2019年稳恒电流的磁场

1、稳恒电流的磁场教学目的要求1. 理解电流和电流密度，了解电流连续性方程和恒定条件；2. 理解磁场与磁感应强度的概念，掌握毕奥-萨伐尔定律及其应用；3. 理解磁通量的概念，理解恒定磁场的高斯定理，掌握安培环路定理及其应用；4. 理解磁场对运动电荷的作用，理解洛伦兹力的概念，了解带电粒子在磁场中的运动特 点，了解霍尔效应；5. 理解磁场对载流导线和载流线圈的作用，理解安培定律、安培力和磁力矩.6. 了解物质的磁性，理解顺磁质与抗磁质的特点，理解磁化强度与磁化电流；7. 掌握磁场强度，理解有磁介质时的高斯定理，8. 掌握有磁介质时的安培环路定理及其应用；9. 了解铁磁质的磁化特点与磁滞回线.本章内容

2、提要1.恒定电流(1) 电流I它是单位时间内通过某曲面的电荷量.dqdt(2) 电流密度J它的大小等于该点处垂直于电流方向的单位面积的电流，它的方向跟通 过该点的电流方向相同。dldS_(3) 电流和电流密度之间的关系I 二 J d SS2恒定磁场的几个基本概念(1) 恒定磁场 恒定电流所激发的磁场.磁场和电场一样也是一种特殊物质，具有物质的 基本属性.(2) 磁感应强度 是描述磁场性质的物理量.磁场中某点的磁感应强度的大小等于电量为q、速度为u的运动试验电荷通过该点时所受到的最大作用力Fm与乘积qu之比，即Fm q(3) 磁感应线 为形象地描述磁场，可在磁场中画出磁感应线.磁感应线的画法规定

3、为： 磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度的方向相同；通过磁场中某点垂直于磁感应强度方向单位面积上的磁感应线的条数等于该点磁感应强度的大小(4) 磁通量在磁场中通过某一曲面的磁感应线的条数称为通过该面的磁通量.在磁场中任取一个面元dS，设该面元处的磁感应强度为B，则通过面元dS的磁通量dm定义为dm = B dS = BdScos-式中二为B与dS的夹角.通过有限曲面的S的磁通量滋为Brj S-dS 二 BdScosS（5） 磁介质 处在磁场作用下能被磁化并反过来影响磁场的物质.有四种磁介质：抗磁质（Jr < 1），顺磁质（Jr > 1 ），铁磁质（_1 ）,完全抗磁体（J

4、r = 0）.前两种是弱磁 性材料，铁磁质是强磁性材料 .顺磁质的分子磁矩 m不为零，在外磁场中分子磁矩沿外磁场取向排列， 磁介质中的磁场被 加强；抗磁质的分子磁矩 m为零，在外磁场中分子出现附加分子磁矩m，磁介质中的磁场被削弱.铁磁质的相对磁导率非常大，并且不是常数；磁化时存在磁滞现象，形成磁滞回线，具有剩磁效应；铁磁质都有一个特定的温度一一居里点.铁磁质的特性可以由磁畴理论来解释.完全抗磁体在低于临界温度时电阻为零，具有完全抗磁性，即具有迈斯纳效应（6） 磁化强度 实物物质在磁场的作用下内部运动状态的变化称为磁化.磁介质被磁化的 程度用磁化强度 M来描述，定义为磁介质中某点附近单位体积内分

5、子磁矩的矢量和，即二 m iM =V（7） 磁化电流 磁介质磁化后宏观上等效为在磁介质的表面生成了一层磁化电流|s,磁 化电流在空间产生附加磁场 .磁化强度M沿着任一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过 的磁化电流的代数和，即(8)磁场强度为了能够方便地计算磁场分布而引入磁场的辅助物理量,3恒定磁场的两个基本规律毕奥-萨伐尔定律电流元所激发的磁场为% Idr"4 n r3磁场叠加原理Idl r3rnB八Bii =14. 恒定磁场的两个重要定理 恒定磁场的高斯定理通过任一闭合曲面的总磁通量为零.说明磁场是"无源”场，即磁感线是无头无尾的闭合线,恒定磁场的安培环路定理lB d

6、lf' lii利用安培环路定理可以计算出具有对称分布叽I2RB = %nl .说明磁场是个涡旋场，即磁场是非保守力场 电流的磁场例如：真空中无限长直载流导线的磁场真空中载流圆环圆心上的磁场无限长直载流螺线管内（管内真空）的磁场有磁介质时的安培环路定理磁场强度H沿着任一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的传导电流的代数和即H dl 八 liLi5. 磁场对运动电荷或载流导体的作用 磁场对运动电荷的作用磁场对载流导线的作用dF = Idl B电流的单位一一安培的定义：在真空中通以流向相同、大小等量电流的两根截面积可略去的平行长直导线，若二者之间相距1m时，两导线间每单位长度的相互吸引力

