数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

1、精选文档数值分析（p11 页）4试证：对任给初值 Xo,求开方值 ja（a 0）的牛顿迭代公式X i 2(Xk 2),k 0,1,2,恒成立下列关系式：Xki 、a 大抽、.a）2, k 0,1,2,. Xk 、a, k 1,2,证明: Xki/xvayx(2)取初值Xo0 ,显然有Xk0 ,对任意k 0 ,Xk.a22XkXk 1XkXk21 Xk -a a a2 - k .Xk6证明：若Xk有n位有效数字，则Xk 闽 1 101n ,2 2e118x-XkV8而 Xk1、8-Xk 882Xk2XkXk.8 2.512 2n一 10 d,141,c12nXk 1v84 11022.52Xk

2、1必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法 根据本章中所给出的定理:则其相对12 al（设X的近似数X*可表示为X*0.a1a2.an 10m ,如果x*具有l位有效数字,11* 、10,其中a1为x中第一个非零数）则Xi 2.7 ,有两位有效数字，相对误差限为eXiX1I1 i 10 1 0.0252 2X22.71,有两位有效数字，相对误差限为e X2X2I10 10.025X3 2.718,有两位有效数字，其相对误差限为:|x3eX3I2 210 3 0.00025第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于 X12.7 , X1e 0.0183X1x3 eX3I0.00

3、032.7180.00012e0.0183其相对误差限为上30.00678X112.7同理对于x22.71,有1x2 e 0.0083 0.003063X2|2.71对于x3 2.718,有备注：(1)两种方法均可得出相对误差限， 但第一种是对于所有具有 n位有效数字的近似数 都成立的正确结论， 故他对误差限的估计偏大， 但计算略简单些；而第二种方法给出较好的 误差限估计，但计算稍复杂。(2)采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解：22255一 3.142857， 3.1415929.711322110 ,

4、具有3位有效数子72精选文档25511316-10 ，具有7位有效数字29解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。A .*一*I X1 - X1101l 12=-10,*I X1 - X1/ I x1102/2.72 V 0.00184*I x2-x210110 5*X2-X2/ I X25 _ 10 5/2.71828 <0.00000184,*I X3 - x3101*I X3 - X3/ I X3=-10421“ 4 10 /0.0718V 0.000697212.解:2x21 2x 1 x (1 2x)(1X)_2d sin x 2 x1-cosx=2 si

5、n 1 cosxy 1+X+ + + - -1=x+2!n!2X + 2!, , + n!13.解：x 1-x 1X X2/x11X X cX X2dt = arctan(x 1) - arctanx设 arctan(X 1) =a, arctanX=b,贝Utan(a b)tana tan b1 tana tanb 1 x(x 1)令Xi，X2，X3所对应的真实值分别为X1 , X2 , X3 ,则11 x(x 1)arctan(X 1) - arctanX = arctan精选文档 ln(x。1) = ln1 2= ln 1 ln(x mx2 1)=-ln(x qx2 1)x 、x2 1习

6、题一(54页)5证明：利用余项表达式(11) (19页)，当f(x)为次数w n的多项式时，由于 fn1(x)=0,于是有Rn(x)= f (x) Pn(x)=0，即Pn(x)= f(x),表明其n次插值多项式Pn(x)就是它 自身。9证明：由第5题知，对于次数w n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。于是对于 f (x) =1 ,有 P2(x)= f (x)即，lo(x) f(xo)+l(x) f (x1)+ l2(x) f(x2)= f (x)则，lo(x) + l(x) + l2(x)=111.分析:f (n 1) ( ) n由于拉格朗日插值的误差估计式为f(x) - Pn(x) =3

7、 (x xk)(n 1)! k of (n 1) ( ) n误差主要来源于两部分和 (xxk) o(n 1)! k。' kn对于同一函数讨论其误差，主要与 (x xk)有关。 k 0在(1)中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1, 2两个节点之间，所以应选1, 2为节点，在剩下的两个点中，x0与0.472更靠近，所以此题应选x。，x1，x2为节点来构造插值多项式。之(xx1)(x%)y。(xx°)(x%)y1(x。 x1)(x。 x2)(x xo)(x1 x2)(x x1)(x X。)y 0.4955529(x2 x1)(x2 Xo)15

8、证明:由拉格朗日插值余项公式有x1)I max I f2(x) Ix。x再f2( ) 1 ,、1、，I f (x) p(x) I < (x xk 尸 一 I (x Xo)(x2! k 022222由于(x1 x0) = (x1 x x x0) =2(x1 x)(x x0) + (x1 x) + (xx0)> 4(x1 x)(x xo)I f (x) - p(x) I w (x_x02_ max I f 2(x) I8x0 x x120证明:当 n=1 时，F(xo,x1)=F(x1) F(x0)=C - f(x1) f(x0)=Cf(x0,x1) x1 x0x1 x假设当n=k时，

9、结论成立，则有F (x0，xj = C f (x0, x1,xj ；F(x1，xk 1) = C f (x1,x2，xk 1);那么，当n=k+1时，F(x1，xk 1) F(x0，xjxk 1x0F (%, x1，xk 1)=C f(x1,"1) f(x0,.,xk)= c 跣。，。,1)xk 1x0证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）21.解:由定理4 (26页)可知：fk (n)当 n>k 时，f (x)= x =0 ；当 n=k 时，f (n)(x)= xk (k)= k!;0,当n k时 .,Q 1,当 n k 时13.解:由题意知，给定插值点为Xo=0.32,

