空间向量和立体几何典型例题

1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题：i. （2008全国I卷理）已知三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱与底面边长都相等,Ai在底面ABC内的射影为 ABC的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（i a.3B 2B.31.解：C.由题意知三棱锥 AC. D.ABC为正四面体,3设棱长为a ,则ABJ3a ,棱柱的高AO Ja2 AO2a2底面ABC所成角的正弦值为/23 ( a)32AO2AB36a3（即点Bi到底面ABC的距离），故ABi与uur umr UJir另解：设AB,AC,AA为空间向量的一组基底，uur uuu长度土匀为a ,平面ABC的法向量为OAi AAuuu uuu

2、 uiurAB, AC,AA的两两间的夹角为60i uuuAB 3i uuir uuurAC, AR 3uuu uuirAB AAuur uuirOAi ABiUULT-a2, OAi3uuLr ,ABi则ABi与底面ABC所成角的正弦值为、,3uuur uuur OA AB UUU 11 uuu ao|ab二、填空题：i. （2008全国I卷理）等边三角形 ABC与正方形 ABDE有一公共边AB ，面角C ABD的余弦值为 y-, M, N分别是AC, BC的中点，则EM, AN所成角的余弦值等于i.答案:OHCHi.设 AB 6AB ,则 CH2,作 CO 面 ABDE,AB, CHO为二

3、面角C AB D的平面角J3,OH CH cos CHO i ,结合等边三角形 ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,则 AN EMCH .3LurANuur uuuuLurANi uuu-(AC AB), EM 2uuur EMuur-(AB AC)i uur -AC 2i uuir (AC2 一uuurAE,CNEBD故EM,AN所成角的余弦值uurANuur AE)uunn EMuur uuur AN EMi题图（i）另解：以则点A（O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，i, i,0）,B（i, i,0）, E（ i,i,0）,C（0,0-2）NEBD(2)uuir3 1 72

4、 uuur 13 V2uuiruuuu1uuur则AN故EM,(3,-,-),EM 匕2 2 2:AN所成角的余弦值) ?2 2,uuur uuurAN EMuiuriiujur AN EMAN1. 6EM2,AN1 M( 2,1 .211、2-,-), N (-, -,-)2 22 2 2uuurEMV3,三、解答题：1. (2008安徽文)如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD四边长为1的 菱形,ABC -, OA 底面 ABCD, OA 2,M 为 OA 的中点。 4(I )求异面直线 AB与MD所成角的大小 (II)求点B到平面OCD勺距离。1 .方法一(综合法)(1) Q C

5、D | AB,. MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)作AP CD于P,连接MP v OA 平面A BCD, ： CDADP -,. DP= MPv MD .cos MDP4 ,MA2 DP MDAD212,所以MDCMDP 3AB与MD所成角的大小为(2) v AB | 连接V APv AQ 又 AQ3平面OCD；.点A和点B到平面OCD勺距离相等, OP过点A作AQ OP于点Q CD,OA CD, /. CD 平面 OAP, 平面 OAP, ：AQ CD OP, /. AQ 平面 OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD勺距离v OPOD2 DP2OA2-221AD DP ，41

6、23.2,2APDP，AQ OA9APOP-22gz3 22 ,所以点B到平面OCD勺距离为3BCy(1)设AB与MD所成的角为uuuABuuuu(1,0,0), MDuuu uuunABgMDUuu ULuUAB MD,2 % 22 , 212,31) AB与MD所成角的大小为uuu 2 2uulty 2),od (3222)T,T, 2)LUT设平面OCD勺法向量为n (x, y,z),则ngOPUULT0,ngOD 0-2 y 2z 0即2_二 x 二 y 2z 022取z 72,解得n (0,4,历uuu设点B到平面OCD勺距离为d ,则d为OB在向量n uuuuuuOB n 2 OB

7、 (1,0, 2), d 2.n 3(0,4,72)上的投影的绝对值 ，一 一一 一， 2所以点B到平面OCD勺距离为一32. (2008安徽理)如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD四边长为1的菱形,ABC 一, OA 底面 ABCD, OA 2,M 为 OA 的中点, 4(I)证明：直线 MN |平面OCD ;(n)求异面直线 AB与MD所成角的大小；(出)求点B到平面OCD勺距离。2.方法一(综合法)(1)取OB中点E,连接ME NEQ ME | ABAB| CD, ME | CD又QNE|OC,平面 MNE | 平面 OCDMN | 平面 OCD(2) QCD | AB, MD

