电路李裕能第10章拉普拉斯变换及网络函数讲解

1、第10章 拉普拉斯变换及网络函数本章的主要内容有：拉普拉斯变换的基本概念，拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系；拉普拉斯变换的基本性质；拉普拉斯反变换；电路定律的运算形式，运算电路，应用拉普拉斯变换分析线性电路中的过渡过程； 网络函数的定义及其性质， 复频率平面及网络函数的零点与极点；极点、零点与冲激响应，极点、零点与频率响应 ；拉普拉斯变换与正弦稳态相量 法之间的对应关系。10.1 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系概述一一求解动态电路的两种方法比较经典法 在第九章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的动态过程，其要点是运用数学方法，列写换 路后电路的微分方程、解微分方程、由电路的初始条件确

2、定积分常数。这种方法也称为经典法。时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。但是运用时域分析法分析高阶电路时就比较麻烦：首先，将描 述储能元件电压、电流关系的一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；其次，求解高阶微分方程的特 征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积分常数相当麻烦。另外，当电路中有冲激电源或者冲激响 应时，时域分析法在确定初始条件时也比较困难。复频域分析法复频域分析法的要点是将时域电路转换成运算模型，正如在正弦稳态相量法分析稳态电路时将时域电 路转化成相量模型，将描述动态电路的微分方程，变换成为相应的代数方程，将求解微分方程的全解转化成求解代数方

3、 程，由代数方程的解对应找出原微分方程的解。这种方法的优点在于将描述动态过程时域电路转换成为复频域形式的运算电路，由运算电路形成代数方程，它既不需 要列写电路的微分方程；也不需要由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为积分变换法。10.1.1 拉普拉斯变换1、由傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换都是积分变换，时域函数f（ t）的傅里叶变换为尸叮口）在无限区间内必须满足绝对可积，即 d t f （ t ）存在，其傅里叶变换才能 要使上式的积分收敛，函数 确定，显然这是 傅里叶变换的局限性。电路中某些常见的函数不能直接应用傅里叶变换，因为在通常情况下，如果当 t趋向于无限大时，函

4、数f （ t ）的幅度不衰减，则上述积分不收敛，所以它就不存在傅里叶变换。为了克服这一困难，可以将时域函 数f（ t）乘以一已一八ef（ t）f（ t） 趋近于零，从而使积分收敛。t个衰减系数，其中为正实数，当趋向于正无限大时，的傅里叶变换为 二产C 0 + j）= 一F （ o+jm ）匕通 tdG相应的傅里叶反变换为J p + j M = S令，则上式称为双边拉普拉斯正变换。在电路理论中，通常把换路瞬间定为t = 0 ,着重研究t00时电路中的响应。如果用函数f ( t )表示换路之后电路中的激励或响应，我们对时间段 -8 0 -之间f ( t)是什么内容并不关心，也就是说，当t <

5、0时f ( t)不进行计算，将f ( t)定义在t00区间。这样，可以应用数学上的单边拉普拉斯变换分析动态电路。2、拉普拉斯变换本书只讨论单边拉普拉斯正变换，故将它简称为拉普拉斯变换或称拉氏变换。即S =0 4- j O是一个复数，称之为复频率。f ( t)是以时间t为自变量的实函数，称之为原函数F( s )是以复数s为自变量的复函数，称之为f ( t)的象函数|s +由于，故d 3= d s / jL f ( t)表示求f ( t)的象函数，即对f ( t)进行拉普拉斯正变换。当3 = 00时，s = (T-j °°；当3 = 00时，s = <t+ j °

6、;°O将这些关系代入上式F (s)不73n产(S)称为拉普拉斯反变换。原函数与象函数之间存在一一对应的关系，这种对应在数学中已经证明都是唯一的的象函数。t)= £ (t) f ( 求单位阶跃函数 10-1例解 (力 |= f e 4tdt -fl 1-I 1 - erit dt - - e - -°-§ & s ms)解 =n s(i)tdt=IL的象函数。求单位冲激函数例10-2求指数函数的象函数。例 10-34、一些较常见函数的拉普拉斯变换对原函数八门黑函数)原函数二门黑函数F($ )f cn1sAAsT1£祥S为正整数)15(0i