10、y0=0.314567;x1=0.34, y1 =0.333487;x2=0.36, y2=0.352274由线性插值公式知线性插值函数为x x1 x x0x 0.34x 0.32P1(x) = y0 + y1= 0.314567 + 0.333487Xo x1x1Xo0.020.02()f (x0,x1，xn)=，其中min xjmaxxjn!0 n当 x=0.3367 时,sin 0.3367= F (0.3367) = 0.0519036+0.278461g 0.330365其截断误差为I R1(x) I < I (x x0)(x x1) I ,其中 M2 = max I f2(x

11、) I2x) x xi2 ,f (x) = sin(x) , f (x)=- sin(x) , M2= I sin0.34 I = 0.3334871 5于是 I R1(0.3367) | w x 0.333487X 0.0167X 0.0033< 0.92X 102若用二次插值，则得P2(x)喑x1)(xx2)(xx°)(xx2)(xx)(xx1)y0 +y1 +y2x1)(x)x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)sinQ.3367- P2(0.3367) =0.330374其截断误差为I Rz(x) I & - I (x x0)(x x)(x x2

12、)I 6其中 M 3 = max I f (x) I = max I cosx I = cos0.32 <0.950 x) x x2x0 x x21,.一于是 I R2(0.3367) I < - x | 0.950X 0.0167X 0.0033X 0.0233 I <0.204X 1017解：差商表为xif(x)一阶差商一阶差商二阶差商四阶差商五阶差商1-32033151564483391510557121061928715100精选文档23题：解：由于 P(0) P(1) P1(1) 0,则设 P(x) Cx(x 1)221由 P(2) 1,彳#C 2 (2 1)2 1

13、 ,则 C 2,一 1。所以 P(x) -x(x 1)224解：由于 P(0) 0,P(1) 1, P(2) 2,P(3) 3 可设P(x) x Cx(x 1)(x2)(x 3)2b c1.1 一 由P(2) 0得_11P ( ) 1 C 2 (2 1)(2 3) 0,有： C -1所以 P(x) x 1x(x 1)(x 2)(x 3)26.解：由泰勒公式有f(x)f (x0) f'(x0)(x %) f (x0)(x x0)2 f(x 小)32!3!设 P(x) f(x0)f (x°)(x x°)f (x0)2!(xx。)2.3C(x x°)其满足 Pj

14、(x0)fj(x0),其中 j 0,1,2("由 P(x1) f(x1)，得f(x0,x1)f (x°)f (x°)(x x0)2 (x x0)2 (x1 x0)代入(*)式既可得 P(x).33解：由于 S(x) C2 0,2 ,故在 x 1 处有 S(1),S(1),S(1)连续，即:解得:精选文档b 2c 334、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。Xo1,Xi 0,X2 1, X3 3ho1,hi 1,h22h01h111；- 二 ,2 -ho h12h1 h2 3,1,2111,21223,6dof（xo,x1） fo24hod16f （Xo,X1

15、,X2）62 f（Xk） oj o j kd2 6f（X1,X2,X3）2,6 jd3 f3 f（X2,X3）oh2于是得到关于 Mo,M1,M 2,M3的方程组:21Mo12212M112223M212M324（三对角方程2 o12 7 41 3 4o 2111 1 2 o Mo12 7M117 2o M233 2o o1M 324o（追赶法）2oMo 14M1 4M22M3 1解方程求出M o,M1,M2,M3,代入S(x) yMi即得满足题目要求的三次样条函数S(x)3x33xxi 1xhi2x22x27 2x4(fiKMi)2"1)hi6习题二2.解:判断此类题目,当 f(x

16、)当 f(x)当 f (x)当 f (x)3.解:x 19 x4x1-x41,0 0,11,2直接利用代数精度的定义1时,x时,x2时,x3时,1103 14所以求积公式的代数精度为dx1 1,dxx21一，左二右22 dx3 1 24 (3)3 Jr4 (3)2. 求积公式中含有三个待定参数，即:，左=右4 x11404115418,左 右1x3 dx0A0AA2 ,因此令求积公式对f(x) 1,x,x2均准确成立，则有A0AA2 2hAoh Ah 022A0h2A2h22h3314解得：AA2-h,A1-h33所求公式至少有2次代数精度。3又由于当f(x) x时，左二0右=A0 ( h)3

17、 A2 h3 04 2 . 5当f (x) x时，左二h5右=A0h4 A2h4 1h5 左所以求积公式只有 3次代数精度。、类似方法得出结论。6.解：因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为1A0l0(x)1x0 x0x11一(4x 3)dx21A10l1(x)1_x0 x1x。.dx x01, (4x21)dx故求积公式为:10 f (x)dx1 f(4)3f(N卜面验证其代数精度:当 f(x)1时,1,右1当 f(x)x时,2,右当 f(x)x2时,3,右156左所以其代数精度为7.证明：1。若求积公式对f (x)和g (x)准确成立，则有bnag(x)Akg(xk)a k

18、0bna f(x)Akf(xk)及ak 0f(x) g(x)dxbf(x)dxabag(x)dx12.解:ToT2nAkf(xk)k 0所以求积公式对f (x)k次多项式可表示为若公式对xk(k 0,1,Akg(Xk)A( f(xjg(x。)g(x)亦准确成立。kkakxak 1xm)是准确的,pk(x)亦成立。由代数精度定义可知,4 14(f(1) f(5) 2(1 1)252T042f1 122石1251328151a1xaoPk(x)则有7题中的上一步可知，其对其至少具有m次代数精度。1214151(21 2214)f(2)f(4)T2101120精确解为:101601.60943817解：首先将区间0,01三点高斯公式为:15f x dx - f19f(2)