7、为2 10 N m ,则每根导线中的电流为 1安培磁场对载流线圈的作用M = m B6.几个关系式B 二 B0 B'对于各向同性的磁介质：M = m HV mf"站B= 'rH = H思考题答题要点1电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？答：电动势2等于端电压加上电流乘以内阻之和，两者在电流为零时才相等2 一电子以速度 u射入磁感应强度为 B的均匀磁场中，电子沿什么方向射入受到的磁场 力最大？沿什么方向射入不受磁场力的作用？答：垂直于磁场方向入射时所受磁场力最大，沿着磁场方向入射时不受磁场力3在下面几种情况下，能否用安培环路定理来求磁感应强度？为什么

8、？有限长载流直导线产生的磁场；圆电流产生的磁场；两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场答：（1）和（2）不能，（3）能.因为安培环路定理的使用必须具备一定的先决条件：在 所取的回路上，各处的磁感应强度必须等值对称，能够作为常量从积分号中提出，即具有较高 的特殊对称性4为什么两根通有大小相等方向相反电流的导线扭在一起能减小杂散磁场？答：因为两根导线的电流大小相等方向相反，扭在一起可以使它们磁场尽可能互相抵消， 从而减小杂散磁场5如思考题5用图所示，假设图中两导线中的电流 I,、12相等，对图中所示的三个闭合线 Li、L2、L3的环路，分别讨论在每个闭合线上各点的磁感应强度B是否相等？为什么？思考题5用

9、图答：都不相等由毕奥-萨伐尔定律可知，在I,、|2外侧各自产生的磁场相互加强，而在I,、I 2内侧各自产生的磁场相互抵消 6在均匀磁场中，载流线圈的取向与其所受磁力矩有何关系？在什么情况下，磁力矩最大？什么情况下磁力矩最小？载流线圈处于稳定平衡时，其取向又如何？答：磁力矩M =m><B， m方向即线圈取向线圈的取向垂直磁场时磁力距最大，平行时 最小.载流线圈处于稳定平衡时，线圈的取向与磁场方向一致7为什么当磁铁靠近电视机的屏幕时会使图像变形？答：磁铁的磁场使扫描电子束受到磁场力作用，从而偏离原来的运动轨迹使图像变形、变色8在一均匀磁场中，有两个面积相等、通有相同电流的线圈，一个是三

10、角形，一个是圆形这两个线圈所受的磁力矩是否相等？所受的最大磁力矩是否相等？所受的磁力的合力是否相 等？两线圈的磁矩是否相等？答：载流线圈在磁场中所受的磁力矩为M二m B，m二IS为线圈的磁矩由此不难判断，两个线圈的面积相等，通过的电流相同，因此磁矩m的大小相同至于两线圈所受的磁力矩M是否相同，取决于磁矩 m与均匀磁场B的方位是否相同一一若两线圈的磁矩m与均匀磁n场B的夹角均为，则所受磁力矩最大且相等 而载流线圈在均匀磁场中所受磁力的合力2恒为零作一半径为r的半球面S ,思考题9用图9如思考题9用图所示，在磁感应强度大小为 B的均匀磁场中, S的边线所在平面的法线方向单位矢量 en与磁感应强度B

11、的夹角 为，则通过半球面 S的磁通量为多少？答：根据恒定磁场的高斯定理JB dS = 0可知，通过半球S面S的磁通量与通过半球底面 （即图中阴影所示平面） 的磁通量大小相等而符号相反，即B dS + n2Bcosj =0，故通过半球面 S的磁通量S2B dS - -nr Bcos：.S15用图所示，已知它们X X X X X思考题11用图10 一对正、负电子从同一位置同时射入一均匀磁场中，如思考题 的速率分别为2 u和u,且都和磁场垂直，试指出它们的偏转方 向，并判断经磁场偏转后哪个电子先回到出发点？答：如思考题11用图所示，正、负电子的速度均满足 u_ B，由洛伦兹力F -q u B可知，速