7、父9e- wtii- La5 + d5(5 + Oi)fe-"11(1-3(s +s斗"sJ +才s2 +®2e at smw t用e at coswfa(s + dp + 3(s+ 0)* + 75 Tm 歹+ m cos 卡cos(tJf + w)s - cos 夕=sin/E + 3sa +疗"(t)f ( t均应理解为f ( t )区域内有定义，故本表中的原函数。0t单边拉普拉斯变换在10.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有很多重要性质，本节只介绍一些常用的性质，利用这些性质可以帮助求得一些复杂的原函数的象函数 或者使原函数的微分方程变换为

8、象函数的代数方程。运用积分变换法分析线性电路的动态过程，其要点是将描述动态电路的原函数的微分方程变换成为相应的象函数的代数 方程，然后求解代数方程，得到响应的象函数。最后由响应的象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。因此， 在运用积分变换法分析线性电路的过渡过程中，拉普拉斯反变换显得尤为重要。拉普拉斯反变换的方法有：1、由定义式计算在本章第一节里，已经讨论过拉普拉斯反变换的定义式/(t)I F (s) estds-L-y (s)根据定义式，可以将象函数F (s)变换成为原函数f ( t )。但是上述积分是复变函数的积分，不便于直接求解，因而一 般不采用定义式来求原函数。2、直接查表在本章

9、第一节里，已经将一些较常用的函数的拉普拉斯变换式列入表9- 1之中，可供随时查阅。更为复杂的函数变换式还可在数学手册中查阅。3、部分分式法直接查表来确定某些象函数的原函数，当然十分方便、快捷。然而它只能查出一些简单的象函数的原函数，如果象函 数的表示式比较复杂，则难于直接查出它的原函数。部分分式法的作用，就是将比较复杂的象函数分解成为较为简单的 部分分式，然后再查表求出原函数。尸(E)一当 _ ,-1 +甬5-+4/设象函数为巴 b/十瓦尸十十4(s )、F( s )都是复变量s的多项式，m、n是正整数。 F上式中21 ( s ) = 0 只含有单根 Fm < ,且n (1 )当 2(

10、s ) = 0 的单根分别为p、p、)为真分式。如果F、p,它们可以是实数，(< 当mn时，Fsn2i2也可以是复数。F (s) =1-十十十-Y -则F (s)可以展开为下列形式玛 S -pL S-piS -pn 仁Pi其中k、k、k是待定系数。为了求出k,用(s - p乘以上式的两边，得到)i in21 .-V -pi) ( 2 + &-”的 SR从而得出上Twc).k1cp科+岭祥亦+0辞, j-i5s + 12s(s2 + 5s + 6)F ( s )=的原函数f ( t )求象函数。例10-8 2 +5s + 6 ), F ( s ) = 0 的根为：p = 0p =

11、- 2 ( s ) = s (s( s )=5s + 12, F、F解211 22 p = - 3 。于是将 象函数F ( s )分解为部分分式35s+12、 5s +12F( s)=£«'+"+6£(S十2)(二十习ki- (s-pi)FCs) I. =-口):二):一+ 2)(s+ 3)5s+ 122)£s+2)(£ + 3)广(力工T¥(G-k送ht +*E4P求出原函数一- '此外，在式(10-6)中，也正因为它的分子分母都等于零，还可以用罗比塔法则来计算待定系数。将分代入。即s =p子分母分别对s取

12、导数，然后再用月十 (后一巧-其心舒同理可以求得待定系数k、k、ko其中n32 1F式R)|这种求待定系数的方法称为分解定理。由分解定理求得系数k、k、k、k之后，再求出原函n321数f ( t )5工 + 12s(s2 + 5s + 6)F ( s )=的原函数f ( t )。用分解定理求象函数例 10-9解 y1(£)= 5£+ 1L 况")=£©*至+。,后(£)=0 的根沟* Pl = 0x 3 p3= _ Si 用() = 1 % 尸(中)=Z 尸i ( Nm ) = - 3口 尸;I s) =3sa+10s+6 ?玲(P】

13、)=& fCPa>= - 3*玛'(p3)一工可以得出=12/6=2= 2J(- 2) = -1-373-1求出原函数一二 ".一sJ -F 2s +5F ( s )=的原函数 f ( t )。仞ij 10-10 求象函数2 + 2s + 5 , F ( s ) = 0的根为：p ( s ) = s ( s ) = s , F =- 1 + j 2 = a + jB、 F 解1212 p分解为部分分式F ( s )象函数。于是将j B - = a = - 1 - j 2kk尸(£ ) = -J + 5s +1 - j2=十1+j2= (SH- 1 -j

