教师招聘考试数学专业知识通版讲义

1、第一部分小学数学第一章数与代数第一节数的认识一i、基础知识（一）整数：1 .整数的读法和写法例：“3121700”读作：三百一k二万一千七百2 .整数的近似数“四舍五入”3 .整数的运算加法：减法：乘法：除法：四则混合运算：4 .自然数：5 .数的整除：整数a除以整数b（bw0）,除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b （bw0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因 数）。倍数和约数是相互依存的。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被 3整除。一个数

2、各位数上的和能被 9整除，这个数就能被 9整除。能被3整除的数不一定能被 9整除，但是能被9整除的数一定能被 3整除。一个数的末两位数能被 4 （或25）整除，这个数就能被 4 （或25）整除一个数的末三位 数能被8 （或125）整除，这个数就能被 8 （或125）整除。偶数、奇数一个数，如果只有 1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了 1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。注意：1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫

3、做分解质因数。几个数公有的约数， 叫做这几个数的公约数。 其中最大的一个，叫做这几个数的最大 公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时， 这个合数和这个质数互质。几个数公有的倍数， 叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个，叫做这几个数的最小 公倍数。（二）小数：1 .小数的读法和写法：2 .小数的分类：纯小数、带小数有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数

4、无限循环小数：一个数的小数部分， 有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。（三）分数：1 .分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 .分数的分类真分数：假分数：带分数：3 .约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4

5、.百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用"”来表示。百分号是表示百分数的符号。（四）常见的量1 .时间2 .长度3 .面积4体积5溶积6质量二、能力训练1 . 一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被 2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作,读作。2 .三个连续奇数的和是 645。这三个奇数中，最小的奇数是 。3 .在一条长50米的大路两旁，每隔5米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽 棵树。4 .被减数减去减数，差是 0.4 ,被减数、减数

6、与差的和是2,减数是。5 .两个数的积是 45.6 , 一个因数扩大 100倍，另一个因数缩小到原来的工，积是104 人，6 . 4的分数单位是 ,它含有 个这样的单位，它的倒数是77 . 3的分子加上12,要使分数的大小不变，分母应加上 。 78 .一个三位小数，保留两位小数取近似值后是5.60 ,这个三位小数最小是=,最大是O9 .5是8的% 8是5的% 5比8少%, 8比5 多%。10 .自然数按因数的个数分，可以分为（）.A.奇数和偶数B.素数和合数C.奇数、偶数和1D.素数、合数、0和111 .已知a+b=5, （a、b均为自然数），则a和b两个数的最大公因数是（）。A.5B.bC.

7、aD.112 .分数单位是1/11的最大真分数和最小假分数的和是（A. 21/11B.2C.20/11D.113 .下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（）。A.质数与合数B.奇数与偶数C.质数与质数D.偶数与偶数14 .把210分解质因数是（A.210= 2X 7X 3X 5X 1C.210= 3X 5X 2X 715 .两个奇数的和（）。A.是奇数C.可能是奇数，也可能是偶数16 .一个合数至少有（）A.1B.217 .有4、5、7、8这四个数,B.210 = 2X 5X 21D.210=2X5X21X 1B.是偶数D.一定不是奇数个约数。C.3D.4能组成（）组互质数。A.3B.4C.

8、5D.618 .四位数“ 3AA1”是9的倍数，则 A=.19 .能同时被2, 3, 5整除的最大三位数是 20 .所有能被3整除的两位数的和是。三、拓展提高1 .在10以内任意选两个不同的素数，就可以写一个分数， 其中最小的是 O2 .如果A和B是自然数，并且 A+ B=5.那么A和B的最小公倍数是一，5是的因数。3 .两个素数的和是 31,这两个素数的积是 。4 .将循环小数3.&0&和0.2&&转换成分数。5 .有三十个数：1.64,1.64+ 工，1.64+ ,1.64+28, 1.64+空，如果取每 30303030个数的整数部分（例如：1.64的整数

