GIS中线元位置不确定性的随机过程模型

1、GIS中线元位置不确定性的随机过程模型* 史文中 刘文宝(香港理工大学，香港九龙) (山东矿业学院，泰安，271019)THE STOCHASTIC PROCESS MODEL FOR HANDLING POSITIONAL UNCERTAINTY OF LINE SEGMENTS IN GISShi WenzhongLiu Wenbao (The Hong Kong Polytechnic University) (Shandong Mining Institute, Taian,271019)Abstract Based on the stochastic process theory,

2、the distribution function of the line segments is given in this paper. The uncertainty information matrix is defined, and the generalized error band model is developed, which is used to measure the positional uncertainty of line segments. The models of “-band”model1 and “e-band”model2are summzed uni

3、fied by this model.Key words Stochastic line segments, Uncertainty, Stochastic process, Generalized error band.摘要本文基于随机过程理论导出了随机线元的分布函数和分布密度表达式，定义了不确定性信息矩阵，引入了广义误差带概念，进而从理论上概括和统一了前人提出的“-带”1和“e-带”2模型。关键词随机线元 不确定性 随机过程 广义误差带分类号P2081 引言自从Chrisman1引用Perkal3提出的“-band”概念描述矢量GIS中的线元位置不确定性以来，后人根据这一思想做了许多发展，

4、其中最有代表性的为误差带247、置信带6和可靠带7。对误差带的研究，主要有解析法27和模拟法89。但现有解析研究的数学基础均为离散随机变量，由于它无法从整体上描述由无穷个连续点构成的线元，因而有关结果在理论上是不严密的。为此，本文首先基于随机过程理论建立一种描述线元位置不确定性的整体模型；然后将平面随机点元的常规误差椭圆扩展到平面随机线元的广义误差带。2 随机线元的统计描述2.1 随机线元的统计特征分析图1 随机线元Z0Z1Fig.1 The random line segment Z0Z1图1中，Zt(X(t),Y(t)为由端点Z0和Z1定义的随机线元Z0Z1上的任意一点。现假定： 随机线元

5、Z0Z1端点坐标向量Z0(X0Y0)T和Z1=(X1Y)T是自相关和互相关的； Z0和Z1均服从二维正态分布，即： ZiN2(Zi，ZiZi) (i=0,1)(1)其中zi(XiYi)为随机线元Z0Z1端点坐标向量Zi(XiYi)(i0，1)的数学期望，Zi，Zi为协方差阵，即：(2)显然，由随机线元Z0Z1两端点坐标向量构成的四维随机向量服从四维正态分布11：Z01N4(Z01，Z01Z01)(3)其中，而：(4)由于随机线元Z0Z1上任意点Zt(X(t),Y(t)的坐标公式为67(5)即X(t)和Y(t)分别为正态随机变量X0、X1和Y0、Y1的线性组合，故也服从正态分布。于是，随机线元Z

6、0Z1由t0,1时的两族无数个正态随机变量X(t)和Y(t)构成。由随机过程的定义知10，随机变量族X(t),t0,1和Y(t),t0,1是两个具有相同自变量参数t的随机过程。因此，从统计学角度看，随机线元Z0Z1是一个二元向量随机过程Z(t)=(X(t)Y(t)T，t0,1。2.2 分布函数和分布密度随机线元Z0Z1的分布函数和分布密度由随机过程X(t),t0，1和Y(t),t0，1的联合分布密度唯一确定。对于任意的正整数n及任意的ti,tj0，1(i,j=1,2,，n)，根据Kolmogrov定理10，随机变量族X(ti),Y(tj);i,j=1,2,，n的联合分布函数：F(x1,y1,x

7、2,y2，xn,yn;t1,t1,，tn,tn)=PX(t1)<1,Y(t1)<1,X(t2)<2,Y(t2)<2,，X(tn)<n,Y(tn)<n(6)为随机线元Z0Z1的有穷维分布函数族。因此，下列混合偏导数：f(x1,y1,x2,y2，xn,yn;t1,t1,，tn,tn)(7)即为随机线元Z0Z1的有限维分布密度族。分布函数(6)和分布密度(7)不仅刻画了随机线元Z0Z1上对应于每一个t、t的随机变量X(t)和Y(t)的统计规律性，而且也描述了各个随机变量X(t)或Y(t)自身及二者间的统计相依性，因而它们完整地描述了随机线元Z0Z1的统计属性。由式