14、 2)5=P1O + 1-j2)(s + 1 + j2)5= - 1+j-0 5 + j 0.25- 0.559/2657° |%|/口=P=(s + 1 + j 2 )噌(s+Vj2)(s+1 + j2)-0.5 *j 0.25-0.55926.57°- |kJ / - 6(s ) = 0 的根p、p是共轲复数；待定系数k、k由以上计算可以看出，F也是共轲复数。原函数21212=口至。/6田 JTf t + 0 55ee。559b.5)一户篦田= 0 550e 1 - 2 cost 2t+ 2.57°；=1 IIS e l cos( 21 + 方.57吟=2 |

15、kL| eatcos(£ rt 4)(s ) = 0的根是复数，就必然会有成对的共钝复根。F由此可见，凡是求出 入 二故若有共轲复根,-Of-7© S - & + j邙 £-J?3卜i=g -细- jfL-h4x = I用扁=s&+/产1_所押=kk日/© = 2卜卜淀&十8) +月户十十口/"只要计算出待定系数k,就可以根据上式求出它的原函数。中间繁琐的数学推导过程可以省去。i 或直接用(w、-&r 十 gP(s -播y + co” (自啕+丁。)中心再，(4加 + 均' O. CO*5(s 史)+ c

16、oAea cos sl + (j4cl+ £) sin co/配方的方法，中有.，但有重根 (2)当m<n有重根，部分分式的展开式将有所不同，下面通过一个例题来说明其处理方法。(s ) = 0F3d如果 2(s + 1)2(s + 2)F ( s )= 的原函数f ( t )10-11 求象函数例解设/=UK：；：(s +1) (s + 2) (s +1)仍然按照前面的计算方法求得 kk、 系数21+ 11s + 23s3+11s+11ki3sa +115 + 11k不能用上述方法求。将3(£十)*(S十2)(£十(g十2)2得出(S + 1 )的两边各乘以

17、”表/:; ' '"小枭5】通(6s+11)(5+ 2)-(3 + Ils+11)2(s+l)(s4 2)- (s + 1)上式两边对s求导(6s + ll)(s + 2)-(3sa+lk + U)令 s = -1(s + 2)于是可以求出原函数= 3fe h+ 十 2&t?+ -(s + 1)2 S +1£-2? +2S1 +5f ( t )的原函数F ( s )=求象函数10-12例s -2十 1)§ - 2(什以s - 2 -(3-2),“)二1因3) 率2一渣工于是可以求出原函数-1' L 1 ' _ .F=J .

18、.+ 人"% 0 - Pi(品尹 I)0 f故若分母具有重根，则展开式为(3)当 m>n,(s )除以F( s ) F(s)=时，象函数当m >n为假分式。首先可以用代数中讲述的除法，将F 21将假分式化为真分式,科 _ s3-f6s3+15s+11然后再将真分式分解成部分分式，最终求出原函数。二二 '''F ( s )=的原函数f ( t )求象函数。例9-13 ( s )嘉的次数高于分母F( s )嘉的次数，先将F( s )除以F( s )F4s十$的分子解 由于象函数F ( s ) 2121得s, + 5s + 64什5F(s ) =s+1J

19、 + 6抬)=1+3 =如_ + %G ( s )=展开为部分分式将余式$其待定系数为4s+ 5ki=( s + 2)(s十 2)(5+3)4s + 5超=(£.)(s + 2)(s + 3)3i+ 十-s + 2 s于是可以求出原函数 . -'J-：,，厂:L一/一 f二二10.4拉普拉斯变换在线性电路分析计算中的应用10.4.1 电路元件特性方程的复频域形式1、电阻元件电阻元件上电流和电压的时域关系为id) Rl(s) R011 1O0 k I十口。)-十 U(O图1CL5电阻的时域电踣 E110-6电阳W复领域电踣9 =£Rft”U (s ) =Rl(s)两边

20、取拉普拉斯变换 u( t ) = R i ( t )电阻元件上电流和电压的复频域关欧姆定律的象函数形式。电阻元件的复频域等效电路如图所示，又称为电阻的运算电路。2、电感元件电感阻元件上电流和电压的时域关系为U(SJMs) SL Li(O-)上产Y图1口一7电感的时威电路(a)!E10-8电感的曼频域电踏Ife)u)(0 u ( t ) = L两边取拉普拉斯变换U(s ) = s L I ( s ) - L -电感元件上电流和电压的复频域关系sL称为电感元件的复频域感抗(也称为电感的运算阻抗表示电感元件在换路前瞬(0 - ) ) F间的电流值)附加电压源，反映了电感初始电流对电路的影响(0 l