8、C为异面直线 AB与MD所成的角(或其补角)作AP CD于P,连接MPv OA 平面A BCD,/. CD MP2 ADP , . . DP=一42MD VMA1 AD7,N为BC的中点。PBNCDP 1 .cos MDP -,MDCMD 2MDP 3所以 AB与MD所成角的大小为 一3(3) ; AB II平面OCD；.点A和点B到平面OCD勺距离相等，连接 OP,过点A作AQ OP 于点 Q, . AP CD,OA CD,： CD 平面OAP,：AQ CD 又 AQ OP,： AQ 平面OCD ,线段AQ的长就是点 A到平面OCD勺距离v OP . OD2 DP2, OA2 AD2DP ,

9、411 3-2 ,22AP DP -220 AMp 24 22aq O gA2,所以点b到平面OC而距离为2OP32 332方法二(向量法)作AP CD于点P,如图，分别以AB,AP,AO所在直线为x, y,z轴建立坐标系a(。,。,。)，B(1,0,0)，P(0，i2，0)，D(2 .22 , 2,0),O(。,。，2),M(0,0,1),N(122 0丁丁。)uuuu . 2 ，2 uuu(1) MN (1 ，1),OP44,2 uur .2 .2(0, , 2),OD (,222uuruuLT设平面OCD勺法向量为n(x, y,z),则 ngOP2y 2z 0即22x y 2z 22取

10、z &,解得 n (0,4,72)uuuu.2 .2, MNcn (1 一, 一, 1)g(0,4,2)44MN | 平面 OCD(2)设AB与MD所成的角为uuuABuuuu(1,0,0), MD1)2)0, ncOD一,AB与MD所成角的大小为一33uuu uuuTABgMD 1 cos uuu uuuu -AB MD 2uuu(3)设点B到平面OCD勺交流为d ,则d为OB在向量n (0,4, J2)上的投影的绝对值，uuu由 OB (1,0, 2),得 duuuOB n22一 .所以点B到平面OCD勺距离为一333. (2008 北京文)如图，在三棱锥 P-AB8, AGBG=2, Z

11、 ACB=90 , AP=BF=AB, PC1_ AC(I)求证：PdAB(n)求二面角 BAPC的大小.3.解法一：(I)取AB中点D,连结PD CD. AP=BP,. . PD AB. AC=BC. CDL AB. PDA CD= D. AB,平面 PCDPC平面PCD . PCX AB(n)AGBCAP=BP. APCABPC又 PC! AC . PCX BC.又 / ACB= 90 ,即 ACL BC,且 AS PC=C,.AB= BR .BEX AP.EC是BE在平面PAC的射影，. CE! AP，/BEC是二面角BAP-C的平面角.在 BCE中,/ BCE=90 , BC2 BE=

12、- AB 遍,BC 6 sin Z BE(= .BE 36二.二面角 RAR C的大小为aresin .3解法二：(1) AGBCAP=BP. APCABPC又 PC! AC . PCX BC. ACA BGCPC!平面 ABC. AB平面ABC . PCX AB(n)如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.则 C (0, 0, 0) , A (0, 2, 0), B (2, 0, 0).设 P (0, 0, t), | PB| = | AB| = 2 2 , .t=2, R0,0,2).取AP中点E,连结BE CE. I AC| =| PC| , | AB| = | BP| ,. C

13、E1 AP BE! AP/BEC是二面角B-ARC的平面角.-E(0,1,1), EC (0, 1, 1),EB (2, 1, 1),EC EB 23 cos / BE(= = .EC|EB .2633二二面角 B-AP-C的大小为arccos .34. (2008北京理)如图，在三棱锥P ABC 中，AC BC 2, ACB 900,AP BP AB, PC AC .(I)求证：PC AB ;(n)求二面角 B AP C的大小;(m)求点C到平面APB的距离.4.解法一：(I)取AB中点D,连结PD, CD .Q AP BP , PD AB.Q AC BC , CD AB.Q PDI CD

