学而思小升初培优六：数论综合-学生版

1、小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习1加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成 6个零件，第二道 工序每名工人每小时可完成 10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成 15个零件.要使 加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人 ？2甲、乙两数的最小公倍数是 90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少？例题解析,然后对各种情枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类）况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重 不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的

2、分类方法有 按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。【例1】 求这样的三位数，它除以 11所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】三位数只有 900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x, v，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以x2 y2 z2 10。从而1 x3, 0 y3, 0 z3。所求二位数必在以下数中100101 102103 110111 112120121 122130 200201 202211212 220221 300301 310不难验证只有100 , 101两个

3、数符合要求。【例2】 写出12个都是合数的连续自然数。【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出 7个连续的合数：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的 范围扩大一些就行了。 用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连 续自然数：114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126。（法二）如果设这12个数分别是a, a 1, a 2, L , a 11,如果a 2能被2 到13中任意一个数整除，那么 a, a 1, a 2,

4、L , a 11,能分别被2、3、 4, L , 13整除，所以，只要取 a 13!即可得到符合条件的12个数。（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取折中的方法， 设这12个数分别是a5,a4,L,a4,a5,a 6。所以只要使a能被2 到6的所有整数整除，并且保证a 1和a 1都是合数即可，通过试验可得到a 120即是符合条件的值。【例3】 如图，有三张卡片，在它们上面分别写着1, 2 , 3。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中 的素数都写出来。（素数即质数）【分析】因为这三个数字的和为 6,能被3整除，所以用

5、这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为 12 3,根据同 样的道理，用1, 2组成的两位数也能被 3整除，因此也不是素数。这样剩下要讨 论的两位数只有13, 31, 23, 32这四个了。其中13, 31, 23都是素数。最后一 位数素数只有2,3。【拓展练习】a、b和c都是两位数，a、b的个位分别是7和5, c的十位是1,如果它们满 足等式 ab c 2005，贝U a b c 。代数表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的 解决。这些常用的形式有：1. 十进制表示形式：Nan10nan 110n1

6、L a0100；2. 二进制表示形式：Nan2nan 12n1L a020 ；3. 带余形式：a bq r;（奇数可以表示为 2n 1,偶数表示为2n ,其中n为整数）4. 标准分解式：p1alp22L pkk ；5. 2的乘方与奇数之积式：n 2mt ；（其中t为奇数）。6. 最大公约数与系数之积式：m dR , n dn1 ,其中 m, n d , m1,n11。【例4】 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整 数的平方.【分析】设所求的四位数为X aabb ,则x 1000a 100a 10b b 11 100a b ,其中0 a 9, 0 b 9。可见平

7、方数 x被11整除，从而 x被112整除.因此，数 100a b 99a a b能被11整除，于是a b能被11整除.但0ab 18 ,以 a b 11.于是x 112 9a 1 ,由此可知9a 1是某个自然数的平方.对 a 1 ,2, L , 9逐一检验，易知仅 a 7时，9a 1为平方数，故所求的四位数是 27744 88 。【拓展练习】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27,则满足条件的两位数共有 个。【例5】 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假 定划掉的两个数字中的一个非零）。【分析】设 n2满足条件，令n2 100a2

8、b ,其中0 b 100。于是n 100,即n 10a 1。 因此b n2 100a2 20a 1 ,由此得20a 1 100,所以a 4。经验算，仅当a 4 时，n 41满足条件。若n 41则n2 402 422 402 100。因此，满足条件的最 大的完全平方数为412 1681。【例6】 从自然数1, 2, 3, L , 1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三 个数之和能被18整除？【分析】设a, b , c , d是所取出的数中的任意 4个数，则a b c 18m , a b d 18n , 其中m , n是自然数。于是c d 18 m n。上式说明所取出的数中任意2个数

9、之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。 设这个余数为r, 则 a 18a1 r , b 18b1 r , c 18c r ,其中 & , bi , c 是整数。于是 a b c 18 4 b1G 3r。因为 18| a b c ,所以 18|3r,即 6| r ,推知 r 0 , 6 , 12。因为 1000 55 18 10 ,所以，从 1 , 2,，1000中可取 6 , 24, 42, L , 996共56个数，它们中的任意 3个数之和能被18整除。【例7】如果a 2b被5除余数为2, 3a b被5除所得的余数为3,求证：a b能被5 整除。（a、b都是自然数）【分

10、析】（法一）设a 2b 5k 2, 3a b 51 4,10l 5k 8 a 解方程组a 2b 5k 2得到7 ，所以a b 15l 10k 5能被5整3a b 5l 33 15k 5l7b 7除。（法二）由题目条件2 3ab 3 a 2b能被5整除，即3a 8b能被5整除，继而 得到3a 3b能被5整除，所以a b能被5整除。【拓展练习1】如果2a 3b是5的倍数，证明：2b 3a也是5的倍数。（a、b都是自然数）【拓展练习2】如果3a b是7的倍数，求证 2b a也是7的倍数。（a、b都是自然数）【拓展练习3】如果a b c是5的倍数，2a 3b 4c也是5的倍数，求证a c是5的倍数。