21、r -串联复频域等效电路如图(3)=LU 心)+3 sL31 / s L称为电感元件的复频域感纳(也称为电感的运算导纳)/ s 附加电流源，反映了电感初始电流对电路的影响 (01-画出并联复频域等效电路如图所示。3、电容元件电容元件上电流和电压的时域关系为fa)图1 口4电容的时域电踣H 10-10电容的复领城电路)I(s ) = s C U ( s ) - C u ( 0两边取拉普拉斯变换(t ) = C -电容元件上电流和电压的复频域关系)表示电容元件在换路前)u ( 0(也称为电容的运算导纳s C称为电容元件的复频域容纳 -)附加电流源反映了电容初始电压对电路的影响C u ( 0 瞬间的

22、电压值-画出并联复频域等效电路如图所示U(5)= I(S ) +scs1 / sc称为电容元件的复频域容抗（也称为电容的运算阻抗）/ s 附加电压源反映了电容初始电压对电路的影响u （ 0-画出串联复频域等效电路如图所示。小结：将电路中的负载电阻 R、电感L、电容C都用相应的复频域等效电路表示；电路中的电源一电压源、电流源取拉普拉斯变换后的象函数；各待求量一一电压、电流用象函数表示，就构成了原电路 的复频域等效电路（即运算电路）。试画出图所示电路的等效运算电路。10-14 例4-时把开关S合上，分别画出运算电路。补充 图（a）、（b）、（c）所示电路原已达稳态,KVL 43_）=10 /（0_

23、）= 5A阳 0.）+1J（O.） = 2AKCL£L）=a（L）-皿）=3A又有陶。）十k（oj = 6匚;% （。-） = G七 &）得 人（。）=-其 6 =x 6 = 4Vqg +c33zjc （0 ） = x 6 = -x 6 = 2V乌G十13运算电路如图所示4电路如图所示（b）（c）电路如图所示（取同名端” ”为极性端）（取同名端” ”为极性端）善）二后£/式£）-£用（0_）则相应的象函数表示为1'电路定律的复频域形式10.4.21、基尔霍夫电流定律的复频域形式&(。_) =£ (0_)=升+=2A,则，

24、副边电压为设有耦合处原边电压注意运算电路如图所示在电路中，任一节点任何时刻电流的代数和恒等于零，用时域形式表示为£工£31=0=0 两边取拉普拉斯变 在电路中，任一节点任何时刻电流象函数的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫电流定律的复频域形式。2、 基尔霍夫电压定律的复频域形式在电路中，任一回路任何时刻电压的代数和恒等于零，用时域形式表示为二'.日、二=0= 0两边取拉普拉斯变换在电路中，任一回路任何时刻电压象函数的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫电压定律的复频域形式。由基尔霍夫定律推导出的电路计算方法(节点法、回路法等)和电路定理(叠加定理、戴维南定理等)都适用于复频域

25、分析法的计算。用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程10.4.3 .利用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程的方法，称为复频域分析法，习惯上称为运算法。其主要步骤如下：(1)根据换路前瞬间t = 0- 电路的工作状态，计算出电感电流i L( 0-) 和电容电压uc( 0-) 的值,以便确定电感元件的附加电源 L i L( 0-)和电容元件的附加电源 uc( 0- ) / s ;(2)按照换路后的接线方式画出运算电路，正确标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，各待求量用象函数表示；(3)选择适当的方法(支路法、节点法、回路法等)列写运算电路的方程；(4)求解上述方程，计算出响应的象函数；(

26、5)运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。=R = 1 Q, C = 1 F,L = 1 H,E = 10 V。R 所示电路中，知 例 10-15 图 10-13(a) 21 求开关 S闭合之后流过开关的电流 S( t ) 0图10-13 例10-15 电路(0)和电容电压U( 0 )的值)计算电感电流解(11- Lcj 式 Q.)-E/(RL+Ra)=10/(l + 1 ) = 514)O.)=R2l( Q) = 1X5=5 - - l电容元件的附加电源电感元件的附加电源L ( 0) = 1 X5 = 5( V )(2)按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象