9、部分是1,1.64+ 11的整数部分是2）。并且将这些的整30数相加，那么它们的和是多少？6 .设一个五位数abcad ,其中d-b=3,若这个数能被11整除，则a的范围是c=7 .能同时被2,5,7整除的最大五位数是8 .六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为多少?A.X=9, Y=4B.X=7, Y=4C.X=9, Y=8D.X=8, Y=49 .有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，最少要把这些苹果和梨分成 堆。10 .有两个容器，一个容量为 27升，一个容量为15升，如何利用他们从一桶油中倒出 6升油来?第二节比与比例一

10、i、基础知识1 .比的意义和性质(1)比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项(比的后项不能是零)。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。根据分数与除法的关系， 可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。(2)比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。(3)求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项， 它的结果是一个数值可以是整数，也可以

11、是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。(4)比例尺数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。2 .比例的意义和性质(1)比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。(2)比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。(3)解比例根据比例的基本性质， 如果已知比例中的任何三项， 就可以求出这个数比例中的另外一 个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3 .正比例

12、和反比例(1)成正比例的量两种相关联的量， 一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数 的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k (一定)(2)成反比例的量两种相关联的量， 一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数 的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x x y=k( 一定)二、能力训练2 -，一1 .在比例中，两个内项的积是 6,其中一个外项是 £,另一个外项 。32 .如果y=5x ,那么x和y成 比例。3 .一幅地图上用5厘米表示实际距离 2

13、0千米，这幅地图的比例尺是 。4 .1.2千克：250克化成最简整数比是,比值是。5 .一个三个角形三个内角度数的比是1 ： 4 ： 1,这是一个 三角形。6 .如果 7x=8y ,那么 x : y=。7 .男生人数比女生多 20%,则女生人数与男生人数的比是 ,女生比男生少 O8 .已知甲数的1/6相当于乙数的1/5 ,那么甲数的一半相当于乙数的。9 .把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量.（）A.成正比例B.成反比例C.不成比例10 .和一定，加数和另一个加数.（）A.成正比例B.成反比例C.不成比例11 .在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（）

14、,成反比例关系是（）.A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数.B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数.C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数.三、拓展提高1 .把280棵树苗栽在两块长方形地上，一块长 15米，宽8米；另一块长12米，宽4 米，如按面积大小分配栽种，这两块地分别要栽多少棵？2 .配制一种农药，其中药与水的比为1 ： 150。要配制这种农药 755千克，需要药和水各多少千克？有药3千克，能配制这种农药多少千克？如果有水525千克，要配制这种农药，需要放进多少千克的药?第三节计算和巧算一i、基础知识1.运算定律(1)加法交换律：a+b=b+a。(2)加

15、法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。(3)乘法交换律：axb=bxa。(4)乘法结合律：(ax b)x c=ax (bx c)。(5)乘法分配律：(a+b)x c=ax c+bxc。(6)减法的性质：a-b-c=a-(b+c)。2.运算顺序(1)小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。(2)分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。(3)没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算 加减法。(4)有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。(5)第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。(6)第二级运算：乘法和除法叫做第二级运

16、算。二、能力训练1 .有13个自然数，小红计算它们的平均数精确到百分位是12.56 ,老师说最后一个数字写错了，那么正确的答案应该是 。2 .直接写出得数：11(1) - - (2) 8.5+0.01=4 5一 9(3) 0.1X99-0.1=(4) (0 27 ) 10(5) 27.25 X 4+ 27.25 X4=(6)777X9+111 X 37= 1 + 0.625=(8) 512 8 93.计算下列各题：(1) 123+234+345+456+567+678(2) 789X 788788-788 X 789789(4) 0.888125(3) 1627+270错误！未找到引用源。18