8、(5)知，随机线元Z(t),t0,1的分布密度式(7)具有2n维正态分布密度形式：f(x1,y1,x2,y2，xn,yn;t1,t1,，tn,tn)(8)其中Z=(Z1Z2ZnZn+1Z2n)T(x1y1x2yxnyn)T，Z=(Z(t1)（t2）Z(tn)（tn+1）Z(t2n)T(X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)X(tn)Y(tn)T，而：(9)由此可见，随机线元Z0Z1是一个二元正态随机过程，其空间概率密度函数图像如图2所示。显然，它是常规平面随机点元密度函数图像(图3)11的扩展。图2 随机线元Z0Z1的分布密度图像 Fig.2 The probability density

9、function图3 随机点元(x1,x2)的分布密度图像Fig.3 The probability density function of the line segment Z0Z1of the point (x,y)2.3 随机线元的不确定性信息矩阵尽管式(6)、(7)能完整地描述随机线元Z0Z1的统计特征，但却不便用来度量其位置不确定性。为此，再定义下列对称矩阵：(10)为随机线元Z0Z1的不确定性信息矩阵，它是t1、t2的非随机普通函数，用于描述随机线元Z0Z1上各点自身及点坐标分量间的线性相依性。利用式(5)可导出式(10)的估计公式： (11)特别地，当t1=t2=t时，上式退化为

10、(12)由此可见，随机线元ZZ的不确定性信息矩阵也是常规平面随机点元协方差阵的扩展。3 广义误差带3.1 基本定义图2中，用平行于xOy的平面截随机线元Z0Z1的空间分布密度曲面图像，将截线投影到平面xOy上，得到一族同心带。其中由过随机线元Z0Z1两端点误差椭圆的平面所截得的曲线带定义为广义误差带(The Generalized Error Band, 简称“G-带”)。3.2 形状和大小“G-带”的形状和大小取决于随机线元的空间分布密度图像的形状，而后者又由相关函数矩阵ZZ唯一确定。下面给出“G-带”的一种易可视化描述。由式(5)知，随机线元上的任意点Zt的坐标矢量服从下列二维正态分布：Z

11、(t)(X(t),Y(t)N(Z(t),ZZ(t),t0,1(13)其中ZZ(t)和Z(t)分别由式(12)和下式估计：(14)对矩阵ZZ(t)进行谱分解：(15)其中(t)为谱矩阵，由ZZ(t)的特征值(t)和（t）构成；S(t)为模矩阵，由相应于特征值(t)1和(t)2的特征向量S(t)和S(t)构成。于是，随机线元Z0Z1上任一点Zt(X(t),Y(t)的误差椭圆长、短半轴A(t)、B(t)和主轴方向(t)的计算公式为(16)其中：W（2X(t)-2Y(t)）2+42XY(t)(1)/(2)(17)根据式(16)、(17)，可以画出随机线元Z0Z1上任意点处的无数个误差椭圆，如图6。由随

12、机线元的统计描述理论知7，只有利用这一误差椭圆族才能完整地描述随机线元的位置不确定性。椭圆族的包络线12与端点处的误差椭圆一起构成了以随机线元真值为核心的带状区域，即为“G-带”。显然，“G-带”的形状和大小可由线元端点Z0、Z1处的误差椭圆唯一确定。4 特例分析在以时间为参量的普通随机过程中，满足平稳性和遍历性的随机过程是最重要的一类。对于以空间为参量的随机(线元)过程，则为均匀性和各向同性。4.1 各向同性的随机线元当随机线元Z0Z1端点坐标分量间的误差各自相互独立且相等时，有2X0=22，2X1=2121，X0Y0=00X1Y11X10，则式(11)简化为(18)其中I2为二阶单位阵。不

13、妨设有下列任意的二阶旋转矩阵：(19)其中为旋转角。对式(18)，有： RZZ(t1,t2)RZZ(t1,t2)(20)即矩阵ZZ(t1,t2)为旋转不变量，这表明该随机线元具有各向同性。此时，式(12)简化为：ZZ(t)(1-t)+tI2(21)因此，随机线元上各点处的误差椭圆均变为误差圆，但半径不等。为求极值，令(dZZ(t)/(dt)0，得： t=20/(20+21)(22)则当t=t时，矩阵(t)的主对角线元素取极小值，所对应误差圆的半径最小，以下特称该圆为临界误差圆。由式(22)知， 当时，有t>1/2，则随机线元Z0Z1上的临界误差圆偏向Z1端； 当时，有t=(1)/(2)，