27、函数表示，待求量用象函数表示，如图 10-13(b)所示；21的电压方(s )、I( s )的绕行方I3)选择回路电流法求解运算电路。如图所示，标出两个回路电流(程为2、1向；回路(Ri + sL)h(s)- - 45(4)求解上述方程，计算出响应的象函数1(£)=( 12 +5)/(R1 + sL)=( 4S)/(1 + S) ss=5$ + 1Qbis>( - ”( - )-5 E SC5s + 10I式 s)-IiCs)+ h(s)- + 5解上述方程得式2+1)(5)运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数L 一 + 10Is C s )=1)5s+ Wki = ss(s

28、+1)lr lr.+ 5 = 11 + 5S £ -H5s+10=1Q k3=(s+ 1)5(S+ 1)10 b(s)= -5s -H140 V=R = 200 Q, R = 400 Q, U = 50 V , R 所示电路中，已知 10-14 (a) 例 9-16 图 1312 UL = 2 H o求开关S闭合之后电压。 般由2电路9-16例9-14图-,L(U)电感电流的值 解式叮5 心 + Ka)-40ZC2U0+ 200) = 0 1 A电感元件的附加电源L/l( Q) = 2X0 1 = 0.2按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示

29、，待求量用象函数表示，如图10-14(b)所示。选择节点电压法求解运算电路。如图所示，选择 b为参考点，其节点/ + 式 £)=尺口nW电压方程为.代入元件参数，求解上述方程，计算出响应的象函数5。(- + +- )U加功-200400 2s200 2s20UHQ=解得运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数 】 ' . .I',.- x ''例 10-17 图 9-15(a) 所示电路中,已知 U = 6V , R = 2.5 Q, L = 6.5 m H , C = 0.3 “F,电感线圈原边与副边的变比为 1:70 ,电路原已处于稳定状态。求开关 S

30、断开后a、b处的最高电压。图10-15 例10-17 电路图)的值L( 0电感电流 解t -L( 0- ) = U / R = 6 / 2.5 = 2.4 At电感元件的附加电源-3 - 3 V2.4 = 15.6 X 10 10 X L( 0- ) = 6.5 义L按照换路后的接线方式画出运算电路如图所示。回路电流法列回路电压方程为l(s)(R-FsL-F )= - 4- 15 6 X10-5 SC 3代入元件参数，求解上述方程，计算出I ( s ) 的象函数4.53x1054 l,gxlO-(5 _ 酊 电''O.VSxWs + l -' s-p2pi = - 19

31、2.3+j 2.2fiX W +用=一 192.3-j 2.26K104ki= 1.2幻三 LI Z0c(t)的原函数 i / (0 -Z.,1 1( s) -2.4 e-lsl2：3tcos 2.26X 104 t上上 u=L =-352 Hl亚式疝226 乂 1卜仁力如oe 2 26X1041电感电压：.二d点 di 当=0 时，电感电压有极大值。由此计算出极大值出现的时间-5 s 10 t = 6.94 Xuair= . 352屋山3心如" 血之非XI" Xd.94XW-s 电感电压的极大值为-.a、b处的最高电压”妙弛小-弘7 3找7口W小结:1、运算法与相量法用运

32、算法求解动态电路的过渡过程与用相量法求解正弦稳态电路有相似的思想。比较如下:相量法时域正瞬惑电路匚空数高 除微分方程 响应求解:高勒 敲分方程在正 整励下的特 解一求施难电霭一城自的变量、海数为系数的变危一翎量11W斓允佛一1f超阻旃"用支路去回跑电导纳1法|节点法J照i 维南定理，叠加 定理等方法运算法时域动意电蹿数字相粤： 高阶方程求解一任箸 种激励 解,求解唯1=>运篁电跄孑悭=建立甥学，翎丽度函教匚二 时域表达式电源,羽函数以象函懑为受：变量一.象函数量的他方程 用支跻法节点元件一*运壁抗送回蹄法就维运篁导纳南直加等方法；附加电源J用相量法求解正弦稳态电路时，将时域正弦

33、量转换成相量，或将响应相量转换成时域正弦量都较简单,而且相量的值有明确的意义：有效值和初相位。所以计算出响应的相量后，一般不必写出时域表达式，而 用运算法求解动态电路的过渡过程时，必须要将响应象函数进行拉普拉斯变换反变换转换成时域表达式， 拉普拉斯反变换是比较麻烦的。2、拉普拉斯变换的线性电路过渡过程分析主要有三大步。第一步：由换路前的稳态（直流、。若是直流稳态，电感相当于短路，电容相当于断路，若是电路求出正弦交流等 Uc或“巩乜、时求出后，表达成时域三角函数形式，正弦稳态，再取先用相量法求解。二口第二步：作出运算电路模型。注意要用换路后的结构，电源函数要进行拉普拉斯变换、元件用运算阻抗或运算

