概率论与数理统计期末考试试题及答案

1、概率论与数理统计期末考试试题（A）题号一二三四五六七八九T一T卜二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)1. D 2. A 3 . B 4. A 5. A 6.(1)(2)设随机变量X其概率分布为X_P则 PX 1.5()。(A)(B) 1(C) 0(3)设事件A1与A2同时发生必导致事件A发(A) P(A) P(AA)(B) P(C) P(A) P(A1 A2)(D) P(4)B1 0 1 2(D)- 2:生，则卜列结论止确的是(A) P(A) P(A2) 1(A) P(A) P(A2) 1)专业、班级:姓名:学号:,Xn为正态总体N( , 2)的一个简单随机样本，其中(5)设X1,X

2、2,未知，则()是一个统计量n(A) X22(B)i 1(C) X(D)(Xii 1)22,(6)设样本Xi,X2, ,Xn来自总体XN(2), 2未知。统计假设为 H0：0( 0已知)H1：0。则所用统计量为()X n(A) U(B).n(C)2(n 1)S22(D)(Xi1)2_23e 3.1 4.t(9)P(A) , M P©A)样本，丫1,丫2, 丫9是来自总体丫的样本，则统计量X1丫12X9丫92服从分布(要求给出自由度)。二、填空题(每空3分共15分) x1. P(B) 2. f(x) xe x , 0 x 0(1)如果 P(A) 0, P(B) 0, P(AB)(2)设

3、随机变量X的分布函数为则X的密度函数f(x), P(X 2).(3)(4) 设总体X和Y相互独立，且都服从N(0,1) , Xi, X2, X9是来自总体X的三、(6 分)设 A, B 相互独立，P(A) 0.7, P(A B) 0.88,求 P(A B).解：=P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A) P(B) P(A)P(B) ( 因为A,B相互独立).2分 0.7 P(B) 0.7P(B).4分则 P(B) 0.60.7 0.7 0.6 0.28四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T,各电梯在运行的概率均为，求在此时刻至少有 1台电梯在运行的概率。.2

4、分解：用X表示时刻T运行的电梯数，则X b(4, 0.7)所求概率1C：(0.7)°(1 0.7)4 =.6分五、(6分)设随机变量X的概率密度为f(x)x e0,x 0其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的,故可用公式法计算.1分0时，Y 1.2分2x 1,得 xx' 1f(从而Y的密度函数为fY(y).5分.6分六、(8分)已知随机变量X和Y的概率分布为而且 P XY 0 1.(1)求随机变量X和Y的联合分布；(2)判断X与Y是否相互独立？解：因为P XY 01 ,所以P XY 002 24所以 X与Y不相互独立8分七、（8分）设二维随机变

5、量（X,Y）的联合密度函数为求：(1) P(0X1,0Y2); (2)求X的边缘密度。12解：(1)P(0 X1,0Y2) dx 12e (3x 4y)dy .2分003e 3xdx4e 4ydy = e 3x 0 e 4y 20000=1 e 3 1 e 8.4 分(2)fX (x)12e(3x4y)dy.6 分.8分3e3x x 00 x 0八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为1的指数分4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。 若工厂售出一台设 备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的 期望。11 4x解：因为X

6、e（） 得f（x） 4e 4 x 0.2分40x0100用Y表示出售一台设备的净盈利100 300Yx 1 , 则 P(Y 100)1 -e 4dx.41 1 - P Y 200 e 4dx 04 1所以EY 100 e 4 ( 200) (1 e 4)1300e 4 200 33.64 (元).6 分九、(8分)设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为 0.5,求E(2X Y), D(2X Y)。解：已知 EX 2, EY 2, DX 1, DY 4, XY 0.5则 E(2X Y) 2EX EY 2 ( 2) 26.4 分D(2X Y) D(2X) DY 2c

7、ov(2X,Y).5 分2DX DY 4cov(X,Y).6 分2DX DY 4JdxJDY xy=12 .8 分十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0, 20上的均匀分布，利用中心极 限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数 （x）的值表示）.解：用Xi表示第i户居民的用电量，则XiU0,20EXi0 2010DX(20 0)21001231000则1000户居民的用电量为XXi1由独立同分布中心极限定理P X 101001 P X 10100( c X 1000=1 P

8、 1010100 1000 101001000 - 31001000 - 310100 10001(10).6分1001000 一3(do)十一、（7分）设X1,X2, ,Xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为其中 0未知，求 的最大似然估计。解：最大似然函数为nnL（X1, ,Xn, ）f （Xi）（1）Xi .2 分=（分则人 d ln L nln(x1, Xn)d1i 11)n(X1,Xn) . 30Xi , Xn1.4 分0.5于是的最大似然估计:1 ln ln( x1,o,xn ).7分十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率 X N( ,1)服从正态分布，均值为，长期以来方差2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为x 5 ,试求