17、X25X 73+999 X 3(5) 6789 X 6789-6790 X 6788三、拓展提高1. (1)112 3 4116 7 8 9 7 8 9 10(2)17 18 19 202. (1) (111111111111111)()(1)()2342 3 4 52 3 4 52341111111111111111(211 21 31 4121 31 41 5111 21 31 41 5121 31 41第二章空间与图形第一节平面图形一i、基础知识1 .长方形(1)特征：(2)计算公式：c=2(a+b); s=ab。2 .正方形(1)特征：(2)计算公式：c=4a, s=a23 .三角形(

18、1)特征：(2)计算公式：s=ah/2。(3)分类：按角分锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：按边分不等边三角形：等腰三角形：等边三角形：4 .平行四边形(1)特征：(2)计算公式：s=ah。5 .梯形(1)特征：(2)计算公式：s=(a+b)h/26 .圆(1)圆的认识圆心：半径：直径：(2)圆的画法：(3)圆的周长：C =兀d, C=2tt r (d是直彳5, r是半径)（4）圆的面积：s=7t r27 .扇形（1）扇形的认识：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。2、一 一 ， n r（2）扇形面积计算公式：。3608 .环形

19、（1）特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。（2）计算公式：s=n （R2-r2）o9 .轴对称图形特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有4条对称轴，长方形有 2条对称轴。等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有 3条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。二、能力训练1 .一个平行四边形底缩小 10倍，高扩大10倍，这个平行四边形的面积 （）A.大小与原来相等B.缩小10倍,它的面积（） D.无法比较C.扩大10倍D.扩大100倍2 .将一个长方形拉成

20、一个平行四边形（四条边长度不变）A.比原来小B.比原来大C.与原来相等3 .两个完全一样的直角三角形，不可能拼成一个（）。A.梯形B.正方形C.三角形D.平行四边形4 .在面积为42平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是A.215.周长都相等, A.正方形6.面积都相等, A.正方形B.30C.14）的面积最大。B.长方形C.圆）的周长最大。B.长方形C.圆D.42D. 一样大D.三角形7.下列叙述中，正确的是（）A.只有一组对边平行的四边形是梯形B.矩形可以看作是一种特殊的梯形C.梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D.梯形的对角互补8 .等腰梯形的上底与高相等，下底是

21、上底的3倍，则底角的度数是（）A. 30o和 150oB. 45o和 135oC. 60o和 120oD.者B是 90o9 .菱形和矩形一定都具有的性质是（）A.对角线相等.C.对角线互相垂直.B.对角线互相平分.D.每条对角线平分一组对角.10 .下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形11 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形三、拓展提高1 .将一个平行四边形拼成一个长方形，面积,周长;将一个平行四边形拉成一个长方形，面积,周长。（填“增大”或者“减小”）A.变大B.变小C.不变D.无法比较2 .能拼成一个平行

22、四边形的两个三角形必须具备（）。A.面积相等B.形状相同C.完全一样D.任意两个均可3 .周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，（） 面积最大。A.正方形B.长方形C.平行四边形D.无法比较4 .把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（） 总是相等的。A.高B.面积C.上、下底的和D.无法确定5 .一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，如果平行四边形的高是6厘米，那么三角形的高是（）厘米。A.6B.3C.12D.186 .一个梯形的上底长 36dml如果补上一块底为 64dn面积为64dm2的三角形，就变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是（）。A.200dm2B

23、.136dm2C.272dm2D.68dm2第二节空间图形一i、基础知识（一）长方体1 .特征：2 .计算公式：s=2（ab+ah+bh）, V=sh, V=abh （a表示长，b表示宽，h表示高）。（二）正方体1 .特征：2 .计算公式：S表=6a2, v=a3 （a表示棱长）。（三）圆柱1 .圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面 之间的距离叫做高。2 .计算公式：S表=$侧+$底X2, V=sh/3。（四）圆锥1 .圆锥的认识：2 .计算公式：V=sh/3。二、能力训练1. 一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等，那么体积比较A.正方

