角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用1 .。是的重心若。是的重心，则故u u ur PGu u ir PAu u ir PBu u urPC ) G为ABC的重心.2 .。是的垂心;若。是（非直角三角形）的垂心，则3 .。是的外心（或）若。是的外心则4 . O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁写成 ，O是内心的充要条件也可以是故；如果记的单位向量为，则刚才。是内心的充要条件可以。若。是的内心，则uur uuiruur uur uur uurr r| AB | PC |BC | PA | CA | PB 0P 是ABC的内心;uuuuuur向量(-AB- -Ak)(0)所在直线过|

2、AB| |AC|ABC的内心（是 BAC的角平分线所在直线）；）将平面向量与三角形内心结合考查.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的动点POPOAOP(A)外心（B）内心（C）重心（D）垂心ABuuuuuu uuur解析：因为 普是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为ABOA AP ,则原式可化为AP（e e2）,由菱形的基本性质知AP平分BAC ,那么在ABC 中，AP平分 BAC ,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是 ABC所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA点H是 ABC的垂心.AB AC（尸B尸C）,Q 则P点

3、的轨迹一定通过 ABCI （AB AC由 HAHBHBHC HB （HC ha） 0 hb ac 0 hb Ac ,同理HC 而，HA BC.故H是AABC勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是ABCff在平面上一点，若 PAPB PB PC PC PA,则P是AABC勺（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB PC导PA PB pb pc o .即 PB（PA PC） o,即PB CA o则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P为 ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是 ABC所在平面内一点，GA gB gc

4、=0 点G是 ABC的重心.证明 作图如右，图中GB GC GE连结BE和CE则CE=GB BE=GC BGC助平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将 GB GC GE 代入 ga gb GC=o,得GA EG =o GA GE 2gd ,故G是 ABC勺重心.（反之亦然（证略）例5.P是 ABC所在平面内任一点.G是AABC的重心pg 1 （PA pB PC）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG （aG BG CG） （PA PB PC）. G是 ABC的重心 /. GA GB GC=o AG BG CG =o,即 3PG PA PB PC由此可得PG 1（

5、PA PB PC）.（反之亦然（证略） 3 uuu umr uuur r例6若O为ABC内一点，OA OB OC o ,则。是ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心uuuuuuuurr uuuuuuruuu解析：由OAOBOC0得OBOCOA ,如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则uuuuuuruuuuuur uuurOBOCOD ,由平行四边形性质知OE-OD, OA 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D（四）将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点,uurOAuurOBuuurOC ,则O是ABC的(A.内心B.外心D.重心解析：由向量模的定

6、义知 O到ABC的三顶点距离相等。故 O是 ABC的外心 ，选B。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量 OP1 , OP2 , OP3满足条件函+OP2+OP3 =0, |函|=| 丽|=| 丽|=1 ,求证 PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下）,复习参考题五B组第6题）证明1由已知Opi+0P2=-OP3,两边平方得0P1.OP2=W，同理1OP2 OP3 =OP3 - OPi =-, 2 I PP21=| P2P31=| P3P11= V3,从而 pF2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形 PiP2P3的中心,则显然有op；+op2+op3 =0且| op； |二|

7、op2 |=| op3 |.即O是 ABCf在平面内一点,OPi +OP2 +OP3 =0 且 | OPi | = | OP2 | = | OP3 | 点 O是正 PiP2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q G H三点共线，且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系设 A(0,0)、B(xi,0)、C(x2,y 2) , D E、F分别为 AB BC AC的中点,则有:D ( ,0) E (2Xi Xn y nG(二一2,1233Xi X22 uuuu)AHy2)、F(？22 2uuur (X

8、2,y4)QF (）由题设可设Q （x12uuurBC & Xi*)uuuuuuurQ AH BC uuuu uuurAH ?BC x2(x2 x;)y2y4 0x2(x2 Xi) y 4y2a 土 &y3)222LULT uuurQQF ACLOT UJUrxQF ?AC x2(2y3x2(x2 x1)2 y 2x1万y 22uuurQHy3)2x 2 x123x2(x2 x1) y22y2LULTQG(x2 x13Xiy3)(2x 2x1 y2 x2(x2 x1)(2x2 x161 LUUT= -QH3LULUuuur3x2(x2 x1)6y2y2X 1/x2 x1T) 3

9、(-2y23x 2 (x 22y 2y22)Xi)即QH =3QG，故Q G H三点共线，且 QG GH=1：例10.若 O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证OH OA OB OC .证明 若4ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD CD/. AD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC , CH AB , .AH/ CD CH/ AD四边形AHCM平行四边形,. AH DC DO，OC ,故 OH OA AH OA OB OC .重心、垂心的位置关系:著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“

10、欧拉线”(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题例11. 设。GH分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG -OH3证明按重心定理G是 ABC的重心OG - (Oa3OBOC)按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG“重心”的向量风采uuu uuu uuur【命题1】G是AABC所在平面上白一点，若 GA GB GC 0 ,则G是 ABC的重心.如图 .图图【命题2】已知。是平面上一定点，a b, Ci?lttMm|f点，动点 p满足uuu uuu uuu u

11、uurOP OA (AB AC),(0,)，则P的轨迹一定通过 ABC的重心.uuu uuuuuuruuuuuur【解析】由题意AP(ABAC),当 (0,)时，由于(ABAC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】P是4ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA,则P是4ABC的垂心.uuuiuuuuuuuuin uuu uuruuruuu uuuuuu uuu【解析】由PAPBPBPC,得PB (PAPC)0 ,即PB CA0 ,所以PB ± CA.同理可证uuin uuu uur uui