14、则临界误差圆位于随机线元的中点处； 当20<2时，有t<(1)/(2)，则临界误差圆偏向Z0端。由此可知，当随机线元Z0Z1两端点Z0、Z1处的误差圆不等时，其上的临界误差圆总是偏向端点误差圆较小的一边，如图4。显然，20=2时的“G-带”退化为“e-带”，即“e-带”是“G-带”的特例。图4 各向同性随机线元的“G-带”Fig.4 The direction independence character of the G-band4.2 均匀且各向同性的随机线元当ZZ(t1,t2)满足下列条件时13，即: (t,t)ij(t1,t2)(eiej)(23)(24)随机线元Z0Z1具

15、有均匀且各向同性。其中ei,j为空间基向量，为随机线元Z0Z1上任意两点Z(t1)和Z(t2)间的归一化距离，L为随机线元总长；l(L)和m(L)为纵、横相关系数，且满足边界条件l(0)=m(0)；ij为Kronecker-函数；XX(t2)-X(t)，Y=Y(t)-Y(t)；Xi,Yj中的下标，i,j=1,2是指两个坐标投影分量。在式(24)中，当tt2=t时，有：(25)其中为随机线元的坐标方位角。此时，借鉴文献13中的思想计算l(L)和m(L)后，易证所得随机线元上任意点Zt处的协方差阵为单位阵7，即随机线元Z0Z1上各点处的误差椭圆均变为等半径的误差圆，其叠置图即为“-带”。这说明“-

16、带”也是“G-带”的特例。4.3 随机线元的均匀性与各向同性的代数与几何解释图5 具有不同统计属性的随机线元的广义误差带Fig.5 Error bands of stochastic process based line segments with different statistical characteristics and examples对于随机线元Z0Z1的均匀性，从代数学的角度看就是Z0Z1上所有点处的误差椭圆为平移不变量；从几何学的角度看则表现为Z0Z1上所有点处的误差椭圆的大小和主轴方向相同，如图5(b)。对于随机线元Z0Z1的各向同性，从代数学的角度看就是Z0Z1上所有点处

17、的误差椭圆均是旋转不变量；从几何学的角度看则表现为Z0Z1上所有点处的误差椭圆均变为圆，如图5(c)。对于随机线元Z0Z1的均匀且各向同性，从代数学的角度看，就是Z0Z1上所有点处的误差椭圆既为平移不变量，又为旋转不变量；从几何学的角度看则表现为Z0Z1上所有点处的误差椭圆均变为等半径的误差圆，如图5(d)。5 算例分析讨论了“G-带”的理论基础，下面通过算例说明在GIS环境下生成“G-带”的具体方法。图6 随机线元Z0Z1“G-带”的可视化Fig.6 Visualization of “G-band”of the random line Segment Z0Z1表1 起算数据表Tab.1 O

18、riginal data set线元号Z0Z1X0/mY0/m2X0/m22Y0/m22X0Y0/m2X1/m Y1/m 2X1/m2 2Y1/m2 2X1Y1/m2 1500.00100.0015.8415.840.00500.00 120.00 15.84 15.84 0.00 2500.00100.003.963.960.00500.00 120.00 15.84 15.84 0.00 3500.00100.0018.918.718.83500.00 120.00 18.91 8.71 -8.83 4500.00100.0018.918.718.83500.00 120.00 18.91

19、 8.71 8.83 5500.00100.0015.5812.04-10.05500.00 120.00 15.58 12.04 10.05 6500.00100.007.524.683.89500.00 120.00 15.58 12.04 10.05 7500.00100.0017.3010.329.58500.00 120.00 6.82 5.38 4.08 8500.00100.004.038.17-3.59500.00 120.00 13.81 13.81 -10.20 表1给出随机线元Z0Z1端点Z0(500.00，100.00)和Z(500.00，120.00)的八种不同误差状