34、导纳表示，储能元件的附加电源的值和方向不能忘，第三步：将求出的响应象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时域表达式。典型例题.：, i：+i ：.。及所示电路：求（a）如图1例1Q+ /Q)=1F 4>9加而1H1Q(b)小）=1A3 1 + 2作电路，如图（b）所示，得 解 小缸）=-0.5%（0_）十1=2VZ之0十运算电路模型如图（c）由结点法1 1 1才产=*卜&匕+055/©= 平+国十1） G十I尸十、叵上142鼠=-41i言+ 1 £ + 1 J我 5+1 +,_ 2(2/斗兔+分 _9(s-D、2-2p?-b3g+3) IQ =- 1+m2 21

35、1+j柩y - 3+乃/十3_4+jS72一 (T+j总+ 1)(-l+J四+ 1 + J点)4=Z35.3d2七，渔/-35一到*2f + 屉总画石+ 35. f)%)V(£)-口式£) - O.jUtj(i) = 0 5u“E)-+福+ 35.30) 呐式T）的作用，相当于开关动作。及注意% =皿）+50-1） i > OJh©O和时，电流，求 V在图示电路中，电源电压 2例IQ上无储能,电+纪北十超。二q国5C431+屋田+用（"上）一&, *C。+ 工£ + £ l+2s + l （£ + 1）。 sC

36、iL（0 = M .可）+（1中”* 1）As2LCUsMRLC?十匚&十R&- s+以&3旭-Q-l）-30-0/咏以同7=S Q）+ 白 Q 1）+（£- 2加一 .虱。+Q - 3M0t .式I - 1）A%=%)作用下的匕S及。的，然后此题也可以用叠加先求出在 通过时间延迟再得到<« =效-1祚用下的钝口近距6 T” D。在网络函数的定义及其性质10.510.5.1 网络函数1、网络函数的定义对于单输入电路，在零状态条件下，响应的象函数 R(s)与激励的象函数E(s)之比称为网络 即.风机器2、基本要点而不是(1)H(s)是在动态元件初

37、始状态为零的前提下的一个概念；(2)H(s)是响应与激励的象函数之比，时域函数之比；(3)对于同一电路，取不同的响应，其网络函数也不同，所以根据响应与激励是否是同一端 口的象函数，响应和激励是电流象函数还是电压象函数，网络函数可分为驱动点函数和转移函数，驱动点 函数又分为驱动点阻抗、驱动点导纳。转移函数又分为转移阻抗、转移导纳、转移电压比和转移电流比。例 10-18 图 10-16(a) 所示电路中，已知 E=6V , R=6 Q, R = 4 Q, L=0.2 H , C=0.1 F 。21 求响应为的网络函数。2(g)(匕) 图10-16 例10-18 电路解 绘出图10-16(a)所示电

38、路的等效运算电路如图10-16(b)所示。应用网孔电流法，有0 2s+ 6)Ii(s) -6Ia(s)-E(s)-6Ii(s) + ( + +4)L(s)一 口由于响应和激励不是同一对端子上的函数，故称它为转移导纳10.5.2 网络函数的性质网络函数具有以下性质：(1)网络函数H( s )是一个实系数有理分式，它的分子和分母多项式的根为实数或共轲复数(2)网络函数的原函数就是电路的冲激响应。现在来分析网络函数与冲激响应的关系。根据网络函数定义当电路的激励为：e ( t ) =( t )，其象函数E(s ) = 1 ，故有8 IR(s)= H(s)电路的冲激响应, .1 . ' '

39、; 1 ' .' ' .: J - J 1即是说，网络函数的原函数就是电路的冲激响应。(3)在一般情况下，网络函数分母多项式的根就就称之为相应电路复频特性的固有频率。设电路中某一支路电压(电流)的零输入响应象函数，十5力是F2( S ) = 0 的根。其响应为P、其中p、P、n2l" 1)kl" +超/+4】J 上式中的待定系数 k1、k2、kn取决于电路的初始状态；而 p、p、pn取决于电路中21元件的联 接方式和元件参数，它们直接影响着响应的变化规律，所以称它们为电路复频特性的固有频率(或自然频率) 电路中的不同响应均具有相同的固有频率。网络函数

