2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

1、2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1已知集合A=2，1，B=1，2，3，则AB=2已知复数z满足z（1i）=2，其中i为虚数单位，则z=3方程lg（x3）+lgx=1的解x=4已知f（x）=logax（a0，a1），且f1（1）=2，则f1（x）=5若对任意正实数a，不等式x21+a恒成立，则实数x的最小值为6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=7中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为8如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的

2、直角边成为1，那么这个几何体的表面积是9已知互异复数mn0，集合m，n=m2，n2，则m+n=10已知等比数列an的公比q，前n项的和Sn，对任意的nN*，Sn0恒成立，则公比q的取值范围是11参数方程，0，2）表示的曲线的普通方程是12已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件14若方程f（x）2=0在（，0）内有解，则y=f（

3、x）的图象是（）ABCD15已知函数（0，2）是奇函数，则=（）A0BCD16若正方体A1A2A3A4B1B2B3B4的棱长为1，则集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的个数为（）A1B2C3D4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥PACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角18已知函数（a0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）f（x）219一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、

4、B在一直线上，并与航线成角（0°90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东（0°90°）方向，0°+90°，求CB；（结果用，b表示）20过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|OB|是一个定值21设数列an的前n项和为Sn，若（nN*），则称an是“紧密数列”；（1）若a1=1，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若an为等差数列，首项a

5、1，公差d，且0da1，判断an是否为“紧密数列”；（3）设数列an是公比为q的等比数列，若数列an与Sn都是“紧密数列”，求q的取值范围2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1已知集合A=2，1，B=1，2，3，则AB=1【考点】交集及其运算【分析】利用交集的定义求解【解答】解：集合A=2，1，B=1，2，3，AB=1故答案为：12已知复数z满足z（1i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】复数方程两边同乘1i的共轭复数，然后化简即可【解答】解：由z（1i）=2，可

6、得z（1i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i故答案为：1+i3方程lg（x3）+lgx=1的解x=5【考点】对数的运算性质【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案【解答】解：由lg（x3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5故答案为：54已知f（x）=logax（a0，a1），且f1（1）=2，则f1（x）=【考点】对数函数图象与性质的综合应用【分析】由题意可得f（2）=loga2=1；从而得到a=；再写反函数即可【解答】解：由题意，f1（1）=2，f（2）=loga2=1；故a=；故f1（x）=；故答案为

7、：5若对任意正实数a，不等式x21+a恒成立，则实数x的最小值为1【考点】二次函数的性质【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围【解答】解：对任意正实数a，不等式x21+a恒成立，等价于ax21，a（x21）max0（x21）max1x1实数x的最小值为16若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4故答案为：47中位数为1010的一组数构成等差数

8、列，其末项为2015，则该数列的首项为5【考点】等差数列【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：58如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形

9、与一个等边三角形的面积的和，即：3×=故答案为：9已知互异复数mn0，集合m，n=m2，n2，则m+n=1【考点】复数相等的充要条件【分析】互异复数mn0，集合m，n=m2，n2，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn0，mn解出即可得出【解答】解：互异复数mn0，集合m，n=m2，n2，m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn0，mn由m=m2，n=n2，mn0，mn，无解由n=m2，m=n2，mn0，mn可得nm=m2n2，解得m+n=1故答案为：110已知等比数列an的公比q，前n项的和Sn，对任意的nN*，Sn0恒成立，则公比q的取值范围是（1，0）（0，+

10、）【考点】等比数列的前n项和【分析】q1时，由Sn0，知a10，从而0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围【解答】解：q1时，有Sn=，Sn0，a10，则0恒成立，当q1时，1qn0恒成立，即qn1恒成立，由q1，知qn1成立；当q=1时，只要a10，Sn0就一定成立；当q1时，需1qn0恒成立，当0q1时，1qn0恒成立，当1q0时，1qn0也恒成立，当q1时，当n为偶数时，1qn0不成立，当q=1时，1qn0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（1，0）（0，+）故答案为：（1，0）（0，+）11参数方程，0，2）表示的曲线的普通方程是x2=y（0x，0y2）【考点】参数方程化

11、成普通方程【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sin，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程【解答】解：0，2），|cos+sin|=|sin（+）|0，1+sin=（cos+sin）20，2故答案为：x2=y（0x，0y2）12已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间

12、，结合已知可得：，kZ，从而解得k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，结合已知可得：2=，从而可求的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），函数f（x）在区间（，）内单调递增，02kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间为：，kZ，可得：，kZ，解得：02且022k，kZ，解得：，kZ，可解得：k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，由函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，可得：2=，可解得：=故答案为：二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A

13、充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn0，由此可得“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案【解答】解：若“mn0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn0”是方程“mx2+ny2=1表

14、示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn0，故“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C14若方程f（x）2=0在（，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】根据方程f（x）2=0在（，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（，0）上有交点【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0

15、，+）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（，0）上有交点，故正确故选D15已知函数（0，2）是奇函数，则=（）A0BCD【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（x）+f（x）=0，不妨设x0，则x0则有：f（x）=x2+cos（x+），f（x）=x2sinx那么：x2+cos（x+）+x2sinx=0解得：（kZ）0，2）=故选：D16若正方体A1A2A3A4B1B2B3B4的棱长为1，则集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的个数为（）A1B2C3D4【考点】子集与真子集【分析】，i，j

16、1，2，3，4，由此能求出集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的个数【解答】解：正方体A1A2A3A4B1B2B3B4的棱长为1，i，j1，2，3，4，=（+）=+=1集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的个数为1故选：A三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥PACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OCAB，PO

17、=3，由此能出三棱锥PACO的体积（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角【解答】解：（1）圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，AB=8，OC=4，OCAB，PO=3，三棱锥PACO的体积VPACO=8（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，4，0），P（0，0，3），M（0，2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，），=（0，0，3），设异面直线MC与PO所成的角为，cos=，故异面直线MC与PO所成

18、的角为arccos18已知函数（a0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）f（x）2【考点】指数式与对数式的互化【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可【解答】解：（1）函数（a0），且f（1）=2，log2（a2+a2）=2=log24，解得a=2，f（x）=log2（22x+2x2），设t=22x+2x20，解得x0，f（x）的递增区间（0，+）；（2）f（x+1）f（x）2，log2（22x+2+2x+12）log2（22x+2x2）2=log24，22x+2+2x+1

19、24（22x+2x2），2x3，xlog23，x00xlog23不等式的解集为（0，log23）19一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角（0°90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东（0°90°）方向，0°+90°，求CB；（结果用，b表示）【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意，B=90°（+），PBC中，运用正弦定理可得结论【解答】解：由题意，B=90°（+），PBC中，PC=b，由正弦定理可得20过双曲线的右支

20、上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|OB|是一个定值【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），设A（m，2m），B（n，2n），由P为AB的中点，可得m+n=2，2m2n=4，解得m=+1，