关于实数七个基本定理等价性的证明

1、关于实数七个基本定理等价性的证明夏小月中山大学应用数学04级从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是：戴德金连续性准则单调有界有极限定理确界定理区间套定理Borel有限覆盖定理Bolzano-Weierstrass定理Cauchy收敛原理书上证明各定理的思路是：从出发证明及，并证明、相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。由及此加强结论可证出，再由分别证出及，由证出。下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：详细证明如下：已知有区间套满足，。要证存在唯一的，且记全体上界组成的集合为，。由，知。显然，且，故知不空；

2、由知不漏；，由于不是的上界，因此存在，使。而是上界之一，所以，故，即，故不乱，因此构成实数的一个分划。由知，存在唯一的r，有。下证，即若，使，则，因此，而，与矛盾。同样，若，使，则，因此，而，与矛盾。也即。下证：时， ，即最后证明是唯一的，若，使，由知，令得矛盾，至此区间套定理得证。已知实数分划，求证存在唯一的使，。任取，用中点二等分，若，则记，否则记；再用中点二等分，若，则记，否则记。如此进行下去得一区间序列，显然，且。因此为区间套。由知，存在唯一的满足，且。下证，用反证法：若存在，使，则取，时，。这与是实数分划相矛盾。同理，若存在，使，则取，时，。这与不乱相矛盾。故的存在性得证，下证唯一性

3、：若，不妨设，则。若，则，矛盾；若，则，矛盾，故，与不漏矛盾。得证。必要性：若极限存在，设，则时，故当,，必要性得证。充分性：若时，取，则，时，令；则记，将三等分，则分点为及，在及中至少有一个闭子区间只含中的有限项，否则，取， ，存在，满足而，矛盾。设只含有限项的闭子区间（之一）为，记，则，再三等分，重复如上步骤，进行下去得一区间套，由知，存在唯一的使得有区间套的构造可知，中只含中的有限项，即中含自某项起之后的所有项，不妨设为后的所有项。时，而对于，含有自后的所有项因此只要，有，即，即。充分性得证，得证。已知有区间套，有时若，不妨设，则由知、收敛，又，记。下证，用反证法：若，使，由单调上升知时

4、，令得，矛盾。同样，若，使，由单调下降知时，令得，矛盾。，即至于的唯一性，若，使，由知，令得矛盾。存在并唯一，得证已知单调上升有上界，要证存在。用反证法：若不存在，即，存在，使，不妨设。取，使取，使取，使上述k个不等式相加，有： （）取，则时，这与是上界矛盾。时，由知，极限存在，类似可证若单调下降有下界，也存在已知有界，要证有收敛子列，首先证明必有单调子列。若，则称有性质。只可能出现两种情况：中有无穷多项有性质。则可从这些项中取，满足，则。为一单调递减的子列。中只有有限项有性质，记最后一项具有性质的点为，则，使 取，使；对于，使；对于，使，如此下去，得到一单调递增子列故可知有界数列必有单调子列

5、有界故有界，由知收敛得证已知单调上升有上界，则有收敛子列，设时取，则只要，必，使，从而，故，即同理可证单调下降的情况，得证已知非空数集有上界，要证明有上确界任取，记，则不是上界，是上界；若是的上界，则记，否则记，；若是的上界，则记，否则记，；如此继续下去，得到两数列，且，非上界，为上界，且单调递增，单调递减，且显然，使，有上界，有下界。由知、均存在，又，记由过程中知，若使，则取。，时，则不是上界，矛盾。，即是上界。时，不是上界，使，是的上确界同理可知非空数集若有下界则必有下确界。得证设有一个开覆盖，定义数集。，使，非空。由的定义知，若，则，故若无上界，则，也即有的有限子覆盖。若有上界，由知有上

6、确界。若，则，使，有的有限子覆盖。而显然被覆盖，又知道，这与矛盾，有的有限子覆盖。得证已知有一区间套，要证存在唯一的，且。用反证法。，、极限若存在则必在内。若不存在，即，使构造的一开覆盖，由知有的有限子覆盖。，使，即，而由的加强形式知，只要，则存在中一个区间，覆盖。时，而时，也即存在一开区间将，及后面的项全部覆盖，这与中任一区间都不能覆盖自某项后所有项矛盾。存在，同理存在。由知。记。用反证法易推出，若，由单调递减知使，令得，矛盾，同理知。的唯一性显然，由极限唯一性亦可得知。得证至此，七个实数基本定理等价性得到证明。在上述证明中，之充分性证明方法，中有界数列必有单调子列的事实，中所用到的Lebesgue方法，均参考了数学分析习题课讲义，或从中受到启发。覆盖定理的加强形式：若区间的一个开覆盖，则，使得对于区间中的任何两个点，只要，就存在开覆盖中的一个开区间，它同时覆盖（称这个数为开覆盖的Lebesgue数）证明：首先用覆盖定理，得到的一个有限子覆盖，即开覆盖的中的有限个开区间，它们的并覆盖了，将这有限个开区间的所有端点按大小顺序排列，去掉其中可能有重复的点，记为，并记这个端点集为，现在令现在证明这就是所求的Lebesgue数：任取，使，则有两个可能与之间无中的点，于是覆盖或其中一个点的（每个）开区间必同时覆盖另一个点与之间有中的