40、的极点就是对应网络响应的固有频率(决定其自由响应的形式)。从解微分方程的角度，任何一个电路的全响应包括自由响应与强迫响应。强迫响应形式决定于激励的形式，自由响应形式由微分方程特 征方程的特征根，也即固有频率决定。若对微分方程两边进行拉普拉斯变换，则可得H(s)=R(s)/E(s) o所以特征方程的特征根即为H(s)的极点。10.6复频率平面及网络函数的极点与零点10.6.1 复频率平面网络函数H(s)的分子和分母都是s的多项式，而s =(r + j 3,称之为复频率。以 s的实部b作为横轴、s的虚部j3作为纵轴构成的坐标平面叫做复频率平面(也称为s平面)。网络函数可以 表示为D(s) 卜西*

41、+ %/4+3十工 一亡1)(5-盯)(5 - % ) - pJ是N( s ) = 0 的根；p是D( s ) = 0p 、z其中，H是一个实常数；z、Z、p、n2021n1的根。10.6.2 网络函数的极点与零点时，N( s ) = 0,网络函数H ( s )等于零，故称z、ZZ、Z、Z、当s分别等于Zn21n12为网络函数的零点。时，D( s ) = 0,网络函数H ( s )变为无限大，故称 p、p、p、p 当s分别等于1n21 p、p为网络函数的极点。n 2在复频率平面上，用“O”表示 H ( s )的零点，用“X”表示 H ( s )的极点，就构成了网络函数 H ( s ) 的零、极

42、点分布图。网络函数的零、极点分布与网络的时域响应和频率响应有密切关系，这些内容将在后 面两节讨论。£ - s - 12s3 -F 2s3 +5sH ( s )=的零、极点，并画出零、极点分布图。10-19 求网络函数 例2 - s - 12 = ( s + 3 ) ( s - 4 ),N ( s ) = 0 的根：s= - 3 , s = 4。 N ( s ) = s 解 21Q(s) - / +2/ +5s=式目中 1J2)G+1 + J2),D(s) - 0 %=1 % = -1+A、的根为9孑=-1 -8i = 口殍=一3.的=4、；有三个极点：有两个零点：。所以网络函数h(s

43、) P2=-1+j2 jPj =-1-j2 。网络函数H(s)的确零点、极点分布图如图、10-17所示。图 10-17 例 10-18 图零点、极点与冲激响应 10.7 .网络函数H(s)的极点在复频率平面上分布的位置与电路的单位冲激响应有着密切的关系。极点在复频率平面上的位置不同，电路的单位冲激响应的波形就不同。当网络函数H(s)的分母具有单根时，其冲激响应为咐二L卬=L黑口=厂_+/_+ W-Pl A %=十的/'十十七其中p、p、 p是D(s)=0 的根。现在依据根的不同情况进行分析：n12(1)网络函数H(s)的极点为负实数分母D(s)=0 的根为负实数,其冲激响应是衰减的指数

44、函数，且极点离坐标原点越远，响应衰 减越快。这种电路是稳定的。(2)网络函数H(s)的极点为正实数分母D(s)=0的根为正实数,其冲激响应是随时间增长的指数函 数，且极点离坐标原点越远，响应增长越快。这种电路是不稳定的。(3)网络函数H(s)的极点为共羯复数且实部为负数时，其冲激响应是衰减的正弦函数，且极点离虚轴 越远，响应衰减越快。这种电路是稳定的。(4)网络函数H(s)的极点为共羯复数且实部为正数时，其冲激响应是增长的正弦函数，且极点离虚轴 越远，响应增长越快。这种电路是不稳定的。(5)网络函数H(s)的极点为共羯复数且实部为零时(极点在虚轴上)，其冲激响应是不衰减的正弦函数(称为等幅度振荡)，且极点离实轴越远，响应的振荡频率越高。根据以上分析，将网络函数H(s)的极点的分布与电路的单位冲激响应的波形画在图10-18中。当电路中的激励为单位冲激函数时，随着时间的增长，单位冲激激励所提供的能量逐渐被电路中的电阻 消耗而减少。也就是说，无源线性网络的单位冲激响应是衰减的函数。所以，一般电路的网络函数的极点 只能分布于复频率平面的左半部区间，