数列经典例题(裂项相消法)

1、v1.0可编辑可修改数列裂项相消求和的典型题型11 .已知等差数列an的前n项和为Sn,a5 5,S5 15,则数歹U的刖100项和为(anan 1A黑B .黑5黑D .黑 1011011001000在y轴上的截距.1.一一 一 . 9 2 .数列an ，其刖n项之和为 一，则在平面直角坐标系中，直线 (n 1)x y nn(n 1)10为()A. - 10 B . - 9 C . 10 D . 93 .等比数列an的各项均为正数，且 2al 3a2 1,a2 9a2a6.(I )求数列 an的通项公式；(11)设3 log3 al log3 a2log3an,求数列r的前 n项和.4 .正项

2、数列an满足 a； (2n 1)an 2n 0.(I )求数列 an的通项公式an ；.1 (n )令bn ，求数列bn的前n项和Tn .(n 1)an5.设等差数列an的前n项和为Sn ,且S44s2,a2n 2an 1 .12(I )求数列 an的通项公式;(D)设数列bn满足且旦a1 a2bn,1.*一 1 n-, n N，求bn的刖 n项和 Tn.an26.已知等差数列an满足：a3 7, a5 a726. an的前n项和为Sn .(I )求3及Sn ；1， 一 一*、 . . .一一 . . 一(n )令bn(n N ),求数列bn的前n项和Tn.an 11 97.在数列an中，a1

3、1,2an 1(1 -) an .n(I )求an的通项公式；.1( n )令bn an 1 an,求数列bn的刖n项和Sn ； 2(出)求数列an的前n项和Tn.8.已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4.(I )求数列an的通项公式；(10 设 bn (4 an)qn1(q 0, n N *),求数列 回的前 n 项和 Sn .*29 .已知数列an满足ai 0色 2,且对 m,n N都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2(m n) .(i )求 a3, a5; *(n)设bn a2n 1 a2n 1(n N ),证明：bn是等差数列；(出)设 cn (an 1 an)q

4、n1(q 0,n N *),求数列cn的前 n 项和 Sn .10 .已知数列an是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a3a655,a2 a7 16 .(I )求数列an的通项公式；(n)数列J an和数列J bn满足等式an旦与与-bn(nN *),求数列bn的前n项和Sn.222211 .已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且Si,S2,S4成等比数列.求数列an的通项公式；人n 1 4n 一 _(2)令b2 ( 1)，求数列bn的前n项和Tn.anan 112.正项数列an的前n项和Sn满足：S： (n2 n 1)S0 (n2 n) 0.求数列an的通项公式an ；n 1 *5

5、(2)令bn 2-,数列bn的前n项和为Tn,证明：对于 n N ,都有Tn .(n 2) an64答案：1. A; 2. B3 .解：(I )设数列an的公比为 q,由 a32=9a2a6有 a32=9a42,，q2J. y由条件可知各项均为正数，故q=i.由 2ai+3a2=1 有 2ai+3a1q=1,ai=.1-(n)S含+bn n (n+1)-+.-+.如b2-2 (1 故数列a n的通项式为a=-2 (1-n n+1)+,+ (1-3 n n+1)=一的前n项和为- %4 .解：(I )由正项数列an满足： / - (2nT) an 2n=0, 0ri可有(an - 2n) (an

6、+1) =0an=2n.1- bn=-=J (工一一)，(口+D、2n(n+1)2 n n+1Tn= (1 -工-工+=门22 23 n n+12n+12n+2数列b n的前n项和Tn为. 2n+25.解：(I )设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2, a2n=2an+1有:伊i押在8a+4d1+ (2n _ 1) d= 282 (n-1)L J.1解有 a1=1, d=2.工211,1I1一人当 n>2 时，一=(1 - -) ( 1，n=1 时符合.a 戊 2n?旷1 2n-n-, n C N2n*由(I)知，an=2n - 1, n C N .* n C N&quo

7、t;+22232b - 3 2n - 1+6.解：(I )设等差数列a n的公差为d,泮2户一rd-l 1 an,5VF，又 n=1 时, (n+1) 2 2 /故数列金构成首项为1,公式为之的等比数列. n工. a 3=7 , a5+a?=26)f短2届7，有，Jai+lCId= 26解有 ai=3, d=2,a n=3+2 (n 1) =2n+1;2 ,&='口=n+2n；(n )由(I )知 an=2n+1,=:=-' - +1)之-1 In 31)4 n n+1.Tn=L( 一工J. _十J.L)(1 )=4 12卷 37n+1，4 'n+14 (n+1