12、率为2 u的正电子将 作逆时针匀速率圆周运动，而速率为u的负电子则作顺时针匀速率圆周运动.两电子的轨道半径不同， 速率大者、即正电子的 轨道半径大，但两电子的运动周期相同，所以它们将同时回到 出发点.11两种磁介质的磁化与两种电介质的极化有何类似和不同之处？答：如下表所示：电介质磁介质在电场中能与电场发生作用的物质在磁场中能与磁场发生作用的物质产生极化电场P激发附加磁场有无极分子位移极化和有极分子取向极化有顺磁质、抗磁质和铁磁质引入电极化强度和极化电荷引入磁化强度和磁化电流引入的电位移矢量与电介质无关引入的磁场强度矢量与磁介质无关有相对介电常数£r有相对磁导率r电介质的存在减弱了原电

13、场磁介质的存在改变了原磁场12磁化电流与传导电流有何不同之处，又有何相同之处?答：磁化电流激发附加磁场，而传导电流产生外磁场；磁化电流对磁场强度并无贡献，而 传导电流决定磁场强度.不过，磁化电流与传导电流也有相同之处，那就是它们都能影响磁场的分布.13试说明B与H的联系和区别.答：B与H都可以用以描述磁场性质，但H不仅和磁场有关，还与磁介质的磁化强度有关.B是实际存在的物理量，H是为了描述介质中的磁场而引入的辅助物理量14在恒定磁场中，若闭合曲线所包围的面积没有任何电流穿过， 则该曲线上各点的磁感应 强度必为零.在恒定磁场中，若闭合曲线上各点的磁场强度皆为零， 则穿过该曲线所包围面积上 的传导

14、电流代数和必为零.这两种说法对不对？答：虽然闭合曲线所包围的面积没有任何电流穿过，但曲线外部的电流依然会对曲线上各 点的磁感应强度产生影响，因此第一个论述不对.而当闭合曲线上各点的磁场强度皆为零时，磁场强度H沿该闭合回路的环路积分为零，根据有磁介质时的安培环路定理可知穿过该曲线所包围面积上的传导电流代数和必为零，即第二个论述是对的15为什么装指南针的盒子不是用铁，而是用胶木等材料做成的？答：如果使用铁盒子装指南针，则由于铁盒子产生磁屏蔽，从而会使得指南针无法正常使 用，因此装指南针的盒子要用胶木等不会产生磁屏蔽效应的材料16为什么一块磁铁能吸引一块原来并未磁化的铁块？答：当未磁化的铁块处于磁铁

15、所激发的磁场中时，铁块会被磁化，从而也具有磁性，这样 一来它就可以被磁铁所吸引了 .17有两根铁棒，不论把它们的哪两端相互靠近，发现它们总是相互吸引的.你能否得出结论，这两根铁棒中有一根一定是未被磁化的？答：不一定，这两根铁棒之间的吸引力未必来源于磁场力，例如它们有可能分别带有异种 电荷.18顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？答：因为分子磁矩和磁畴在磁化过程中受到分子热运动的影响，所以磁导率依赖温度；而 抗磁质在磁场中的附加磁矩几乎不受温度的影响，所以其磁导率几乎与温度无关19在工厂里搬运烧到赤红的钢锭，为什么不能用电磁铁的起重机？答：电磁铁在高

16、温下会产生退磁现象，容易对电磁铁的起重机造成损坏20试根据铁磁质的磁滞回线，说明铁磁质有些什么特性答：由铁磁质的磁滞回线可知，铁磁质不但具有剩磁现象，同时还具有磁滞现象的特性.21你怎样才能使罗盘磁针的磁性反转过来？答：可以通过施加很强的反向磁场来使罗盘磁针的磁性反转过来22试解释为什么磁铁能吸引铁钉之类的铁制物体？答：铁钉之类的铁制物体是铁磁质，它们在磁场中会被磁化，而磁化后的铁磁质容易被磁 铁所吸引.23在强磁铁附近的光滑桌面上的一枚铁钉，由静止释放，铁钉被磁铁吸引，试问当铁钉撞击磁铁时，其动能从何而来？答：来源于磁场的能量，即磁场能，而且应当满足能量守恒定律.24下面的几种说法是否正确，

17、试说明理由（1） 若闭合曲线内不包围传导电流，则曲线上各点的H必为零；（2）若闭合曲线上各点的磁场强度为零，则该曲线所包围的传导电流的代数和为零；3）不论抗磁质与顺磁质，磁感应强度B总是和磁场强度 H同方向；（4）通过以闭合回路 L为边界的任意曲面的磁通量均相等；（5） 通过以闭合回路 L为边界的任意曲面的磁场强度通量均相等.答：（1 ）错.在有磁介质时的安培环路定理中，环路上的磁场强度H不但与环路内、外的传导电流有关，也与空间所有磁介质的磁化电流有关 环路不包围传导电流， 只能说明磁场强度 H对此环路的环流为零，并不说明曲线上各点的磁场强度H必为零.2）正确.环路上各点的磁场强度 H为零，则

