初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案77666

1、初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：21 .二次函数的概念：一般地，形如 y ax bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数a 0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 . 一次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式 2 一1. 二次函数基本形式： y ax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时

2、，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而

3、增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .24. y a x hk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ;保持抛物线y a

4、x2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下:y=ax2A y=ax2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位/ y=a（x-h）2+k向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|个单位y=a(x-h)22 .平移规律在原有函数的基础上 'h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，

5、上加下减” .2四、二次函数y a x h k与yaxbx c的比较从解析式上看,.2k与y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即,22b 4ac b一 ，其中h2a 4a2b , 4ac b一, k 2a 4a六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为bx 一 ,顶点坐标为 2ab 4ac b2,2a 4a当x 2时，y随x的增大而减小;2a当xb-时，y随x的增大而增大;2a22b 4ac b2a ' 4a当x 包时，y有最小值4acb- 2a4a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ,顶点坐标为2ax 2时，y

6、随x的增大而增大；当x2ab-时，y随x的增大而减小；当x -b时，y 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c （ a, b, c 为吊数，a 0）;2 .顶点式：y a（x h）2 k （a, h, k为常数，a 0）；3 .两根式（交点式）：y a（x xj（x x2）（ a 0 , x1 , x2是抛物线与x轴两交点的横坐 标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化八、二次函数的图

7、象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b为0对称轴为 y轴）3.常数项c当c当c当c0时,0时,0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置十、二次函数与一元

8、二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 bx c 0 是二次函数y ax2 bx c 函数值y 0 时的特殊情况图象与x轴的交点个数：2当 b 4ac 0时，图象与x轴交于两点 A Xi , 0 , B X2 , 0 （Xi X2）,其中的2X1, x2是一兀一次万程ax bx c 0 a 0的两根. 当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与X轴没有交点.i' a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .2.抛物线y a

9、x2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 （0, c）;、选择题1.二次函数yA.(2, 11)2.把抛物线y九矿新概念辅导班二次函数对应练习试题4x 7的顶点坐标是B. ( 2, 7)2 .2x向上平移1个单位,.、2A. y 2(x 1) B. y 2(xC. (2, 11)D. (2, 3)得到的抛物线是（八2_21) C. y 2x 2 ，1D. y 2x1,21k3.函数y kx2 k和y （k 0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）x.24.已知二次函数y ax bx c（a 0）的图象如图所不，则下列结论：a,b同号;当x 1和x 3时,函数值相等；4a b 0当y 2

10、时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2ax bx c（a 0）的顶点坐标（-1, -3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的二次方程ax2 bx c 0的两个根分别是x1 1.3和x2A. - 1 .3B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数2axbx c的图象如图所示，则点A.第一象限B.C.第三象限D.第四象限(ac, bc)在(7.方程2x x22的正根的个数为（）xA.0个B.1个C.2 个.8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0)，与 y 轴交于点C,且OC=2则这条抛物线的解析式为A2A. y x2B.

11、 y x x 22C. y x2c 32D. y x x 2 或 y x x二、填空题29 .二次函数y x bx 3的对称轴是x 2,则b 。10 .已知抛物线y=-2 (x+3) 2+5,如果y随x的增大而减小，那么 x的取值范围是 .11 . 一个函数具有下列性质：图象过点(1, 2),当x<0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。12 .抛物线y 2(x 2)2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐 标轴所围成的三角形面积为 。 2213 .二次函数y 2x 4x 1的图象是由y 2x bx c的图象向左平移

12、1个单位，再向 下平移 2 个单位得到的，贝U b= ,c=。14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (兀取3.14).三、解答题:515 .已知二次函数图象的对称轴是x 3 0,图象经过(1,-6)，且与y轴的交点为(0,-).(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y随x的增大而增大？1216 .某种爆竹点燃后，其上升图度h (米)和时间t (秒)符合关系式h vot -gt (0<tw?, 2其中重力加速度g以10米/秒2计算.这

13、种爆竹点燃后以 V0=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.2y x 3与坐标轴的两个交C,抛物线顶点为D.APC : S ACD 5 : 4 的点 P17 .如图，抛物线y x bx c经过直线 点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为 (1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物 售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为4

14、5吨.该 建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加 7.?5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付 厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为 x (元)，该经销店的月利润为 y (元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出 x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间x (分)之间满足函

15、数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (gx<30).(1)当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当 x在什么 范围内时，学生的接受能力逐步减弱？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少?(3)第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图，已知4ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB=AC=20cm,BC=24cr在ABC上截出一矩形零件 DEFG使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上. 问矩形DEFG的最大面积是多少？3、如图,4ABC中,/B=90:AB=6cm,BC=12cm点P从点A开始，沿AB边向点B以 每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始，沿着BC边向点

