大一下高数下册知识点0001

1、册知识点第八章 空间解析几何与向量代数(一)向量线性运算定理1：设向量az0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数 入，1、线性运算：加减法、数乘;2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式;3、利用坐标做向量的运算：设a = ( ax ,ay ,az), b = (bx,by,bz)；a ± b = (ax ± bx, ay ± by ,az ± bz),几 a = a ax " ay " az)；4、向量的模、方向角、投影:1)向量的模:r 卜 Jx2 + y2+z22)两点间的距离公式:/ 2 2 2AB|

2、 =U(X2-X1)中(2-%)+(Z2-Z1)3)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4)x方向余弦：co歹二5)投影：PHua = a cos®1、数量积：a b =cosP =y, cosY r,其中w为向量a与U的夹角。b cos21)2)a 丄 b = a b = 02、向量积：C = a X b大小:b sin 0，方向：a,b,c符合右手规则2)a / b 二a 咒 b运算律：反交换律 b咒（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S :f(X, y, z) = 02、旋转曲面:yoz面上曲线C :f (y,z)= 0,绕y轴旋转一周:f (y,± Jx2 +

3、 z2)绕z轴旋转一周:f (- Vx2+ y2,z)3、柱面:F(x,y) = 0F （X, y） = 0表示母线平行于z轴准线为z=0的柱面4、 二次曲面X21）椭圆锥面：a2b2z22）椭球面:z2旋转椭球面:3)4)5)6)7)8)9)单叶双曲面:双叶双曲面:椭圆抛物面:双曲抛物面椭圆柱面:双曲柱面:抛物柱面:（马鞍面）（四）空间曲线及其方程1、般方程:ayi F(X, y, z)lG(x,y,z)a cos tX = x (t )2、参数方程:"二y（t），如螺旋线:Z = z（t）a sin tzbt3、空间曲线在坐标面上的投影曲线在面xoy上的投影F (x, y, z)

4、 = 0；G(x,y,z) = 0 '消去 z '得到屮(x,y) = 0z = 0（五）平面及其方程1、点法式方程：A（x - x。）+ B（y -y。)十 C (z - z0)= 0法向量：n = （A, B,C），过点（Xo, y。，z。）2、般式方程：Ax +By + Cz + D = 0截距式方程：b"+a b3、两平面的夹角：ni = （A,Bi,Ci），n2 = （A2,B2,C2），4、点 P0（X0, y。，z。）到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离:（六）空间直线及其方程1、Am 中 B1 y 中 Gz 中 D1 = 0 般式方

5、程：IA2X + B2y 中 C2Z + D2 = 02、对称式（点向式）方程： 1° = -z0n -方向向量：s = （m,n, p），过点（X0, y0, Z0）X = Xq 中 mt3、参数式方程：y = y。+ nt4、5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,两直线的夹角：S1=(mi,n1, P1), S2 = (m2,n2, P2),第九章多元函数微分法及其应用(一)基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：(1)定义：设n维空间内的点集D是r2的一个非空子集, 称映射f: DtR为定义

6、在D上的n元函数。当nA 2时，称为多元函数。记U=f (X1, X2, ，Xn) , ( X1 , X2, ,Xn) Do3、二次函数的几何意义：由点集 D所形成的一张曲面。如z=ax+by+c的4、图形为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。极限：(1)定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,pO(xO,yO)是D 的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数£ ,总存在正数S ,使得当点p (x,y ) Dnu( pO, S)时，都有 I f(p)-A I = I f(x,y)-A成立，那 么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)宀(x o,y o)时的极限，

7、记作多元函数的连续性与不连续的定义5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：(1)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在 D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的 任何值。6、偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(X0,y0)是其定义域D内一点。把 y固定在y0而让X在x0有增量(,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y那么此极的偏增量)如果:与/ 之比当(宀0/ f 0时的极限存在,限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作Ax7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和 f

8、yx(x,y)在D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。C f Q fC f方向导数：石=養°050+石2其中a 卩的方向角。9、全微分：如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量z二f(x, y)-f(x,y)可以表示为:二AA<+B%+o( P，其中A、B不依赖于 ,仅与x,y有关,当PTD,此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，AAx+ B称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:偏导数连续r、卜函数可微偏导数存在1充分条件定义函数连续0冋微分法1)

9、定义:2)复合函数求导：链式法则Z二 f(u,v),u二 u(x, y),v 二v(x, y),czcu czex cu excvcvczczcu cz cv十 T cy cv 門3）隐函数求导：两边求偏导,然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数Z二f （x,y）的极值(Xo,yo)，令解方程组.f = o求出所有驻点，对于每一个驻点I f y oA=fxx(Xo,yo)，B=fxy(Xo,yo)，C = fyy(xo,yo)，若AC - B20，A > 0，函数有极小值,若AC - B20，A芝0，函数有极大值;若AC - B2 V 0，函数没有极值;若AC - B2