14、D , AB 平面PCD .Q PC 平面 PCD , PC AB.(n) QAC BC, AP BP, APCA BPC .又 PC AC , PC BC .又 ACB 90,即 AC BC ,且 AC I PC C , BC 平面PAC .取AP中点E .连结BE, CE .Q AB BP , BE AP.Q EC是BE在平面PAC内的射影， CE AP.BEC是二面角B AP C的平面角.在 BCE 中， BCE 90, BC 2, BE3B2BC .6 sin BEC BE 3面角B AP C的大小为arcsin(出)由(I)知 AB 平面PCD ,平面APB 平面PCD.过C作CH

15、PD ,垂足为H .Q平面APBI平面PCD PD ,CCH 平面APB .CH的长即为点C到平面APB的距离.由(I)PCQCD PC知 PC AB, 平面ABC . 平面ABC , CD .又PC且 ABI AC A,在 RtzXPCD 中，CD-AB 2PD PB 76,2PC . PD2 CD22.CHPCgCDPD2.33点C到平面APB的距离为2.33又PC PCQ AC IPCQ AB PC解法二：(I) QAC BC, AP BP, APCA BPC .AC , BC . BC C , 平面ABC . 平面ABC , AB .(n)如图，以C为原点建立空间直角坐标系则 C(0Q

16、,0), A(0,2,0), B(2,0Q).设 P(0,0, t) Q PBt 2, P(0Q2).取AP中点E ,连结BE, CE .Q ACPC , ABCE AP, BEBEC是二面角ULITQ E(011) , ECcos BECBPAP .B AP(0, 1,uuir uurECgEBuuir uurECgEBLUU1), EB(2, 1, n .31)，面角B.3AP C的大小为arccos 3(m) Q ACBC PC,C在平面APB内的射影为正 APB的中心H ,且CH的长为点C到平面APB的距离.如(n)UULTQ BH建立空间直角坐标系 uuit2HE ,，一，2 2 2

17、的坐标为 一，一,一3 3 3uuirCH2.3所以点C到平面APB的距离为 还 .35. (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面 PADL底面ABCD侧程PA=PD=/2，底面ABCD 为直角梯形，其中 BC/I AD,AB CD,AD=2AB=2BC=2,O/ AD 中点。(1)求证：POL平面 ABCD;(2)求异面直线 PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD勺距离6. (2008福建理)如图，在四棱锥 P-ABCDK 则面PADL底面ABCD侧棱PA=PD= J2 , 底面ABC西直角梯形，其中 BC/ AD ABL AD A摩2AB=2BG2, O为AD中点.6.本小

18、题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.(I )求证：POL平面ABCD(n )求异面直线 PD与CD所成角的大小;(明线F上是否存在点Q,使得它到平面PC曲距离为史？2若存在，求出 处 的值；若不存在，请说明理由QD所以 CD ( 1,1,0), PB (1, 1,uuuuuirPB CDuur uuirPB CD1)635.解：如图, uuurA(0,-1,0UUU(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)uuu uurCOS PB,CD(1,1,0)解法一：(I)证明：在

19、PAD43 PA=PDO为AD中点，所以 POL AD 又侧面PAD_底面 ABCD面PAD 平面ABCDADPO 平面PAD所以POL平面ABCD(n)连结 BO 在直角梯形 ABCDfr、BC/ AD AD=2AB=2BC 有OD/ BC且O!=BC所以四边形 OBCDI平行四边形， 所以OB/ DC由(I)知，POLOB/PBM锐角，所以异面直线所成的角的余弦值为:(2)设平面PCD的法向量为(x, y,z), CPxzxy(1,1,1)又 AC(1,1,0)则，点A到平面PCD的距离为：d3nr nr n r nuuir (1,0,1),CDuurCP 0 uurCD 0263 uuu

20、0；0uurr令x=1,则y=z=1,所以nr uur桀所以/ PBB异面直线PB与CD所成的角.因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAAOE, AB=1,AO=1,所以OB= 72,在 RtPOAh 因为 A2 J2, A0= 1,所以O4 1,在 RtAPBO, tan / PBO=PG所以异面直线PB与CD所成的角是arctan2, PBO arctan-2. 22,2.(m)假设存在点 Q使得它到平面 PCD的距离为二32设QD= x,则SDQC1x,由(n)得 CD=OB=J2 , 2在 RtPOW,PC,OC2op22,所以 PGCD=DPS PCD由VpuVQwD得2,所以存