16、C以每秒2cm的速度移 动.如果P,Q同时出发，问经过几秒钟4PBQ的面积最大 超大面积是多少？4、如图，一位运动员在距篮下 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知 篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式 ；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25米处出手，问： 球出手时，他跳离地面的高度是多少.y10,3.5)5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最

17、大，鸡场的长度应为多少 m?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m?比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x 6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售 量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140 2x(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的销售价x间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？九矿新概念辅导班二次函数专项训练（专题一）二次函数专题复习图像特征与a、b、c、符号的关系0,那么它的图象大1、已知二次函数y ax2 b

18、x c,如图所示，若a 0, c致是 （ABC2、已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则点A.第一象BMB.第二象限C.第三象BMD.第四象限3、已知二次函数y= ax2 + bx+c的图象如下, 则下列结论正确的是（）A ab< 0b bc< 0C a+ b+ c> 0 d a- b+ c< 04、二次函数y=a9+bx+c （aw0）的图象如图所示，则下列结论:a>0;c>0; ?b2-4ac>0,其中正确的个数是（）A. 0个 B. 1个 C. 2个D. 3个c5、二次函数y=a*+bx+c的图像如图1,则点M （b, a）在A.第一

19、象限B.第二象限C第三象限D.第四象限6、二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则（）22A、a 0, b 4ac 0b、a 0, b 4ac 022G a 0, b 4ac 0d、a 0, b 4ac 07、已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、acv 0B、a-b+c> 0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是Xi=-1, X2=58、已知二次函数y=ax2+bx+c （aw 0）的图象如图所示，有下列结论:b2 -4ac>0; abc> 0; 8a+c>0;9a+3b+cv 0其中，正确结论的个数是

20、（）A、1B、2C、3D、4二次函数对应练习试题参考答案1. A 2. C 3. A 4. B 5. D6. B 7. C 8. C二、填空题、9. b 410. XV-3 11.如 y22x 4, y 2x 4等(答案不唯一)12. 113. -8 714. 15三、解答题15. (1)设抛物线的解析式为2y ax bx c,由题思可得b2a a b解得a1 . c 512c 5一，b3,c 一所以 y - x3x -2222(2)x 1 或-5(2)x 31 216. (1)由已知得，15 20t 10 t，解得t1 3,t 2 1当t 3时不合题意，舍去。 2所以当爆竹点燃后1秒离地15

21、米.(2)由题意得，h 5t2 20t = 5(t 2)2 20 ,可知顶点的横坐标t 2,又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升.17. (1)直线 y x3与坐标轴的交点 A (3,0), B (0, 3).则9 3b c 0 b 2解得c 3c 3所以此抛物线解析式为2y x 2x 3 .抛物线的顶点D (1 , 4),与x轴的另-，1八2a 3) :(- 4 4) 5: 4 .化 2.P (4, 5)或 P (2, 5)0 ,此方程无解.综上所述,化简得:* 、 ,.、一212一个交点 C(1, 0).设 P(a, a 2a 3),则(一4 a 2

22、简得a2 2a 3 5当 a2 2a 3>0 时，a2 2a 3 5得a 4,a2当 a2 2a 3v0 时，a2 2a 3 5 即 a2 2a 2满足条件的点的坐标为(4, 5)或(一2, 5).18. (1) 45 260 240 7.5=60 (吨).(2) y (x 100)(45 103 23 232y -x 315x 24000. (3) y3x2 315x 24000-(x 210)9075.444红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.(4)我认为，小静说的不对.理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额 W x(45 260x 7.5)

23、3(x 160)2 19200来说，104当x为160元时，月销售额 W最大.，当x为210元时，月销售额 W不是最大. 小静说的不对.方法二：当月利润最大时， x为210元，此时，月销售额为 17325元；而当x为200 元时，月销售额为18000元. .一17325V 18000, 当月利润最大时，月销售额 W不是最大. 小静说的不对.二次函数应用题训练参考答案1、(1) 00x& 13, 13Vx0 30; (2) 59; (3) 13.2、过 A作 AMLBC于 M,交 DG于 N,则 AM=J202 122 =16cm.设 DE=xcm,S巨形=ycm2,则由 AADGAABC, 故他 DG,即口 DG,故 DG=3(16-x).AM BC 1624233 c3 c y=DG DE(16-x)x=- (x2-16x)=- (x-8)2+96,从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG