用叠加法求挠度与转角

1、当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系.而且弯曲变形是很小的.因此，当 梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影 响是各自独立的。所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代 数和，这就是求解弯曲变形的叠加法.当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便 的.下面举例说明.例7-3图7-8所示简支梁，承受均布载荷q和集中力偶 Mo作用，已知 Mo =ql 2 。试求跨度中点的挠度fc和A截面的转角 9a。解：利用叠加法求解时，首先将 q , Mo同时作用下的简支梁（图7 -8

2、a ）,分解为q作用下的简支梁（图7-8b）和Mo作用下的简支梁 （图7 -8c ），然后，由表 7.1查取结果叠加。从表的第9栏查得均布载荷q作用下的中点挠度和A端面转角分别为Jqs 引城9 .上川 2AE1由表7.1第5栏查得集中力偶Mo作用下的中点挠度和 A端面转角分别为表，】简单栽带作用下聚的变形叠加以上结果，求得 q,M 0同时作用下的中点挠度和 A截面转角为5或，取/_ _ 2917rf - _ 384£Z _ _ 3842L _ 4 MJ_为产J = - - J - - 124£Z 3EI 8£2fc为负值，表示挠度向下.9a为负值，表示 A截面顺时

3、针转动.例7-4简支梁如图7 10a所示，在2a的长度上对称地作用有均布载荷q.试求梁中点挠度和梁端面的转角.c解：利用叠加法求解。由于简支梁上的载荷对跨度中点C对称，故C截面的转角应为零.因而从 C截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图 7 10b所示。梁上作用有均布载荷 q和支座B的反力Rb = qa.这样，悬臂梁上 B端面的挠度在数值上等于原梁中点C的挠度，但符号相反，B端面的转角即为原梁B端面的转角.经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便.由表7 - 1的第2栏查得，当集中力 Rb （=qa） 作用时（图7 10c ） , B端面的转角和挠度分别 为由表7 - 1的第4栏查得，当均

4、布载荷q作用时（图7 10d） , E截面的转角和挠度分别为4由于EB梁段上无载荷作用，所以 q引起B点的转角和挠度分别为2AE1 叠加上述结果，可得 B端面的转角和挠度分别为2AE1 6EI于是，原梁（图7 10a ）中点C的挠度fc为/c = -尸8 =-;7口-+ *（）'2AE1 a a例7-6某一变截面外伸梁如图 7 11a所示.AB 、 BC段的抗弯刚度分别为 Eli和EI2 ,在C端 面处受集中力 P作用，求C端面的挠度和转角.解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表7 . 1中的结果.为此，必须将外伸梁分为AB、BC两段来研究.首先假设梁的外伸段 BC是刚性的，研究由

5、于简支梁 AB的变形所引起的 C截面的挠度和 转角.然后，再考虑由于外伸段BC的变形所引起的 C截面的挠度和转角.最后将其两部分叠加，得 C截面的实际变形.由于假设BC段为刚性，故可将P力向简支梁 AB的B端简化，得P和Pa . P力可由B支座的反 力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。集中力偶 Pa引起B截面的转角（图7 11 b）由表6 .1查得a _丝23%它引起c截面的转角和挠度分别为在考虑BC段的变形时，可将其看作悬臂梁（图7 11c ），由表6 1查得，在P力作用下C截面的转角和挠角分别为将图7 11b 、 c中的变形叠加后，求得 C端面实际的转角和挠度分别为券801 +比2_ Pal Pa2AAVC_ Pai Fl_一彻一犯例7-7在悬臂梁AB上作用线性分布载荷，如图 7-12所示.试求自由端 B点的挠度.07-12解：本例同样可以应用叠加法求解.将图中 dx微段上载荷qdx看作集中力，查表 7-1的第3栏求 得微段载荷qdx作用下自由端B截面的挠度为根据题意，