24、体大B.圆柱体大C.两者一样大D.无法判断2. 一个圆锥的底面半径和高都扩大2倍，体积扩大了A. 12 倍B.8 倍C.4 倍D.6倍4厘米的正方体的体积相等，圆锥D.12厘米3. 一个底面积为24平方厘米的圆锥体和一个棱长为 的高是（）。A.3厘米B.4厘米C.8厘米4.圆柱底面直径是圆锥底面直径的1/2 ,如果高相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的）A.135.把一个棱长B.6c.34d.32分米的正方体锯成两个长方体，表面积总和（A.不变B.增加4平方分米C.增加8平方分米D.不一定第三章统计与可能性一i、基础知识(一)统计：1 .条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成

25、长短不同的直条,然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出各种数量的多少。2 .折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各 点用线段顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。3 .扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。4 .平均数：中位数：众数：(二)可能性：随机事件的概率二、能力训练1 .从标有1, 2, 3, 4的四张卡片中任抽一张。(1)抽到卡片“ 1”的可能性是 。(2)抽到卡片“ 2”、“4”的可能性是 。(3)抽到数字

26、小于4的卡片的可能性是。2. 口袋里有大小相同的 6个球，1个红球，2个白球，3个黄球，从袋中任意摸出一个 球。(1)摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少？(2)摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少？(3)摸出不是红球的可能性是多少？3 .盒子装有15个球，分别写着1 15各数。如果摸到是 2的倍数，小刚赢，如果摸到 不是2的倍数，小强赢。(1)这样约定公平吗？为什么？(2)小强一定会输吗？4 .某商品举行促销活动， 前100名的购买者可以抽奖，一等奖 20个，二等奖30个，三 等奖50个。(1)这次抽奖活动，中奖的可能性是 。(2)第一个人抽奖中一等奖可能性是 ,中二等奖的可能性是 , 中三

27、等奖的可能性是。(3)抽奖到一半，已经有 8人中一等奖，15人中二等奖，24人中三等奖。这里李明第 51个抽奖，中一等奖的可能性是 ,中三等奖的可能性是 ,中三等 奖的可能性是。5 .下面记录的是五(3)班第1组女生的一次跳远成绩。(单位：mD6 .83 3.32 2.75 3.17 2.58 2.65 3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52(1)这组数据的中位数，平均数各是多少？(2)用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？(3)如果2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？6.8个数的平均数是2.1 ,前3个数的平均数为 2.6 ,后4个数的平均数为1.4

28、 ,第四个 数是多少？第四章实践与综合应用1 .归一问题含义：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题数量关系：总量一份数=1份数量1份数量X所占份数=所求几份的数量另一总量+ （总量+份数）=所求份数解题思路：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。2 .归总问题含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、 几小时行的总路程等。数量关系：1份数量X份数=总量总量+1份数量=份数总量+另一份数=另一每份数量解题的思

29、路和方法：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。3 .和差问题含义：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。数量关系：大数=（和+差）+2小数=（和一差）+2解题思路和方法：简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。4 .和倍问题含义：已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。数量关系：总和+ （几倍+ 1）=较小的数总和一较小的数=较大的数较小的数X几倍=较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。5 .差倍问题含义：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是

30、大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。数量关系：两个数白差一 （几倍1）=较小的数较小的数X几倍=较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。6 .倍比问题含义：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。数量关系：总量一个数量=倍数另一个数量x倍数=另一总量解题思路与方法：先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。7 .相遇问题含义：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问数量关系：相遇时间=总路程+ （甲速+乙速）总路程=（甲速+

31、乙速）x相遇时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。8 .追及问题（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不含义：两个运动物体在不同地点同时出发 同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较 慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系：追及时间=追及路程+ （快速慢速）追及路程=（快速慢速）X追及时间解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。9 .植树问题含义：按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要棵数=距离一棵距+ 棵数=距离一棵距

32、棵数=距离一棵距- 棵数=距离一棵距-棵数=面积+ （棵距X行距）求第三个量，这类应用题叫做植树问题。数量关系：线形植树环形植树方形植树（端点不植树）三角形植树（端点不植树）面积植树解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。10 .年龄问题含义：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是， 两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。数量关系：年龄问题往往与和差、和倍、 差倍问题有着密切联系， 尤其与差倍问题的解 题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。11 .行船问题含义：行船问题也