11、（a、b、c都是自然数）【例8】有一个自然数，它除以 样的数最小可能是多少。15、17、19所得到的商（1）与余数（0）之和都相等，这A15a.Xa(Xa)A15a(Xa)14aX【分析】A17b.Xb(Xb)A17b(Xb)16bXA19c.Xc(Xc)A19c(Xc)18cX14a16b18c72|aa至少为72 , A15aXa1572Xa1080X, 14a16b18c63| bb至少为63, A17bXb1763Xb1071Xb14a16b18c56|cc至少为56, A19cXc1956Xc1054Xc最小为1081。如何计算一个自然数的约数个数：a将该自然数用标准分解式表达：p；

12、1由Lp：k；b将该自然数的约数用标准分解式表达：Pipb2Lpbk ,则Da1, b2a2,L ,bnan；c对于任意的bi可以取值0到d这a 1个整数；d根据乘法原理不同的约数有 （a1 1）（a2 1）（ak 1）个。【例9】 在1到600中，恰好有3个约数的数有几个？【分析】3只能表示为2 1 ,所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数有2个，注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方，2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 23这9个数的平方数在1到600之间，共有9个符合要求。【拓展练习】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个?【例10】两个自然数的平方

13、差，则称这个自然数为“智慧数”比如16 52 32, 16就是一个“智慧数” .在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个 数？并请你说明理由。【分析】显然1不是“智慧数”,而大于1的奇数2k 1 k 1k2 ,都是“智慧数”2, 24k k 1 k 1 ,可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而 4不是“智 慧数”，由于x2 y2 = x y x y （其中x、y N ）,当x, y奇偶性相同时，x y x y被4整除。当x, y奇偶性相异时，x y x y为奇数，所以形如4k 2的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智

14、慧数”，由于1989 3 663,所以2656 4 664是第 1990个“智慧数”。【拓展练习1】如果自然数n使彳112n 1和3n 1都恰好是平方数，试问 5n 3能否是一个素 数？ , 1 , 【拓展练习2】将1表示成两个自然数的倒数之和， 有多少中表示方法？请给出所有的答案。613,假设n是自然数，d是2n2的正约数.证明：n2 d不是完全平方。【分析】设2n2 kd , k是正整数，如果n2 d是整数x的平方，那么 2 2222222.2k2x2 k2 n2 dn2 k2 2k但这是不可能的，因为 k x与n都是完全平方，而由k2 k2 2k k 12得出k2 2k不是平方数。14,

15、 设正整数 d不等于2、5、13。求证：2d 1、5d 1、13d 1这三个数中至少有一个不是完全平方数。【分析】2d 1、5d 1、13d 1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可.用反证法，设2d 1 x25d 1 y22,、13d 1 z 其中x、y、z是正整数.由式知，x是奇数，不妨设x 2n 1。代入有 2d 1 2n 12 即d 2n2 2n 1 （4）式说明d也是奇数.于是由、知 v、z是偶数，设y 2p , z 2q ,代入、相减后除以 4有2d q2 p2 q p q p。因2d是偶数，即q2 p2是偶数，所以 p、q同为偶数或同为奇数，从而q p和q p都是偶数，即2d是4

16、的倍数，因此d是偶数.这与d是奇数相矛盾，故命题 正确。15, 将95写成若干个（至少两个）连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案。【分析】设这个自然数可以表示为k个连续自然数和白形式，如果 k是奇数，那么一定存在中间数，即为p,则这k个连续自然数的和为 kp,即为一个奇数和一个自然数的 乘积形式，如果k是偶数，那么存在两个中间的数，即为 q, q 1,则这k个联系 自然数的和为k 2q 1 , 2q 1是奇数，k为偶数，所以凶为整数，也是奇数与22一个自然数的乘积形式。95 5 19,其大于1的奇约数有5,19, 95这三个，如果有奇数个连续自然数相加：当k 5时，p 19 ,即5个连续的自然数，中间数为19 ,有17, 18, 19, 20,21 ;当k 19或95时，在在自然数范围内没有符合条件的连续数。 如果有偶数个连续自然数相加：当匕1时，2q 1 95 ,即2个自然数相加，中间两个数中较小的数是47,2有 47, 48 ；k当一5时，2q 1 19 ,即10个自然数相加，中间两数中较小的是9,有5,26, L , 14;k当匕19或95时，自然数范围内不存在符合条件的连续数。2所以符合条件的自然数一共有3种。巅峰练习：1. 自然数n的数