21、在点 Q满足题意，此时AQQD解法二：(I)同解法一.uuur uuur uur(n )以0为坐标原点，OC、OD、OP的方向分别为x轴、角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),R1,-1,0),y轴、z轴的正方向，建立空间直Ci。),d(0,1,0),R0,0曲所以CD=(所以异面直线uuu1,1,0) ,PB= (1 1, 1).6PB与CD所成的角是arccos ,3(m )假设存在点 Q使得它到平面 PCD勺距离为 2uuuuur由(n)知 CP ( 1,0,1),CD ( 1,1,0).设平面PC曲法向量为n=(x0,y0, Z0).uur ngDP0,uiur ngD

22、D0,% Z0 0-r所以即y0Z0,x V。 0,取X0=1，得平面PCD勺一个法向量为n=(1,1,1).uuur设 Q(0, y,0)( 1 y 1),CQ ( 1,y,0),由uuuuurCQgnn叵得L1_y|昱 2 V3|，解y=-1 或 y=5(舍去),13 AQ1此时AQ, QD，所以存在点Q满足题意，此时-22QD37、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体 ABCD- ABCD的对角线 BD上，/ PDA=60 。(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小。uuu uuuu DA,DH2 uuuu解得m J ,所以DH20 0 1 1 2

23、 1 .2uuuDC (0,1,0). 228.本小题主要考查线面关系、 空间想象能力和推理论证能力(I )证明：如右图，过点侧面AABB1.7 .解：如图，以 D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系 uuuuuuu则 DA (1,0,0), CC(0,0,1).连结BD , B D在平面BB D D中，延长 DP交B D于H . uuua设 DH (m, m,1)(m 0), uuuu uuur由已知DH,DA60,uuu uumuum uumi由 DAgDHDA DH cos可得 2m J2m2 1 .2 uuuu uuuu (I)因为 cos DH ,CC 2uuuu uuun所以 D

24、H ,CC450 .即DP与CC所成的角为45.(n )平面 AAD D的一个法向量是J uuuu uuur 因为 cos DH ,DC-2-uuuu uur 所以 DH,DC 60.可得DP与平面AAD D所成的角为30 .8 .(2008 湖北文)如图，在直三棱柱 ABC A1BG中，平面 ABC(I)求证： AB BC;(n )若AA1 AC a ,直线AC与平面A BC所成的角为 ，二面角 A BC A勺大小为，求证：一.2直线与平面所成角、 二面角等有关知识, .(满分12分)A在平面AABB内作ADLAB于D,则由平面 ABC1侧面 AABB,且平面 ABS侧面 AABB= AB,

25、 得ADL平面ABC又BC平面ABC所以ADL BC因为三棱柱 ABC_ABC是直三棱柱，则AAL底面ABC所以AABC又AAAAD=A从而BCL侧面 AABB,又AB侧面AABB,故 ABL BC(n)证法1:连接CD则由(I )知/ ACDt是直线AC与平面ABC所成的角，/ ABA就是 二面角Ai- BC-A的颊角，即/ ACD= 0 , / AB所 .十 AD AD AD ADAA1aAC asin 0 =sin / AAD由于0与/ AAD都是锐角，所以 0 =Z AAD于是在 RtAADC3, sin 0 = ,在 Rt A ADA中,sin /AAD=,又由 Rt A AAB 知

26、，/ AAA = / AAB+ = ，故0+ =. 22证法2：由(I)知，以点B为坐标原点，以 BC BA BB所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 AB=c (cva=,则 B(0,0,0) , A(0, c,0) , C( Va202,0,0),A(0, c,a)，于是 BC(Ja2c2,0,0)，函=(0, c,a),AC (. a2 c2, c,0)AA1c,a设平面 ABC的一个法向量为 n=(x,y,z ),n?BA1则由_1n?BC可取n= ( 0,0“ cy得j一0,. a2 a, c),于az 0,2c x日0.n AC =ac0, AC与n的

27、夹角为锐角，则与互为余Csinn? AC =cos =|n|?|AC|(0,22a, c) ?( a c , c,0).22. 2a c ?、，(acosBA ?BA(0,a,c)?(0,0,a)所以| BAi |?| BA|22 ca c ?asin =cos =sin()，又 0V ,2+ =2A1ABB.9 .(2008 湖北理)如图，在直三棱柱 ABC-ABiC中，平面 ABC1侧面(I )求证：AB BC(II)若直线AC与平面ABC所成的角为。，二面角Ai-BC-A的大小 为巾的大小关系，并予以证明.10 本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查