8、)即数列b n的前n项和Tn=一上r4 (n+1)7 .解：(I )由条件有(n)由bn二(n+1) 22 n2112n+l子有十型i2rls -A+2n- 1 2n+l2rl 2 向两式相减，有:Ac 2Sn"21212rd-l而1(m)由江2+03十一+0什1)有功，十日rrM /丁门一 /2 .Tn=2Sn+2a1- 2an+1=12 - n +4n+62 口7由已知有8 a1 +28< - 48 .解：(I )设an的公差为d,解有 ai=3, d= - 1故 an=3+ (nT) ( 1) =4n;.，-一 ，.一 >_ n - 1(n )由(I )的解答有，b

9、n=n? q , &=1? q0+2? q1+3? q2+n? qn 11-2-3若qw1,将上式两边同乘以q,有 qSn=1? q +2? q +3? q + +n? q .上面两式相减，有(q-1) Sn=nqn- ( 1+q+q2+- +qn 1)=nqq11-1q- 1是Sn=nq* ("1)q'lQI) 2若 q=1,则 Sn=1+2+3+- +n=n (n+1)nq同一 (n+1) q'ls='(q-1) 29 .解：(I )由题意，令 m=2, n=1,可有 a3=2a? a+2=6再令 m=3, n=1,可有 a5=2a3 - a1+8

10、=20 (n)当nCN时，由已知(以 n+2代替 成 可有a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8是a 2( n+1)+1 a?( n+1)t ( a2n+1 a?n - 1 ) =8即 bn+1 - bn=8，bn是公差为8的等差数列（出）由（1）（ n）解答可知bn是首项为bi=a3- ai=6,公差为8的等差数列则 bn=8n 2,即 a2n+i a2n-i=8n 2另由已知（令m=D可有-2n+1=2nn 1于是Cn=2nq当 q=1 时，Sn=2+4+6+2n=n (n+1)当 qwi 时，&=2? q°+4? q1+6? q2+2n? qn V两边同乘以q,可有q

11、Sn=2? q1+4? q2+6? q3+ - +2n? qn.上述两式相减，有(1-q) Sn=2 (1+q+q2+qn b - 2nqn=2? - - 2nqn=2? '"1-1 - q1 - qSn=2?(n+1)(q- 1) 2综上所述,rn (n+1)(Sn=L nq的一(却+l)q、lf 、2'(q-D 2JR10.解：（I）设等差数列an的公差为d,则依题意可知d>0由a2+a7=16,有，2a1+7d=16D由 a3a6=55,有(a1+2d) (a+5d) =552)，一、一 ，2ii由联立方程求，有 d=2, a1=1/d= - 2, &am

12、p;=- （排除）.an=1+ (n - 1) ? 2=2n - 1卜(n )令 Cn=,贝U有 an=Cl+C2 + +册211an+1=Cl+C2+-+Cn+1两式相减，有an+i an=Cn+i,由(1)有 ai=1, an+1 - an=2 C n+1=2, 即 Cn=2 (n>2),即当n>2时,bn=2n+1,又当 n=1 时，b1=2a1=2f2, (n=l)bn-于是 Sn=b1+b2+b3+ - +bn=2+23+24+2 n+1=2n+2 6, n>2,.-2X1 一一 一11.解 (1)因为 S=a1, S2= 2aH-2-x2 = 2a1+2,4X3&

13、amp;=4ad2-* 2 = 4a1 + 12,由题意得(2a1+2)2= &(4a+12),解得 a1=1,所以 an=2n1.(2) bn=(-1)n 1 4nn 14n=(-1)- anan+1(2 n- 1)(2 n+1)(-1)n 1(T- + T-).2n- 1 2n+1当n为偶数时,T=(1 +1) (：+!) + (- + -) -(- + -) = 1- '3，'3 5'2n3 2n-1'2n1 2n+1，2n+12n2n+ 1.当n为奇数时,下=(1 +") -("+1)(tt + r-) +(t-+t-) = 1 + T-=|n-2.'3，'3 5'2n3 2n-1 '2n1 2n+1，2n+1 2n+1所以Tn =2n+22n+ 1'2n2n+ 1'n为奇数,n为偶数.(或 Tn =2n+1+ ( 1)2n+1n -1)12. (1)解 由 S2( n2+n1) S(n2+n) = 0,得&(n2+n)( &+1)=0,由于an是正项数列，所以 3+1>0.所以 &= n2+ n(n C N