工程数学作业2答案

1、工程数学作业（第二次）（满分100分）（一）单项选择题（每小题X12x2L用消元法得X2第3章2分，共16分）线性方程组4x3X310的解X1x2 为(C ) .A. 1,0, 2C. 11,2,X3B.2.线性方程组A.有无穷多解13.向量组 0 ,0A. 3B. 24.设向量组为A.5.A.C.2X1XiB.D.X37,2, 211, 2, 21 ,2 B.2x23x23x3X33X3(B ) .有唯一解C. 4C. 无解 D.只有零解的秩为D. 50110,30,411111013 C.1 :,2 ,4D.则（B ）是极大无关组.22 ,A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,

2、1若这个方程组无解，则（D）.秩（A） 秩（A） 秩（A）秩（A）B.D.秩（A）秩（A）秩（A）秩（A）6 .若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A.可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解7 .以下结论正确的是（D ）A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解8 .方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D.齐次线性方程组一定有解&若向量组1 , 2, s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出.A.至少有一个向量B.没有一个向量C. 至多有一个向量D.任何一个向

3、量9 .设A, B为n阶矩阵,既是A又是B的特征值， X既是A又是B的属于的特征向量,则结论（）成立.A,是AB的特征值B , 是A+B的特征值C,是A B的特征值D. x是A+B的属于 的特征向量10.设A,A. ABB, P为n阶矩阵，若等式（CBA B. （AB） AB（二）填空题（每小题2分，共16分）1 时,齐次线性方程组2 .向量组0,0,0, 23 .向量组 1,2,3 , 1,2,0 ,1,1,1,0,04.设齐次线性方程组1X12X2程组有 无穷多 解,且系数列向量）成立，则称A和B相似.PAP1 B D.PAPXiX2XiX2线性相关5.向量组 1,0,20,1,6.向量组

4、s的秩与矩阵7.设线性方程组 AX向量有2 个.&设线性方程组 AX则AX b的通解为X 00 有非零解.00,0,0的秩是33X30的系数行列式3是线性相关的.0,0的极大线性无关组是的秩相同0中有5个未知量，且秩（A）3,则其基础解系中线性无关的解b有解，X0是它的一个特解，且 k X1 k2X2 .AX0的基础解系为X X”1 ,219 .若是A的特征值，则 是方程的根.10 .若矩阵A满足 A 1 A ，则称A为正交矩阵.（三）解答题（第1小题9分，其余每小题1.用消元法解线性方程组11分）解:X1 3x1 2x13x28x22x3X13r4 r12r41r411 4X24x2

5、X34X3X45x4X319X43x41223421501248181213124463r1 r22” 口r11-33 342r4 15r4Q %1803r25 r2r1r13r4192319234819r31813方程组解为7278391012X1X2X342151148189026124464330001300013X432 .设有线性方程组解:为何值时,1方程组有唯一解或有无穷多解r2r3r3(2)(1(1(1)(12时,1 时，R(A)R(A)R(A)R(A)23,方程组有唯一解3 .判断向量 能否由向量组1 ,2 ：，3线性表出，若能，写出种表出方式.其中823537567, 11,

6、 20 ,3310321解：向量能否由向量组1 , 2,3线性表出，当且仅当方程组1X12 X23X3有解23581037这里A1 , 2 , 3,7150633700103104111732110000571R(A) R(A)方程组无解不能由向量 1,2, 3线性表出4 .计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关1311173912, 28, 30 ,46393341336131 11311173 90112解：1, 2, 3 , 4280600018393 300004133 600001 ,方程组有无穷多解该向量组线性相关5 .求齐次线性方程组X13X2X32x405X1X

7、22x33X40X111X22x35x403x15x24x40的一个基础解系.解:153112235121 33r1410314132732 114123r2 r410014514311125014370003504014310000515112 r3r11二3 251一2141 010 -100143121r13P314321143340 1012010142142140 003000100010 00000000000令X3k1X4k2这里k1，k2为任意常数，得方程组通解51431401令X31 ,得基础解系5X1X314方程组的一般解为X23 X314 3X401280 01-27 o

8、 O 9-72 0 04O 1 o O 1 21 o o O 4X41-2 1-2 r2r3Q(33 5-14r2 b X - 7 2 7-91-711282856X1X215230142701427028414方程组一般解为X15x22x33x4113X1X24X32x45X19x24x4175X13x26X3X4115231131 231425r1 r35rl r4求下列线性方程组的全部解.解:1712120971701一214 27 ,1 ,/71x1k1k211192921x211112k1女22k1卜2x3721 7220k110x40k2017 .试证：任一4维向量a1，a2,a3

9、,a4都可由向量组1111011110，20，31，4 10001线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式.10000100证明,12132/43c00100001任一 4维向量可唯一表示为aia2a3a1a2a3a4a1 1a2 (1)a3 ( 32) a4( 43)a4a2 )(a2a3 ) 2(a3 a4 )3 a4&试证：线性方程组有解时, 有零解.它有唯一解的充分必要条件相应的齐次线性方程组只证明：设AX B为含n个未知量的线性方程组该方程组有解，即 R(A) R(A) n从而AX B有唯一解当且仅当 R(A) nR(A) n而相应齐次线性方程组 AX 0只有零解的充分必要条件是AXB有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX 0只有零解9.设是可逆矩阵A的特征值，且0,试证：工是矩阵A的特征值.证明:是可逆矩阵A的特征值 存在向量，使AA 1() A 1(A 1A) A 1(A )1一 1 一即一矩阵A的特征值型.10.用配方法将二次型 f x12 x22 x32x1 x2 2x2 x42X2X3 2X3X4化为标准解:f(x1x2 )2x3