12、nPC，AB, PAX BC . P是 ABC 的垂心.如图.图图【命题4已知O是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuu uuuOP OAuuinABut*nAB cos BuiunACuuurAC cosC(0,),则动点P的轨迹一定通过 AABC的垂心.【解析】uur由题意APuuuABuuuuAB cos BuuurACuuurAC cosCuuuABuuurAB cos BuuurACuuurAC cosCuuirBC 0 ,uuu uuir AB BC uuurAB cos Buuur uumAC BCuuuAC cosCuuur uuuuBC CBuuu

13、uuu0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知I为 ABC所在平面上的一点，且AB c , AC b , BC a .若11nLM uralA bIB cIC 0,则 I 是ABC 的内心.【解析】ur.旧uu uuuIA ABuur ,ICur IAuuur AC ,则由题意得（abuuuruuiruuiruuruuuuuuruurACuuuv bABcACACABABACAB图uuuAB i im i UUlUiAB图uu c)IAUUUUULrbAB cAC 0 ,uurAC

14、TUUtri ,ACuurAIuuruuuruuuuurABACAB卜一 ACuturUUUrT. i-UUU,-上U iUUriABACABACbc a b cuuirumr分别为AB和AC方向上的单位向量,ULT AI与/ BAC平分线共线，即AI平分 BAC .同理可证:BI平分 ABC, CI平分 ACB ,从而I是4ABC的内心，如图.【命题6】已知O是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuu uuuOP OAuur AB uur ABuuir AC uuu AC(0,则动点P的轨迹一定通过 ABC的内心.【解析】uuu由题意得APuuu AB uuuu A

15、Buuu AC uuu AC当（0,uuir）时，AP表示 BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心,如图.四、“外心”的向量风采uuuu uur uuuir【命题7】已知O是AABC所在平面上一点，若OA2 OB2 OC2 ,则O是 ABC的外心.图图【解析】UUU2若OAuuu 2 uuur 2 uur 2OB OC ,则 OAuuuu 2OBuuir 2OCuuuOBuuurOC ,则。是AABC的外心，如图【命题7 已知O是平面上的一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足uuu uuur uuu OB OC OP 2uurABuurABco

16、sBuuurACuuurAC cosC（0,）,则动点P的轨迹一定通过 ABC的外心【解析】uur uuur由于OB 0c过bc的中点,当 ©）时,2uurABuuurAB cos BuurACuuurAC cosC表示垂直于uuuBC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过 ABC的外心，如图补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=- （ -OA + -OB+2OC）,则点 P一定为三角形 ABC的（B ）322边中线的中点边中线的三等分点（非重心）C.重心A 外心B 内心 C 重心 D 垂

17、心边的中点11 一 1 1 . B 取 AB 边的中点 M,则 OA OB 2OM，由 OP=- （ - OA +OB +2OC ）可得3 , 22 .一，一3OP 3OM 2MC , MP 2MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B. 3uuuuir uuuuuiruuuulu uujuur uuuuur222222 .在同一个平面上有abc及一点o酒足关系式：oa + BC = OB + CA = OC +uuuuur2AB ，则。为 ABC 的 （ D ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心uur uuu uuir3 .已知 ABC的三个顶点 A、B、

18、C及平面内一点 P满足：PA PB PC 0,则P为 ABC的4 .已知0是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:OP OA (AB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心5 .已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足：uuu uur uuu uuu uuu uurPA?PC PA?PB PB?PC 0,则P点为三角形的( D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心uur uuuuuir6 .已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PA b PB c?PC 0,则P点为三角形的垂心2 CB 2A

19、B?CP,则 P点轨迹一定通过 ABC的:垂心A 外心 B 内心 C 重心 D27 .在三角形 ABC中，动点P满足：CA(B )A 外心 B 内心 C 重心 D AB AC - AB AC 18 .已知非零向量Ate AC两足( 十C ) - BC=0且 一C =-,则 ABC为() |AB| |AC|AB| |AC| 2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形uuu uuur解析：非零向量与满足(4tBL -AC-) =0,即角 A的平分线垂直于BC,AB=AC,又|AB| | AC|uuir uuurcosA hUUB- -AC-=1 , ZA=-,所以

20、ABC为等边三角形，选 D.| AB | | AC | 239 . ABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为 H, OH m(OA OB OC),则实数m三10 点。是 ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA ,则点。是 ABC的(B )(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点11 .如图1,已知点G是 ABC的重心，过G乍直线与AB, AC两边分别交于M N两点，且AMv xAv ,uuuv uuuv 11AN y AC，则3。 x y uuv uuur uuuv证 点G是ABC的重心，知GA GB G

21、C Quiuvuuvuuuvuuvuuuvuuu/1 uuvuuuv得 AG(ABAG)(ACAG)0,有 AG-(ABAC)。又 M,N, G 三点共线(A 不在直线MN3uuuvuuuvuuuv于是存在,使得AGAMAN (且1),，.uuuv 有AGuuv xABuuu/ 1 uuuv uuuvyAC=1(AB AC),3得1 ,于是得1 - 3x y -x y31、课前练习 2 22 已知。是 ABC内的一点，若OA OB OC ,则。是ABC勺A、重心 B 、垂心C 、外心D、内心在 ABC 中，有命题 AB Ac BC; Ab BC CA 0；若 aB aC ? aB aC 0,则ABCJ等腰三角形；若AB?AC 0 ,则 ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B 、 C 、 D 、例1、已知4ABC中，有1ABiAC ?BC 0和兽？爸 ，试判断4ABC的形状。AB ACAB AC 2练习1、已知 ABC中，AB a , BC b, B是AABC中的最大角，若a?b 0,试判断 ABC 的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题22222222例2、已知O是 ABC所在平面内的一点，满足 OA |bc| |ob |ac| |oc| |ab ,则。是 A