33、就是与航行有关的问题。 解答这类问题要弄清船速与水速， 船速是船 只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度； 水速是水流的速度，船只顺水航行的 速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。数量关系：（顺水速度+逆水速度）+2 =船速（顺水速度逆水速度）+2 =水速顺水速=船速X 2逆水速=逆水速+水速X 2逆水速=船速X 2顺水速=顺水速水速X 2解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。12 .列车问题含义：这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。数量关系：火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）+车速火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）+

34、 （甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）+ （甲车速+乙车速）解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。13 .时钟问题含义：就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、 两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。一 11 一， ,量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为 11。通常按追及问题来对待,12也可以按差倍问题来计算。解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式。14 .盈亏问题含义：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品

35、数，这类应用题叫做盈亏问题。数量关系：一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数=（盈+亏）+分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈小盈）+分配差参加分配总人数=（大亏小亏）+分配差解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。15 .工程问题含义：工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水 渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表

36、示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量=工作效率X工作时间工作时间=工作量+工作效率工作时间=总工作量+ （甲工作效率+乙工作效率）解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式。16 .正反比例问题含义：两种相关联的量， 一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量， 一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数 的积一定，这两种量就叫做成

37、反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。数量关系：判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。解题思路和方法：解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比 例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。17 .按比例分配问题含义：所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。数量关系：从条件看，已知总量和几个部分量的比； 从问题看，求几个部分量各是多

38、少。 总份数=比的前后项之和解题思路和方法：先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再 按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。18 .百分数问题含义：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。 分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%'。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%两个百

39、分点就是 2%数量关系：掌握“百分数”、“标准量” “比较量”三者之间的数量关系：百分数=比较量+标准量标准量=比较量+百分数解题思路和方法：一般有三种基本类型：(1)求一个数是另一个数的百分之几；(2)已知一个数，求它的百分之几是多少；(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有:增长率=增长数+原来基数X100%合格率=合格产品数+产品总数X100%出勤率=实际出勤人数+应出勤人数X100%出勤率=实际出勤天数+应出勤天数x100%缺席率=缺席人数+实有总人数x100%发芽率=发芽种子数+试验种子总数x100%成活率=成活棵数

40、+种植总棵数x100%出粉率=面粉重量+小麦重量x100%出油率=油的重量+油料重量X100%废品率=废品数量+全部产品数量X100%命中率=命中次数+总次数X100%烘干率=烘干后重量一烘前重量X100%及格率=及格人数+参加考试人数X100%19 .“牛吃草”问题含义：“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的 特点在于要考虑草边吃边长这个因素。数量关系：草总量=原有草量+草每天生长量x天数解题思路和方法：解这类题的关键是求出草每天的生长量。20 .鸡兔同笼问题含义：这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有 多少只的问题，叫做第一鸡兔

41、同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是兔数=(2X鸡兔总数鸡与兔脚之差)+ (4 + 2)鸡数=(4 X鸡兔总数十鸡与兔脚之差)+ (4 + 2)多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 数量关系：第一鸡兔同笼问题 假设全都是鸡，则有 假设全都是兔，则有 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 假设全都是兔，则有解题思路和方法：兔。如果先假设都是鸡,置换问题。通过先假设,21.方阵问题解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡， 也可以假设都是然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫 再置换，使问题得到解决。含义：将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵） ，根据

42、已知条件求总人数或总 物数，这类问题就叫做方阵问题。数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数一1）X4每边人数=四周人数+ 4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数X每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）一（内边人数）内边人数=外边人数一层数X2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数层数）x层数X 4解题思路和方法：方阵问题有实心与空心两种。 实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。22 .商品利润问题含义：这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损 率等方