28、空间想象能力和推理能力.(满分12分)(I)证明：如右图，过点 A在平面AABB内作ADL AB于 D,则由平面 ABCL侧面 AABB,且平面 ABC 侧面 AABB=AB得ADL平面 ABC又BC 平面ABC所以ADL BC因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱，则AAL底面ABC所以 A/AXBC.又AAI ADA,从而BCL侧面A ABB,又AB 侧面 AABB,故ABL BC10. (2008湖南理)如图所示，四棱锥 P-ABCD勺底面ABCO边长为1的菱形，/ BCD= 60E是CD勺中点，PAL底面ABCD PA= 2.(I)证明：平面 PBEL平面PAB(n)求平面 PAD

29、F口平面PB即成二面角(锐角)的大小 .V(n)解法1：连接CD则由(I)知 ACD是直线AC与平面ABC所成的角,由 AB AC 彳S sin sinB为坐标原点，以 BC BA BB所在的直线分解法2：由(I )知，以点(0,c,a),设平面ABC的一个法向量为sincosuuurcosuur -BC (- buur L(0,0,a).n=(x, y, z),则 0,BA gBA 田 ur 11 uu BA.BA可取 n=(0,-;为锐角，则，又0V ,所以 0,AC与n的夹角ac于是由cb,得 _a22 a cb%a2c2即 sin sin ，又 0, 一，所以 2ABA1是二面角 AB

30、C-A的平面角，即 ACDABA1于是在 RtAADC, sinAD +,在 RtAADB, sin ACADAB10.解：解法一(I)如图所示，连结 BD由ABC比菱形且/ BCB60知， BC星等边三角形.因为E是CD的中点，所以BEL CD又AB/CD所以BE!AB又因为PAL平面 ABCD BE 平面ABCD所以PAL BE 而 PA AB=A 因此 BE!平面 PAB 又BE 平面PBE所以平面 PBEL平面PAB(n )延长AD BE相交于点F,连结PF 过点A作AHL PB于H,由(I )知 平面PBEL平面PAB所以AHL平面PBE在 RtABF中，因为/ BAF= 60。，所

31、以，AF=2AB=2=AP在等腰RtPAF中，取PF的中点G,连接AG则AGL PF连ZHG由三垂线定理的逆定理得，PF，HG所以/ AGK平面PADffi平面PBEW成二面角的平面角(锐角)在等腰RtPAF中,在 RtPAB中，AHAG -2 PA2APgABAPgAB所以，在RtAAHC,PBAB22.52255 5AHsin AGH AG故平面PA次口平面PB即成二面角(锐角)的大小是.1o5.而arcsin.5解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0),C(|, 坐,。), D(!，孚,0), P (0,

32、0, 2) , E(1,g,0).2 22 22(I)因为 BE (0,0), 2平面PAB勺一个法向量是n0(0,1,0),所以BE和n0共线.从而BE!平面PAB又因为BE 平面PBE故平面PBEL平面PABuuuuurn)易知PB (1,0, 2), BE (0,uunPA(0,0,uur 1.32),AD (Uur uuu n1gPB ur uuu ngBEr设n1 (x1, y1,4)是平面PBE勺一个法向量，则由0,得0x100 x1yi 2z10,73所以yi 0，y2 0 Z2 0.2LT2z,故可取必(2,0,1).ur设n2(X2, y2,Z2)是平面PADW一个法向量,u

33、r uuun?gPA 则由 ur uuun2gAD得0x2 0 y2 2z2 0,力负0 Z20.22所以Z20,X2ur 一n2 (3, 1,0).23,5 2_T55ur urur ur是，cos n，n2故平面PADO平面PBEW成二面角(锐角)的大小是,15 arccos.511. (2008湖南文)如图所示，四棱锥 P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD 600 ,E是CD的中点，(I )证明：平面(II )求二面角PA 底面 ABCD PA J3。PBE 平面 PAB;A BE- P和的大小。11.解：解法一(I )如图所示，连结BD,由ABCD形且 BCD 600知,

34、 BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以 BE LCD,又 AB/ /CD,所以 BE AB,又因为PA 平面ABCD BE平面ABCD所以PAX BE,而PAI AB A,因此 BE，平面PAB. 又BE 平面PBE所以平面 PBE 平面PAB.(II )由(I )知，BE，平面 PAB, PB 平面 PAB, 所以PB BE.又ABBE,所以 PBA是二面角 A BE P的平面角.在 RtAPAB 中，PAtan PBA - V3, PBA 600 .AB故二面角A BE 解法二：如图所示A(0,0,0),P的大小为60o，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是3 ,

35、31 .33B(1,0,0), C(- -,0), D(- - ,0), P(0,0,73), E(1,0).2 22 22uuu(I )因为 BE (0,uuuuu uuQ),平面PAB的一个法向量是n (01Q),所以BE和n0共线.从而BE，平面PAB.又因为uuu_ uuu(II )易知 PB (1,0, V3), BEBE 平面PBE),3、M(0, Q),设 n12所以平面 PBE 平面PAB.(Xi, y，Zi)是平面PBE的一个法向量，ir uuun1 PB 则由 ir uurn BE0,X1得0Xiy132y10 Z1所以 y1=0, xi故可取n1(J350,1).而平面A

36、BE的ur一个法向量是n2(0,0,1).ur uu是,cos n1, n2ur uupI故二面角A BE P的大小为60o12. （2008江苏）记动点P是棱长为1的正方体 ABCD-ABC1D1的对角线BDi上一点，记D1PD1B.当 APC为钝角时，求的取值范围.uuruuiruur12.解：由题设可知，以 DA、DC、DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz , 则有 A(1,0,0) , B(1,1,0), C(0,1,0) , D(0,0,1)uuuuuuuu由 D1B (1,1, 1),得 D1P uur uuur uuurPA PD1 D1A (, uur

37、uuuu uuurPC PD1 DC (显然 APC不是平角，所以uuu uuircos APC cos PA, PCuuu uur则等价于PAgPC 0uuiuD1B (,)，所以,)(1,0, 1) (1,)(0,1, 1) (,1APC为钝角等价于 uuu uuurPAgPC n uuri |uur 0 ，PAg PC即(1)() ()(1)(1)2(11)(31) 0,得一3一，一1因此，的取值范围是（ ,1）313. （2008江西文、理）如图，正三棱锥 O ABC的三条侧棱 OA、OB、OC两两垂直， 且长度均为2. E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的平面与侧棱

38、 OA、 OB、OC或其延长线分别相交于 A、BG,已知0Al . 2（1）求证：B1CJ面 OAH；（2）求二面角 O A1B1 C1的大小.13.解：（1）证明：依题设，EF是ABC的中位线,所以 EF / BC ,则EF /平面OBC ,所以EF / BQ。又H是EF的中点，所以 AH EF , 则 AH B1C1。因为 OAL OB, OA 0C ,所以 OA，面 OBC ,则 OA，BiG ,因此B1C1，面OAH 。（2）作 ON，AB 于 N ,连 C1N。因为OC1，平面OA1B1 ,根据三垂线定理知， C1N A1B1,ONC1就是二面角O AB1 &的平面角。BB1作EM，

39、OBi于M ,则EM / OA,则M是OB的中点，则EM OM 1。3,5设OBi x,由阻空得，上3,解得x 3, MB1 EM x 12在 Rt OA1B1 中，AB1 JOA12 OB12 3J5,则，ONOA1 OB1、2AB1OC .所以 tan ONC1 1 75,故二面角 O A1B1 C1 为 arctan y/5。ON解法二：（1）以直线OA OC、OB分别为x、v、z轴，建立空间直角坐标系，O xyz-1 1A(2,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0), E(1,0,1),F(1,1,0),H(1,2，w)LULT1 1 uuur1 1 uuur所以 AH (

40、1,-,-),OH (1-,-), BC (0,2, 2)2 22 2LULT UUITUUJLT UUUT所以 AH BC 0,OH BC 0所以BC 平面OAHz由 EF / BC 得 BG / BC ,故：BQ 平面 OAH(2)由已知 A(3,0,0),设 B1(0,0, z)2UULT1LULT则 A1E( -,0,1), EB1( 1,0, z 1)UULTULUrLULTULUT由A1E与EB1共线得：存在 R有A1EEB1得12z 31 (z 1)B(0,0,3)同理：C1(0,3,0)luuin3uuht3AB1 (二,0,3), AC1(二,3,0)2 2r则令x 2得y

