圆与学科内知识的综合

1、圆与学科内知识的综合为了体现数学知识之间的相互联系，有利于学生感受数学的整体性，中考试题往往将圆与四边形和相似形以及三角函数等多个知识点进行叠加，从而使问题具有较强的综合性请看下面的例题一、圆与相似相结合图1例1 （2009年丽水市）如图1，已知在等腰ABC中，A=B=30°，过点C作CDAC交AB于点D（1）尺规作图：过A，D，C三点作O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；（3）若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由分析：

2、（1）本题作法不唯一ACD为直角三角形，我们知道直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，故只需作出AD边的垂直平分线即可找到圆心；（2）欲证BC为O的切线，只需证BCO=90°；（3）两相似三角形的对应关系不确定，诱发分类讨论图2解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆. （2）证明：CDAC，ACD=90°AD是O的直径，连结OC，A=B=30°，ACB=120°又OA=OC，ACO=A=30°，BCO=ACBACO =120°30°=90°. BCOC，BC是O的切线（3）存在BCD=ACBACD=120

3、°90°=30°，BCD=B, 即DB=DC又在RtACD中，DC=AD，BD= . 过点D作DP1/ OC，则P1D BCOB，BO=BD+OD=，P1D=×OC=× =. 过点D作DP2AB，则BDP2BCO，BC.二、圆与四边形相结合例2 （2009年德州市）如图3，O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与O交于点 E （1）求AEC的度数； ACDEBO图3l（2）求证：四边形OBEC是菱形 C分析：（1）易判定AOC是等边三角形，从而得AOC60°，再利用圆周角与

4、与圆心角的关系可求AEC（2）欲说明四边形OBEC是菱形，已具备一组邻边相等：OBOC，只需再证明四边形OBEC是平行四边形，即证OCBD，CEOB 解：（1）在AOC中，AC=2， AOOC2， AOC是等边三角形， AOC60° AEC30°（2）l为O的切线，OCl，又BDl， OCBD ABDAOC60° AB为O的直径， AEB为直角三角形，EAB30° EABAECCEOD 四边形OBEC 为平行四边形 又 OBOC2， 四边形OBEC是菱形 三、圆与一元二次方程相结合例3 （2009年梅州市）如图4，矩形ABCD中，AB5，AD3点E是CD

5、上的动点，以AE为直径的O与AB交于点F，过点F作FGBE 于点G（1）当E是CD的中点时： tanEAB的值为_； 证明：FG是O的切线； DEOCBGFA图4（2）试探究：BE能否与O相切?若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由 分析：（1）欲求tanEAB，可转化为求DEA的正切值；（2）欲证FG是O的切线，可考虑连接OF，证明FGOF；（3）与（2）小题切线的判定不同，本小题较难直接判定BE能或不能与O相切，正难则间，可采用倒推法，即先假设BE能与O相切，并以此为条件进行探索，看是否能求出DE的长，并以此作为BE能否与O相切的判定依据ABCyx图10O 解：（1）ABCD，EABD

6、EA 在RtADE中，DEDCAB，tanDEA 在矩形ABCD中，ADBC，ADEBCE，又CEDE， ADEBCE，AEBE，EABEBA， 连OF，则OFOA，OAFOFA，OFAEBA，OFEB， FGBE，FGOF，FG是O的切线 （2）若BE能否与O相切，因AE是O的直径，则AEBE，AEB=30°， 设DEx，则EC5x，由勾股定理得：AE2+EB2AB2，即(9+x)2+(5x)225，整理得x2+5x+90 b24ac2536110，该方程无实数根 点E不存在，BE不能与O相切 四、圆与三角函数相结合例4 （2009年武汉市）如图2，中，ABC=90°，以

7、AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE（1）求证：直线DE是O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tanACO的值CEBAO图5FDH 分析：（1）欲证直线DE是O的切线，需连接OD，证明ODE =90°，由已知ABC=90°，故可通过证明ODEOBE，从而有ODE=ABC=90°；（2）欲求tanACO，需过O作OHAC于H，再求OH、CH的比值 解：（1）连接OD、OE、BDAB为O的直径，CDB=ADB=90°点E是BC的中点，DE=CE=BEOD=OB，OE=OE，ODEOBE ODE=OBE=90°，直线DE是O的切线（2）作OHAC于点H，由（1）知，B