43、面的问题。数量关系：利润=售价-进货价利润率=（售价进货价）+进货价X100%售价=进货价X （ 1+利润率）亏损=进货价-售价亏损率=（进货价售价）+进货价X100%解题思路和方法：简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。23 .存款利率问题含义：把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有 关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数； 月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。数量关系: 年（月）利率=利息+本金+存款年（月）数X 100%利息=本金X存款年（月）数X年（月）利率本利和=本金+利息=本金X 1+年（

44、月）利率X存款年（月）数解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。二、能力训练24 东西两城相距75千米，小东从东向西而走，每小时 6.5千米；小希从西向东而走， 每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走 15千米。三人同时动身，途中小 辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？25 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？26 甲乙两车原来共装苹果 97筐，从甲车取下14筐放

45、到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？27 甲乙丙三数之和是 170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?28 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？29 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？15千米，乙每小时行 13千米,30 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。31 兄妹二人同时由家上学， 哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时

46、发现忘记带课本，立即沿原路回家去取， 行至离校180米处和妹妹相遇。 问他们家离学校有 多远？32 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。33 .一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？34 .甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是

47、多少？35 .甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？36 .一列火车穿越一条长 2000米的隧道用了 88秒，以同样的速度通过一条长 1250米的 大桥用了 58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？37 .四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?38 .修一条公路，如果每天修 260米，修完全长就得延长 8天；如果每天修 300米，修 完全长仍得延长 4天。这条路全长多少米？39 .学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？40 .一个水池，底部装有一个常开的排

48、水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要 5小时才能注满水池；当打开 2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用 2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？41 .修一条公路，已修的是未修的1/3 ,再修300米后，已修的变成未修的 1/2 ,求这条 公路总长是多少米？42 .学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？ 143 .从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的-,2二儿子分总数的1 ,三儿子分总数的1 ,并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只39羊

49、。21 .红旗化工厂有男职工 420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百 分之几？22 .一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完？23 .一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可 以淘完？24 .有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃 3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和 尚各多少人？25 .有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52人，最内层人数是 28人，这队 学生共多少人？26 .某种商品，甲

50、店的进货价比乙店的进货价便宜10%甲店按30%勺禾1J润定价，乙店按20%勺利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。27 .李大强存入银行1200元，月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。28 .银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%如果甲乙二人同时各存入 1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五 年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？三、拓展提高1 .某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4小时，飞去时速度为 900千米/小时，飞回时速度为850千米/小时。问该飞机最远飞出多少千米就返

51、回？（保留整数）2 .某人执行爆破任务时， 点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑， 其奔跑速度为7米/ 秒。已知导火线燃烧的速度是 0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）3 .老师在黑板上写了 13个数，让小明求平均数（保留到两位小数），小明的答案是12.43。 老师说最后一位数字错了，其他的都对。正确的答案是什么？4 .小红看一本书，第一天看了全书的4/7 ,第二天看了剩下的3/5 ,还剩42页没有看，这本书共多少页？5 .鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔?6 .一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，

52、刘冬考了 52分，你知 道刘冬做对了几道题？第二部分中学数学第一章数与代数1.实数的分类实荆正基数（自然数） 整数零有展效，员整数分奴正分散负分数 蜘止无理数 兀拜皈1.工画叫 员无理数无理数是无限不循环小笠如 正实数卜有神 E无理数 实数、零贞实行理小嚣 负无逆敌2.数轴，绝对值，相反数数轴：原点、正方向、单位长度。绝对值:相反数：3.有理数的运算加法法则：减法法则：乘法法则：除法法则：百邪d臂并口舌版循环d阁4.整式（定义及运算）（1）单项式：都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。（3）整式：单项式和多项式统称为整式。（4）同类项：（5）整式的乘法：5.平方（根）、立方（根）二、能力训练,1 ,，1 .的绝对值是（）6A.1B, 1662.下列结论正确的是（）A.（6）26C. . （ 16）2163.下列各组数中互为相反数的是A. 2与-2 -2）2C. 2与（2）2C. - 6D. 6B.(3)2