18、整个环路磁场强度的环流必为零.根据有磁介质时的安培环路定理，可以确定该环路所包围的传导电流的代数和为零（3） 抗磁质与顺磁质都是弱磁质，叽|b .当抗磁质与顺磁质都是各向同性磁介质时，B由H = M可以认为弱磁介质内部的磁感应强度B和磁场强度 H同方向.-0（4）正确.以闭合回路L为边界的任意两个曲面组成一个圭寸闭面，根据恒定磁场的高斯定理可知，通过该封闭面的总磁通量为零，由此不难判断通过这两个以闭合回路L为边界的任意曲面的磁通量相等.（5）错.由（4）已知通过以闭合回路 L为边界的任意曲面的磁通量均相等，但若两曲面 处于不同磁介质环境，则根据磁感应强度与磁场强度的关系可知，通过这两个任意曲面

19、的磁场 强度通量不等.习题参考解答1如习题1用图所示，有一半径为 R的圆柱形导体，设电流密度为： J =J0（1 -r/R）； J 二 J0r/R .其中J0为常量，r为导体内任意点到轴线的距离，试分别计算通过此导体截面的电流（用 J0和横截面积S = dR2表示）.解：（1）在半径为r处取宽为dr的细圆环，细圆环面积dS=2ndr ,其上通过的电流为dl 二 JdS =2 nJ。1- dr R丿导体截面的电流为R （ r121I = dl2 TfJ 0 11 dr J。nRJ°SI R丿 33（2）同理，J二J°r/R，导体截面的电流为 F r 222l=Jdl=；0 2

20、nJ。 dr= J0 tR = J0SR 332 一铜棒的横截面积为 20 >80 mm2，长为2.0 m，两端的电势差为 50 mV.已知铜的电导率= 5.7 107 s/m,铜内自由电子的电荷体密度为1.36 >010 C/m3.求：它的电阻；（2）电流；（3）电流密度；（4）棒内的电场强度；（5）棒内电子的迁移速度1 i2 0解：(1) R 二丄丄0=22 10V S 5.7X107 X20X80X10(2)(3)(4)50 10A =2.3 103A2.2 1032.3 106A/m2 -1.4 106A/m 220 80 1014 10627V/m =2.5 10 V/m

21、5.7 107I.求正方形中心O处的磁感J2C%fD1hX%rBLAI习题4用图3(5)刍3 1°- =1 10um/sneS 1.36 1020 80 103在均匀磁场中有一直电流，当电流沿x正方向时受力指向 y正方向；当电流沿 y负方向时受力指向x正方向.若电流中电荷的定向运动速度为：-7 10°m/s，单位电荷所受的磁场 力为F =2.8 10，N，求磁感应强度的大小和方向.解：当正电荷速度 = i时，F1 Fj和当u - - j时，Fr = Fi，而且：r和：2相互垂直，F1 = F2 = F，可以确定F为磁场作用力的最大值， 而且B的方向沿Fi1或F2汇出的 方向

22、，即z轴负向.按照定义，B的大小为2.8 1041 7 10,4如习题4用图所示，从无限远来的直电流从 A点流入正方形导线框，又从B点沿直线流 向无限远若正方形边长为 丨，且导线粗细均匀，流入的总电流为 应强度.解：电流I在A点分流为|仁*，因导线粗细均匀，正方 形每一条边上的电阻值相同，设为R, AB点间电压恒定，贝U3RJ TR在A点有h + I2 = I由以上两式可解得| I| 3I4，14与各段电流距离为利用载流直导线磁感强度表示式计算O点的磁感应强度，并以垂直图面向里为正向，d -，对于半无限长电流 EA, -1=0, 712 = 45，方向垂直图面向里,2Bea对于半无限长电流1

23、cos"cosl 二4 n2BF, -!%|(cos 0 + cos45 °)=丄-(1 -2n2 nbbf对导线AB,哥=45，二2= 135=90，方向垂直图面向里，得二(cos 哥 _ COS 寸2 )01 (2 1).12 n 24 n-2= 135，方向垂直图面向里，得返+返L巴V28 n0 3| cos 45 -cos135/ l2n 44 n2对导线AD、DC和CB,-45 ,二2 =135，在0点产生的磁感强度大小相等，方向垂直图面向外，得bab%liBad = Bdc = Bcb4 n2cos45 -cos135&8n应用叠加原理，0点的磁感强度为

24、B bea ' bbfbab ' bad ' bdc ' bcb方向垂直图面向里.5如习题5用图所示，一个半径为 R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I在柱面上均匀分布.求半圆柱面轴线 00'上的磁感应强度.解：将半圆柱面分割成宽度为 dl的细线，长细线中的电流 d| = |dl /( nR).细电流与轴 线00'平行，它在轴线上激发的磁感应强度大小为dB-d|2 dR0xy平面内，且与指向的半径垂直， 如习 b所示，由对称性可知，半圆柱面上细电 00'上产生的磁感应强度叠加后，得其方向在 题5用图 流在轴线By = dBcos -

25、0nBx 二 dBsin 二二0 :则轴线00'上总的磁感应强度大小为Rsi = 20 2 nR nRn R习题5用图方向指向Ox轴的负方向.6如习题6用图所示，宽为I的薄长金属板，处于 xy平面内，设板上电流为 I，试求： x轴上P点的磁感应强度的大小和方向；当d丨时，结果又如何？解：(1)在距原点O为x处取宽为dx的细长直导线条带，所载电流为dl dx，应用无限长载流直导线的磁感应强度表达式，作代换I > dl , B > dB，则在P点产生的磁感强度方向垂直图面向%dl里，大小为:dB 二2 nd +l _x )整个薄长金属板在 P点产生的磁感强度大小为丨-上“1 +

26、2 n 0 d I -x 2n方向垂直图面向里.(2)将对数函数作幕级数展开，即当d I时略去高次项，得:I 仃 J、I 1In 1 + i = 一一一ld)d2E口 l I%B -2nd 2nd结果表明在与薄长金属板距离足够远处的磁场近似于长直电流的磁场.7有一圆环形导体，内外半径分别为R1和R2，如习题7用图所示,电流沿半径方向均匀分布，总电流为I.求圆心O点处的磁感应强度.解：在圆环形导体上距 O点为r处取宽为dr的细圆环，所Idr载电流为dl，在圆心O点处的磁感强度方向垂直图面在圆环面内有稳定的向里，大小为:R2 'RidB2rO点产生的磁感强度大小为=M dr %l2(R2-

27、RiYr' r方向垂直图面向里.整个圆环形导体在B 二 dBR2In2 R2 - R R()习题7用图8电流I均匀地流过半径为 R的圆柱形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过如习 题8用图所示剖面的磁通量.解：导线内部距轴线为r处的磁感应强度P0lrB(r)乞2tR沿轴线方向在剖面上取面元 dS =Idr，穿过面元的磁通习题8用图量dm = BdS .单位长度导线内的磁通量=J Bdr = f dr =巴0 2 nR4nR1和R2长直圆柱筒形导体轴线上有一长直导 线.若长直导线上的电流与导体圆柱筒内的电流等大反向，"m9如习题9用图所示，在内外半径分别为电流为I，且电流在

28、圆柱筒截面上均匀分布.求圆柱筒导体内部区域中的磁感应强度_IMR2-R2） 径为r （R1:：: r :：:R2 ）的圆为安培回路，如图所示，其所包围的电流为I n_戌）l（R；_r2） 'T =I222-厂n & r）R2_ R1根据磁场分布的轴对称性，应用安培环路定理，得B dl = B 2n 。、I 7。鉴瞑R2 R.1解：圆柱筒导体单位截面积通过的电流，即电流密度为，取半:L尺g¥严I r 1i - J- j.习题9用图则:10应强度;M （RfB222n R2 -R1如习题10用图所示，两根平行长直导线载有电流I1两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感

29、=12 =20A，试求:通过图中矩形面积的磁通量.其中” =10 cm、r2 = 20 cm、r3 =30cm、l =25cm .解：（1） A处的磁感强度为巴I .一0.4n 1020Ba 二 2 2 n3n 0.3方向垂直纸面向外.（2）在距矩形面左边线为 x处取宽为dx长为l的细长条, 面积为dS= l dx,其中各点磁感强度的大小为：11 |0110丨 25T = 2.67 105 T习题10用图该细长条的磁通量为矩形面的磁通量为Bx2 nr1 +x ) 2 nr2 +r3 X )dm =Bxldx= %11丄+1j +x b +r3 _x4 nx 10-7 汉20 汉 0 25c=

30、述(ln3_ln0.6) Wb =1.6210 Wbdx=(l n_l n)2 nr1d + b2 n11 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如习题11用图所示，其上均匀绕有 N匝线圈，线圈中有电流I，试求：环内距轴线为r远处的磁感应强度；通过螺线管截面的磁通量 .w>习题11用图%Nlh2ndi/2 drd?/2 r5N%g2 n d212如习题12用图所示，一直导线通以电流 li，其下有一矩形框与导线在同一铅直面内, 线框中通有电流| 2 .若要使线框不致下落，l2的方向应如何？线框的最大重量是多少？解：设电流*为顺时针方向，根据安培定律，线框各边所受磁场力如习题12用图所示，其中F3

31、和F4等大反向，相互抵消，F1和F2yj L '的大小分别为：F1 =也也卫2nd ，线框所受合力为：F二土世2ndO1 1l 2b2 n 2d-o l1l 2b%hl2b4 nd4 nd习题12用图解：(1)由对称性可知，在环内与螺绕环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆 周的切线方向在环内取半径为r的环路，应用安培环路定理，得了B d= B2n =血无 I因a I = NI，代入上式得：B 巴2 n(2)在半径r处取宽为dr高为h的面元，面积为dS= hdr，通过此面元的磁通量为：d：m = BdShdr2 n通过矩形截面的磁通量为xy磁方向向上，与向下的重力平衡，因而假设J

32、取顺时针方向是正确的线框的最大重量即线框对直导线的最大作用力，其量值应等于线框所受的安培力，即4 nd13一矩形线圈载有电流 0.10A ,线圈边长分别为d = 0.05m、b=0.10m ,线圈平面与 平面成角'-30，线圈可绕y轴转动，如习题13用图所示.今加上B = 0.50 T的均匀磁场， 场方向沿x轴,求线圈所受到的磁力矩.解：载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为M =IBSsi n： =IBdbs in：其中：为线圈平面法线与磁感应强度B之间的夹角由题意可得sin= cost，贝yM =IBdbs in： =IBdbcos-=0.1 0.50 0.05 0.1 cos30 N

33、m= 2.165汉 10* N m方向沿y轴负向.14如习题14用图所示的载流线圈中的电流为I，放在磁感应强度为 B的均匀磁场中，磁 场方向与线圈平面平行，求线圈的磁矩和所受到的磁力矩解：载流线圈面积为 S = 3 n R； -R2 )磁矩方向垂直纸面向外，4，3 22大小为：m=isI nR；-R2)4线圈所受到的磁力矩为 M =m B，根据右手螺旋法则可以确定其方向为竖直向上，大小为: m # 出 i R2 -R115 一平面线圈电流为I，匝数为N、面积为S,将其放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁感应强度的方向与线圈磁矩的方向一致若将线圈翻转180 ，问外力需要做多少功？解：作用于载流线圈

34、的磁力矩为：M二mBsi n -NISBs inn线圈转过dr角度时，磁力矩所作的元功为dA = MdB = NISBsi nTdT磁通量为，Tm =BScosr线圈转过dr角度时，磁通量的改变为 dm二-BSsinrdv，与式比较，得dA 二 Nld%当线圈磁矩与 B的夹角由刊增至二2，穿过线圈的磁通量从 ml变为m2时，其间磁力矩所作的 功A为A= dA 二 Nl d r 二 Nl（% -叫i）=2NIBS16两平行放置的长直流导线相距为d，分别通有同向的电流 I和2I，坐标系的选择如习题16用图所示.（1）求x = d/2处磁感应强度的大小和方向；（2 ）磁感应强度为零的位置.解：（1）

35、根据恒定磁场的安培环路定理不难求得，电流I在x = d / 2处产生的磁感应强度大小为-（I）0，方向垂直纸面向2 Md / 2）内，而电流2I在x =d /2处产生的磁感应强度大小为:% (21)2如2)方向垂直纸面向外,习题16用图故x = d/2处的磁感应强度大小为% 212%1 _ %1dnd2冗2（2）设磁感应强度为零的位置坐标为x，则有B =%2I柿 n=0方向垂直纸面向外2 Md - x) 2 n解得dx =一317如习题17用图所示，在截面均匀圆环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到很远 的电源上，求环中心 O点的磁感应强度。解： 直电流AE与FB在0点的磁感应强度都为零，即

36、 Bae = Bfb =° .设圆弧BCA流过的电流为I1，弧长为l1 ；圆弧BDA流过的电流 为I2，弧长为12，则圆弧BCA在O点激发的磁感应强度大小为-丿1 出 I1dlnI1l1一一Bi- 2号（方向垂直纸面向里）0 4n R4 tR圆弧BDA在0点激发的磁感应强度大小为 % I2dl %l2l2、,B22(方向垂直纸面向外)4 n R24 nR2由于这两部分铜环电阻率相同，截面积相同，实际电阻与圆弧长度成正比，因此有RliR2 l2又由于圆弧BCA与BDA并联，所以有1 l1 = 1 2l2则O点总的磁感应强度大小为卩0B 二日-B2(hh - l2l2) =04 nR61

37、8 一个电子射入 B = (0.2i 0.5j)T的均匀磁场中，当电子速度为吟=5 10 j ms时，求 电子所受的磁场力解：根据F =q： B可得电子所受磁场力为F = -e B196=(-1.6 10 ) (5 10 j) (0.2i 0.5j) N= 1.6 1013 k NF沿Oz轴正方向.19轨道炮(又称电磁炮)是一种利用电流间相互作用的安培力将弹头发射出去的武器，如习题19用图所示，两条扁平的长直圆柱导轨相互平行，导轨之间由一滑块状的弹头连接.强大的电流I从一条直导轨流经弹头再从另一条直导轨流回， 导轨上的电流沿圆柱面均匀分布 .设圆 柱导轨半径为 R，两圆柱导轨相距为 L,试求弹

38、头所受的磁场力.习题19用图.先在弹头距其横向一端为 xIdx，其所在处的磁场可看作是两个半无限长直电流产生的磁场的叠加，故其解：弹头受到的磁场力应该是两导轨产生的磁场对弹头的作用 处任取一电流元 磁感应强度为从习题19小为B 二4 n 4- x)用图中可知，电流元Idx与磁感应强度B的夹角为90o，故弹头所受磁场力大dx = 'oI4 n 4 nL - x)5610 L 10 A)，在5 m长的导轨上可使L -RL 巴 I巴 IF=L IBdx 珂 I+方向沿导轨向外.由于超导材料研究上的突破，可望输送最大电流(弹头加速到6 km/s的速度，而常规火炮发射弹头的速度一般不超过2 km

39、/s .如果以海水代替弹头，还可以作为船舶的电磁推进器.20用金属丝做的圆形和正方形回路如习题20用图所示，设圆的直径与正方形的边长均为a，两回路中电流均为I，求它们在各自中心产生的磁感应强度的比为多少？解：带电圆环环心处:正方形中心处：BoBo =4 也4 ncos45 -cos135%I 2 2辽|n二 na/2习题20用图B0a = n 1.11Bo22%l 2.2n21在半径R = 4 cm的长直圆柱形导体内，挖一个半径r = 2 cm的长直圆柱形空腔，它的轴平行于导体圆柱的轴，且两轴相距a = 1 cm .若在此空腔导体上通以电流 I = 10 A，电流沿截面均匀分布，试求空腔内任一

40、点P的磁感应强度的大小.二 I解：T _J22， B = B B2，由安培环路定理得XR2 -r2)L211f B1 dl = B-i 2 ni =卩0 J n ，即：吕=, B1 =卩0 J 江彳匸221同理可得B2二-% J r221111B0 J r10 J r20 J (r1 - r2)0 Ja2 2 2 2T ： 1.67 10* TB 丄。Ja亠二4 n 吵 J22MR2_r2)2血42_22) 1022载有电流I -的长直导线旁，有一边长为 a、载有电流I 2的正三角形线圈.线圈的一条 边与直导线平行， 线圈的中心到直导线的垂直距离为b，直导线与线圈在同一平面内，如习题22用图所

41、示.试求作用在三角形线圈上的力解： F 二 Idl B , B l2 nF-JB-a 二2 Mb - 3a/6)b%3a/3Jb 亠 3a/6柿心 dx-zt-2 n cos30J01112;3nInb 、3a/3b - 13a / 6习题22用图F =F1 -2F2cos60；01112 a2 n |b - i 3a / 62b + 73a / 3 IV3 " b - V3a/6方向向左指向长直导线又F = l2dlxB = I2dlkJ I iI 4R丿JQI1I2丄丄2dl j 4R卩I I大小为 f二一Jdl ，方向为沿y轴负向，即向左.4R24设在真空中有一根很长的由两个同

42、轴筒状导体组成的同轴电缆，其内筒的外半径为 外筒的内半径为b，外筒的外半径为c,在这两个导体筒中，有大小相等而方向相反的电流 过，求离同轴电缆轴心为 r处的磁感应强度 B.(1) r < a ;(2) a < r < b ;(3) b < r < c ;(4) r >c .a，I流解：T 口 B d l =hi，即IiB-2 n(1)，所以 B=0(2)a < r < b时，因为Ii，所以%I ；2 n °；(3)b < r < c时，因为Ii22c -r2c -b所以B 32c_2 n c2 -br> c时，因为7i

43、25 一个塑料圆盘，半径为动，角速度为 3,求圆盘中心处的磁感应强度(4)-I，所以BQR,电荷q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直于盘面的轴转23如习题23用图所示，导线 ABCDE通有电流I1，其中BCD是圆心为O半径为R的半 圆形，直线 AB = DE = a .另有无限长导线通有电流 I2，过 圆心O且与半圆形导线共面(但不相交)求：长直导线在圆心O处元段d l上所受的磁场力的大小和方向 解：T B = B1 B2 B3，由毕奥-萨伐尔定律知，B"i = 0 ， B3 = 0由 o011% h而B24 nR4R解：女口习题25用图a所示，/ dq 二二dS 二;rdrd ,

44、i =dq -；rdrd dtdt%10 rdrodr2r2R 11dr oR 0 22-rdr，dB2r2 tR，B的方向沿轴线，与 3成右手螺旋关系a)b)c)习题25用图讨论：(1)如习题25用图b所示，若圆盘的一半均匀分布电荷面密度为+(r,另一半均匀分布电荷11面密度为-6则圆盘中心处的磁感应强度为零这是因为B1°；: R、B20；亠R ,44所以 B B2 =0.(2)如习题25用图c所示，若圆盘的半径为 r (r < R)部分均匀分布电荷面密度为 +6其余部分均匀分布电荷面密度为-6要使圆盘中心处的磁感应强度为零，则须有R = 2r.这是因为11B1打、B20”-

45、'V(R -r)，当 B = B1 B2 = 0 时，有 r 二 R - r，即 R = 2r.2226 一螺绕环的平均半径为R = 0.08 m ,其上绕有N = 240匝线圈，电流强度为I = 0.30 A时充满管内的铁磁质的相对磁导率* = 5 000,问管内的磁场强度和磁感应强度各为多少？解：螺绕环磁场几乎都集中在环内，场线是一系列圆心在对称轴上的圆.如果圆环的截面 积很小，则可认为环内各点的磁场强度大小相等，其值相当于以平均半径R为半径的圆环上的磁场强度.NI 240x0.30H = nlA/m 二 143.2 A/m2 nR2 n 0.08“专H =4n 10J 5 000

46、 143.2 T = 0.90 T27环形螺线管共包含 500匝线圈，平均周长为50cm,当线圈中的电流强度为 2.0A时，用 冲击电流计测得介质内的磁感强度为2.0T ,求：(1) 待测材料的相对磁导率(2) 磁化面电流线密度 Js.解：磁场强度和磁感强度(1)B的关系为B二rH，从而可求出NI 500 2A/m = 2000 A/m L 0.5B _2.0%H 4 n 102 10= 796(2)由于磁化面电流产生的附加磁感强度为B = B - B0 ,得B，=(U -巴)nl = PqJs卩一 4 Js 二 I ° nI =(匕-1)nl =1.59 106 A /m.一028

47、 一无限长的圆柱形铜导线外包一层相对磁导率为丄r的圆筒形磁介质，磁介质的外半径为 R,，导线内有电流I通过.并设导线的磁导率为 .(1)求介质内、外的磁场强度和磁感应强度的分布，并画出H导线半径为r , B - r曲线;(2)求介质内、外表面的磁化面电流密度n2解:(1) r :R 时,Ir2nR2%lr2n2R : r : R2 时:r R2 时:%l习题29用图介质外表面 Js2 二-M = - 7 -1 H = 1 - Jr2 tR2-429将一直径为10 cm的薄铁圆盘放在 Bo = 0.4 W T的均匀磁场中，使磁感线垂直于盘面 如习题29用图所示已知盘中心的磁感强度为Bc = 0.

48、1 T,假设盘被均匀磁化，磁化面电流可视为沿圆盘边缘流动的一圆电流求：(1)磁化面电流大小；盘的轴线上距盘心 0.4m处的磁感强度.解： 铁盘在外磁场 Bo中要被磁化，产生附加磁场.附 加磁场与外磁场B 0同向，所以盘中心的磁感强度 Bc =B0 ' Bc .磁化面电流Is可视为沿圆盘边缘流动的圆电 流.(1)磁化面电流Is在环心c处产生的附加磁场的磁感强 度为Be2R盘中心的总磁感强度为:Bc二 BoBe从已知条件可见，对于铁磁质，有Bo： ： Be，即 Be Be，得Is2RBe2RBe=7.96 103 AB/的叠加，即有(1)由有磁介质时的安培环路定理可知，介质内h=2-,2 n介质内表面磁化面电流由(2)假设介质为顺磁质, 磁感应强度B = B0 B',2 nB - 'H -2 nIs方向如习题30用图所示，在介质内任一点即有I2 nIs=(巴-1)I设介质外表面磁化面电流为Is'，应用介质中的安培环路定理，可得H二丄2 n介质外任一点磁场强度为:应用真空中的安培环