41、LT八(2,1,1).LT urcos n1 ,n2设n1(为，丫1,4)是平面A1B1cl的一个法向量x 1iu又n2 (0,1,0)是平面0Al B的一个法量164 116所以二面角的大小为accos66ABCD 中，AP=BQ=b0b1), D14. （2008辽宁文）如图，在棱长为 1的正方体 ABCD 截面 PQEB A D ,截面 PQGH AD .（I）证明：平面 PQE林口平面PQGH：相垂直；(n)证明：截面 PQE利截面PQG画积之和是定值， 并求出这个值；41(出)若b ,求DE与平面PQEFf成角的正弦值. 214.本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系,解三角形等基

42、础知识，考查空间想象能12分.力与逻辑思维能力.满分 解法一：AD A D , AD(I)证明：在正方体中， 又由已知可得PF / A D , PH / AD 所以 PH PF , PH 所以PH 平面PQEF .所以平面PQEE和平面PQGH互相垂直. (n)证明：由(I)知PF J2AP, PH J2PA，又截面PQE两截面PQGHB是矩形，且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH?积之和是(J2AP J2PA) PQ J2,是定值.(出)解：设AD交PF于点N ,连结EN ,因为所以AD 平面 PQEF ,/D EN为D E与平面PQEF所成的角.因为可知1b ,所以 P, Q, 2D

43、 N3-2 , D E4E, F分别为AA, BB , BC, AD的中点.8分3.2所以 sin/ D EN12分432解法二：以D为原点，射线xyz.由已知得DADFDCDD分另1J为x, y, z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D1 b,故A(1Q,0), A (1,0,1), D(0,0Q), D (0,0,1),P(1Q, b), Q(1,1, b), E(1 b,1,0),F(1(I) uur PQ uuur PH uuuu ADb,0Q), G(b,1,1), H(b,0,1).证明：在所建立的坐标系中，可得 uur(0,1,0) PF ( b,0, b),(b 1,0,1 b

44、), uuuu(1,0,1),AD( 1,0,uuuu uuur 因为AD gPQ uuuu uuur 因为ADgPQ uuuu uuuu 因为AD gA Duuuu uur 0,AD gPE uuuu uuu 0,ADgPHuuuu0 ,所以A D1)0,0,所以所以 uuur AD ,uuuuAD是平面PQEE勺法向量.uuuuAD是平面PQGH勺法向量.xzZCB*D J :廿一 F-E-G所以平面 PQE舜口平面PQGH：相垂直.uuiruuir(n)证明：因为EF (0, 1,0),所以EF /4分，uuu uuuu uuuu uuur uuuPQ, EF = PQ ,又 PF PQ

45、 ,所以 PQEF为矩形，同理PQGH;矩形.uuLir在所建立的坐标系中可求得PHuuur uuuu _ uuur所以PH PF J2,又PQ_ uuuu向1 b),|PF1,V2b,所以截面PQE侨口截面PQG画积之和为 J2 ,是定值. uuuu(出)解：由(I)知 AD ( 1,0,1)是平面PQEF的法向量.由P为AA中点可知，Q, E, F分别为BB , BC , AD的中点.8分1 uuuu所以 E -,1,0 , D E 21,1, 1 ,因此DE与平面PQEF所成角的正弦值等于2| cosuuur uuuuAD ,D E.2212分AP=BQ=b0b1),15. (2008辽

46、宁理)如图，在棱长为1的正方体 ABCD ABC D中, 截面 PQER A D ,截面 PQGH AD .(I)证明：平面 PQE的平面PQGH：相垂直；(n)证明：截面 PQE两截面PQG面积之和是定值，并求出这个值；(出)若D E与平面PQE所成的角为45,求D E与平面PQG版成角的正弦值.15.本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分.解法一：(I)证明：在正方体中，AD AD, AD AB,又由已知可得PF / A D , PH / AD , PQ / AB ,所以 PH PF , PH PQ ,所以PH 平面PQEF .所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直. 4分 (n)证明：由(i)知PF J2aP, PH J2pA，又截面PQE两截面PQGHB是矩形，且PQ=1,所以截面PQEF和