历届华杯赛决赛试题剖析--第五讲(第十七届)

1、历届华杯赛决赛试题剖析 5华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）真题尝试感悟心得1.2.3.4.5.6.7.、填空题（每小题10分，共80分）算式 10 10.55.2 14.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5 的 值箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二.若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里的红球与黑球数量之比有两个体积之比为5:8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加 6,其面积增加了 114.那么这个长方形的面积为甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲

2、粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的 2倍.如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6倍.那么甲粮库原来最少存有现有211名同学和四种不同的巧克力,每种巧克力的数量都超过633颗.规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿.若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有名同学.张兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他右图是一个五棱柱的平面展开图，图中的正方形边长都为2.按图所示数据，这个五棱柱的体积等于真题尝试感悟心得8.在乘法算式草绿花红了春光明媚中,汉字代表非零数字,不同汉字代表不

3、同的数字,那么春光明媚所代表的四位数最小是二、解答下列各题（每题10分，共40分,要求写出简要过程）9.如右图，ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点连接BK, DE相交于一点0.问:四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由.10.能否用500个右图所示的1 2的小长方形拼成一个5 200的大长方形,使得5 200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由.11.将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数，如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数,则称这个2n位数为卡布列克(Kabulek)怪数，例如，(30 25)23025 ,所

4、以3025是一个卡布列克怪数.请问在四位数中有哪些卡布列克怪数 ？12.已知98个互不相同的质数Pi, P2,p98 ,问：N被3除的余数是多少?三、解答下列各题(每小题15分,共30分，要求写出详细过程)13.小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步,两人同时同地出发，小李顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑,每80秒跑一圈.在跑道上划定以起点为中心的丄圆弧区间，那么两人同时在划定的区间内所持续的4时间为多少秒？14.把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方块，其中，两面有红色的小立方块有 40块,一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？第十七届华

5、罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案（小学高年级组）、填空（每题10分，共80分）二、解答下列各题（每题10分，共40分,要求写出简要过程）题号12345678答案9.31:240153718743969.答案：是.解答.连接AC.则所以SeckbS cebS CEBS ACES BCKS BCAS EADSeckbS obe因此SeckoSabod 即四边形ABOD的面积=四边形ECKO的面积.10.答案:解答.首先构造5 4的长方形如下：令*令令令然后用50个5 4的即可拼成5 200的长方形.11.答案：2025, 3025, 9801.解答.设一个四位卡布列克怪数为100xy,

6、其中10 x 99,0 y 99.则由题意知2100x y (x y),两边模99得y (x2y) (mod99),因此 99|(x y)(x y 1),故xy 1中有一个能被9整除，也有一个能被11整除（可能是同一个数）,且有102(x y)2100x y 1002，即10 x y 100.( *)若x y能被99整除,由（*）知x y只能是99,满足条件的四位数是9801 ;若x能被99整除，由（*）,显然没有满足条件的四位数;此外，可设xy = 9m, x y11n,则有 9m-11 n=1.由（*） , m和n均为小于12的正整数，故得到m = 5, n=4,x y只能是45,满足条件

7、的四位数是2025;反之，可设x y 1 = 9m,x y = 11n，满足条件的四位数是3025.故四位数中有三个卡布列克怪数，它们分别为2025, 3025和9801.12.答案：1或2解答.对于质数3,32被3整除.其余的质数,要么是3k1型的数，要么是3k 2型的数.由于2(3k1) 9k 6k213(3k2k) 1,被3除余1,且(3k 2)2 9k2 12k43(3k24k 1) 1,被3除也余1.因此有(1)若这98个质数包含3时，N被3除的余数等于97被3除的余数，等于1.(2)若这98个质数不包含3时,N被3除的余数等于98被3除的余数,等于2.三、解答下列各题(每题15分，

8、共30分,要求写出详细过程)13.答案：3,9,11,18解答.设起跑时间为0秒时刻，则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为0,9, 72k9,72k 9, k 1,2,3,0,10, 80m 10,80m10, m 1,2,3,其中a, b表示第a秒时刻至第b秒时刻.显然0,9即前9秒里两类时间段的公共部分此外，考虑72k9,72k9和80m10,80m10的公共区间，k,m为正整数，分两种情况:1) 72k80m,即小李和小张分别跑了定区域跑了 18秒.k圈和m圈同时回到起点，他们二人同时在划2) 72k80m,例如72i-9go 用10ED眈+ 1072 k 9 80m 10 72k 9

9、 80m 10180m 72k 19.两人同时在划定区域内跑了 72k9(80m 10)19(80m 72k).由知80m 72k8, 16.于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒.其它情况类似可得同样结果.综上，答案为3,9,11,18.14.答案:150解答.设立方体的长，宽，高分别为乙y, X,其中x y z,且为整数.注意，两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现如果x 1, y 1,则没有两面为红色的立方块，不符合题意.如果x 1, y 1,则没有只有一面为红色的立方块，不符合题意.因此 x 2.此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱 . 一面出现红色的方块只1）与立方体的面共面. 有下面的式子成立(x2) (y 2) (z 2) 40,由（ 1）得到由（ 2）得到由（ 3）足（ 3）足条件 .2 (x2)(y2)(x 2)(zxyxy xz2) (y 2)(z 2) 66.z 16,yz 85.2）4）可得， x22,3,4,则由（ 5 ）则由（ 5）则由（ 5 ）z286 ，这样(x得到得到得到5时, 由（5）得到 （5(2(3(41 x, y,z 9. 由( 4)得到2y)(x z) 85 x2.y)(2y)(3y)(4y)(5 z)如果 x 6,