2z z z一 。X v X v1.已知z f(xy,y)，其中f具有二阶连续偏导数，求，x2. 一平面通过两平行直线-_333. 计算(x2 y2)dv，其中 是由yoz面上曲线 vLA三，求此平面方程。2 12x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z = 8所围成的闭区域。44.求(2x -y z)dS，式中彳1在第一卦限的部分。四、(8分)计算积分I(y2xz)dydz(z2xy)dzdx (x2 yz)dxdy，是锥面 z FV(0 z h)的下侧。五、(8分)求球面x2a的内接长方体，使长方体的体积最大。六、 (8分)一个体

31、积为pl /V，外表面积为S的雪堆，融化的速度是一aS，其中 a是正常数，假设在融化过2 2x V程中雪堆的形状保持为z h (z 0)，其中h = h (t),问一个高度等于h0的雪堆全部融化消失需要多少h时间。七、(4分)设函数f (x)满足方程xf (x) 3f(x)6x2，且由曲线y = f (x)，直线x = 1与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。高等数学(下)2014年7月一、单项选择题(本题共4小题，每小题 4分，共计16分)1.设向量a (2, 2, 5)的起点坐标为(2,1,7)，则(A) a的终点坐标为(4, 2,1)；(B) a的长度为

32、6;(C) a与y轴的夹角为2 arccos=;(D) a在z轴上的投影为5。2.设平面区域D : x(A)xl n(x2y2)dD(C)|xv|d4DD13.2D1 :x(B)xyd2y 1,x0, y 0则下列等式不成立的是V2d4 1 x2 v2dD12(D) xy dD4 xy2dDi4.设函数z e2x(x(A )驻点但非极值点;(C)驻点且极大值点;(B)(D)1-,0)是该函数的.2驻点且极小值点；极值点但非驻点.5.6.7.二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共计16分)11曲线x t2,y 2t,z -t3在点(1,2,-)处的切线方程是331 e-交换积分次序 04 dy

33、f (x, y) dx - dyf(x, y)dx =设f(X)可微分,x 2z f (y3z)，则 2 二x若二阶常系数线性非齐次方程y" py' qyf (x)的三个解是:/X2xy1x(e e )，y2x2xxe eX z, 2 xy3xe (x 1)e则 p2 4q =三、计算下列各题 (本题共5小题，每小题6分，共计30 分)1.求平面方程，使得这个平面垂直于平面x y2zI平行于向量S (1, 2,2/5)，并且过点(5,0,1)。2.求二重积分arctan'dxdy，其中D由圆xDx1，x24及直线y 0，y x所围成的在第一象限的闭区域。3.设z x2

34、f(xy,y)，f具有二阶连续偏导数，求x2z。x y4.计算曲面积分IdS，其中是球面x2zz22在锥面y2上方的部分。5.计算曲线积分L(xy)2ds ，其中L是由点0(0,0)到A(0,1)的直线段和yJ1 x2上从A(0,1)到B(1,0)的圆弧组成。四、(8分)求解二阶初值问题:y" 4yy(0)1-(x cos2x)0y'(0)五、(8分)修建一座容积为 V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单 位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。六、（8分）计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3（z2 1）dxd

35、y，其中 是曲面z 1 x2 y2 （z 0 ）的上侧。2七、（8分）设f （u）连续可微，L为由A 3,-到B 1,2的直线段，求31 y2f(xy)dx-y2f(xy) yidy八、（6分） 答案 （2014年7月）一、1 : C;2:B;4:2:1-X02dx X2 f(x,y)dy ；3: 1；4: 0三、1.求平面的方程，使得这个平面垂直于平面X y2z平行于以丄，上，弐为方向余弦的直线,5 552x并且过点（5,0,1） o解所求平面的法向量为平面方程为（42 .求二重积分j12 2/5(4 2/5,2 245 1),275)(x 5) (22苗)y (z1)arctan'

36、dxdy，其中XD由圆X21,x2y24及直线y 0, y x所围成的在第一象限的闭区域。yarcta n 厶 dxdyx04drdr3 2642zox y3.x2f（xy,） , f具有二阶连续偏导数，求X4.2z(xfi3x2f1-f2)x3 f1xf2xx3(fiiy 占Xf12) f2x( f2i y篦 f22)X3x2 fif2X3 yfiixf22)o计算曲面积分I-dS，其中是球面z2-i 22z 2在锥面z Vx y上方的部分。22f22.,Dxy :x y 1,1I -dSzz 2 z 2(_)2(_)2dxdyX yX2J222 rdr r5.计算曲线积分L(Xy)2ds，

37、其中L是由点的圆弧组成。L(Xy)2ds0(0,0)到 A(0,1)的直线段和 y J1 X2 上从 A(0,1)至U B(1,0)0y2dy02 (cos sin )2斤 sin )2 cos2 d132四、五、积造价的V,形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面修建一座容积为3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。Sxy2(2 xz2yN)3xy 4xy 4xz设L4xy4xz4yz(V xyz)Lx4y4zyz0Lx4x4zxz0Lz4x4yxy0Vxyz解得Xy z3Vo六、计算曲面积分112.x3dydz 2y3dzdx解设1 :z 0,(；x

38、22y1)下侧I6(x2y2 z)dxdydz4yz侧。21X211 1解设长、宽、高分别为 X, y,乙则Vxyz，设单位造价为k,则3(z2 1)dxdy，其中 是曲面z 1 x2 y2(z 0)的上(3)dxdyy2 1rdr0'6(r2z)dz1rdr'6(r2z)dz10002七、设f (u)连续可微，L为由A 3,2到B 1,2的直线段，求1 y f (xy) dx上昇y2f (xy) 1dy3L y y解 p Lfxyl,Q 为y2f(xy) 1， yP1Q-12 f xyf ，所以积分与路径无关,yyx1 y2f(xy)dx-y2f(xy) y(1,2) 11d

39、y(*dxxdy) f(xy)(ydx xdy) y八、设函数f(X)在a,b上满足a证明：级数(un 1 un)绝对收敛。n 1证明(1,2)2(込)d;F(xy)F(xy)：3?)3f(x) b , | f(x)|令unf(Un 1),n 1,2,3,U0 a,b，|un 1 un | | f (un) f (un 1) | | f ( n)(unun 1) | q | un un1|q| f(Un 1)f(Un 2)l q| f (n 1)(un 1 un 2)|2 .q |un 1 unIII qn|uiUo |q 1,从而qn收敛,n 1由比较审敛法，级数(un 1 un)绝对收敛。

40、n 1高等数学(下)2015xy 11一、计算下列各题 (本题共5小题，每小题6分，共计30 分)6在点(1, 2,1)处的切线与法平面方程。1.求点卩心,1)到直线的距离节孑宁。2 2 22.x y z 求曲线yx y z 03.函数u xy2z在点(1,1,1)沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。4.u f(x, xy)具有二阶偏导数，求2u。x y5.计算二重积分(x2x2 y2 97x32y 1)dxdy 。二、(16 分) 1.求解微分方程的初值问题2.已知点0（0,0）与A 1,1 ,且曲线积分(ax cosyOAy2 sin x)dx (by cosx x2 sin y)dy 与路径无关，试确定a,b的值并求出I。三、（8分）求y （y ）2的通解四、（8 分）设函数 f（x, y） （x y ）sin1