10、 = 0，不定。2)条件极值：求函数z=f(x,y)在条件® (x,y) = 0下的极值Lagrange 函数令：L(x, y)二 f(X, y)+ 八(x, y)解方程组Ly = 0W(X, y)=02、几何应用1) 曲线的切线与法平面x(t)y(t)，则上一点M (X0,y0,Z0)(对应参数为t。)处的z(t)切线方程为:X - XoX'(to)-y- yo -y(to)乙一 Z0Z(to)x'(to)(x - Xo) + y'(to)( y -y。)+ z'(to)(z- Zo) = 02) 曲面的切平面与法线曲面工：F(X, y, Z)= 0

11、，则旦上一点M(X0,y0,Z0)处的切平面方程为:X- Xoy y。Z - z。法线方程为：Fx(X0, y0,Z0) Fy(x0,y0,Z0) Fz(X0, yo, Zq)第十章重积分（一）二重积分1、定义：JJ f(x,y)d-DfCkg2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算:1）直角坐标(x(x)l a兰X兰bID(X, y)先（y）"兰嚅（y）c兰y兰dJ1、定义：2、性质：3、计算：1）直角坐标2）极坐标重积分川 f(X,y,z)dv = ljm0W f Ck,匚k)也Vk人TU k勻z2(x,y)f(x,y,z)dv = JJ dxdyj f(x,y,

12、z)dzQDZ1(x,y)后二”b“先二川of(x, y,z)dv = JadzDz f (x,y,z)dxdy后一”2） 柱面坐标f(X, y, z)d V =川纹 f (P COS& , p sin , z)PdPde dz3）球面坐标（三）应用曲面 S: Z = f (x, y), (x, yp D 的面积:第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义:+3C1)无穷级数：艺un =572十U3 +十Unin=1n部分和：Sn = W Uk = W + U2 + U3 + Un心c正项级数：送Un，Un二0n三c交错级数：艺（T）nUn，Un 30 n三2）级数收敛:coc若忸Sn

13、= S存在，则称级数；Un收敛，否则称级数1 Un3)发散3C3）绝对收敛:3C送Un收敛，则送Un绝对收敛;n丄oC2、条件收敛:Z Un收敛，而S Un发散，则2： Un条件收敛。 n 二1CocE |Un|绝对收敛，则无Un必定收敛。n丄性质:1)级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性;COC2）级数送an与艺bn分别收敛于和S与7,则送（an 士 bn）收敛且，其n Tn Vn =1和为S+ (73)在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛;4)级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。5)c必要条件：级数艺Un收敛即limUn =0.n =1

14、I3、审敛法正项级数:C£ Unn =11)2)定义：nimSn送Un收敛二nW'Sn 有界;Coc比较审敛法：送Un ,艺Vn为正项级数，且U Vn （n二1,2,3，）n =1n =1oC若无Vn收敛，则送Un收敛；若送Un发散，则送V.发3Ccndnn4)比较法的推论：送Un送Vn为正项级数，若存在正整数 m，当ccm时，Un兰kVn,而w Vn收敛，则2 Un收敛；若存在正整数 m ,ncm时，U肿kVn，而2 Vn发散，则无Un发散.n做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列， P级数1/np）;比较大小；是否收敛。5）比较法的极限形式：设送Un ,艺Vn为正项级数

15、,nVnT(1)若 lim % = I (0 兰 I < gccnT处VVpi而送Vn收敛，则送Un收敛;(2)若 Iim U> 0或 Iim Un = J)仲 m 处 I *nT 处 VndcnrnG+ oC，而无Vn发散，则艺Un发散.n3C6）比值法：无Un为正项级数,ndU卄C设吨" = 1，则当I "时，级数无Unn=1n=1cc收敛；则当I >1时，级数艺Un发散；当1=1时，级数艺Un可能收敛也可n =1nrn能发散.cc7）根值法：无Un为正项级数,设I'm1，则当I <1时，级数S UnS riC-丿丿nWnTHinTc收敛；则当I >1时，级数送Un发散；当1=1时，级数送Un可能收敛也可nWnW能发散.8）极限审敛法:为正项级数，若lim n u0 或 lim n Un = +比nj处oC则级数送Un发散;n丄若存在P>1,使得lim np Unnjoc（0兰| < +或），则级数3C送Un收敛.n丄交错级数:OC莱布尼茨审敛法：交错级数：无（