20、态信息。表2中列出了由式(16)计算的随机线元Z0Z1端点Z0(r=0)和Z1(r=1)处的误差椭圆几何参数，以及由式(5)和(16)计算的随机线元上临界误差椭圆的位置和几何参数。图6是利用根据式(16)计算的线元上任一点处的误差椭圆几何参数在ARCVIEW环境下绘制的“G-带”，椭圆长短轴与线元长的比例尺为21，其中(1)、(2)为各向同性随机线元，(4)为均匀性随机线元，其余为一般性线元。特别地，(1) 还是“G-带”的一种特例，即“e-带”。显然，在GIS良好的图形环境下，很容易生成随机线元的“G-带”，从而较精确地、直观而全面地反映线元上任一点点位在各个方向上的误差分布情况，以及线元整

21、体的误差分布情况，同时还可图解任意点位在任意方向上位差的大小，方法类同文献11。表2 计算数据表Tab.2 Computed results线元号Z0ZrZ1A0/mB0/m0/(°)t/mXr/mYr/m2Xr/m2Yr/m XrYr/m Ar/m Br/m r/(°) A1/m B1/m 1/(°) 13.983.9800.503001107.927.92 0.00 2.81 2.81 0 3.98 3.98 0 21.991.9900.205001043.173.17 0.00 1.78 1.78 0 3.98 3.98 0 34.901.90300.505

22、001109.464.35 0.00 3.07 2.09 0 4.90 1.90 150 44.901.90300.505001109.454.36 4.42 3.46 1.34 30 4.90 1.90 30 54.901.901400.505001107.796.02 0.00 2.79 2.45 0 4.90 1.90 40 63.201.40350.315001065.083.38 2.81 2.68 1.14 36 4.90 1.90 40 74.901.90350.695001134.903.56 2.86 2.86 1.14 38 3.20 1.40 40 83.201.4012

23、00.315001063.245.23 -2.68 2.66 1.17 124 4.90 1.90 135 我们对某城市土地信息中心(LIC)建立的ARCVIEW3.0空间数据库中11 000数字地形图上居民区的一部分进行了实例检验，其中包含矢量GIS中的点、线、面三种要素。由于数字化数据的精度相同，即xy=0.20 m,因此，点的“G-带”退化为误差圆；而线要素和面要素在GIS中均是由折线定义的点要素，画出了相应的误差椭圆。对线要素和面要素，以折线为基本单位，画出了“G-带”，有关“G-带”相互连接叠加后，构成了线要素和面要素的位置不确定性可视化指标。每条折线的计算和显示时间为2 s。在一幅

24、地形图上，地形及要素的类型越复杂，构成要素的折线越多，则在现有计算机环境下，需要累加相应的运行时间。显然，对GIS输出的各种图件，均可以根据要素类型不同，选择点或折线为基本单元画出误差(椭)圆或“G-带”，以便用可视化方式表达地图要素的位置不确定性。6 结论(1) 一个平面随机点元的统计表现为一个二维随机变量，其不确定性由协方差阵描述，而误差椭圆是相应的可视化指标。(2) 一条平面随机线元的统计表现为一个二元向量随机过程，其不确定性由不确定性信息矩阵描述，而误差带是相应的可视化指标。(3) 随机线元的统计属性由线元端点坐标的误差状态唯一决定。当随机线元满足各向同性时，“G-带”退化为“e-带”

25、；当同时满足均匀性和各向同性时，“G-带”退化为“-带”。(4) 随机线元的“-带”是一种理想情况。由于均匀各向同性的随机线元在现实中是不存在的，因而，“-带”只是度量随机线元不确定性的一种近似指标。致谢：感谢香港理工大学陈永奇教授和武汉测绘科技大学黄幼才教授在写作本文中给予的指导和帮助。收稿日期： 1996-09-16， 截稿日期： 1997-09-29。史文中，男，35岁，博士。香港大学基金委员会(编号：0354059A3340)、国家自然科学基金(编号：49671063)和测绘遥感信息工程国家重点实验室开放基金(编号：WKLZ(92)-03-04)联合资助项目。7 参考文献1 Chrisman NR. A theory of Cartographic Error and it's Measurement in Digital Databases. Auto-Carto 5, 1982:1591682 Caspary W and Scheuring R. Positional Accuracy in Spatial Databases. Comput., Environ. And Urban