北京市一零一中学2020届高三数学10月月考试[含答案]

1、北京市一零一中学2020届高三数学10月月考试题一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设集合 A=-1, 1? 2),B=a+b，一2,若Af）B=-1, 2,则 a的值为（）A. -2 或一1B.C. 2 或 1D. 0 或一 22.已知向量行（b -2）,人（勿，4）,且a儿那么2a6等于（A. (4, 8)B.(4, 0)C. (0, 4)D.(一4, 8)a3 .己知 ae (),且 tana = 7i,2 2那么sina=(D.4 .在数列4中，若。哼I, %1=久+3 （/?GN*）,则.01=（A. 2100-3B. 2101-3D. 2.一3

2、5若定义在R上的函数满足,对任意玉，/G1有/（演+与）=/（演）+ /（/）+1，则下列说法一定正确的是（）A. /（X）为奇函数8. /（£）+1为奇函数C. /（x）为偶函数D. /（无）+1为偶函数6 . AABC 中，“cosAVcosB” 是 “sinAXinB” 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7 .设可，巧，均为实数，且（：）"=】82（%十1），（，2=叫与，（i）x, = log2x3 ,A. x1<xJ<x2B. xJ<x2<x1 C. x<x1<x2D. x2&

3、lt;x1<xJjr8 .设函数f（x）=sin （ m+ ）（卬0）,已知/（x）在0, 2不有且仅有5个零点，下述四个结论:/（x）在（0, 2不）有且仅有3个极大值点；/（x）在（0, 24）有且仅有2个极小值点；/（外在（0,）单调递增；切的取值范围是3，Q其中所有正确结论的编号是（）A.B. C.D.二、填空题共6小题。9 .己知复数z满足z + ?=0,则|z卜。 z10 .己知函数/（） = J§sinxcosx +cos2x ,若将其图象向右平移（。0）个单位长 2度后所得的图.象关于原点对称，则a的最小值为。11 .不等式QQM）不是恒成立的，请你只对该不等式

4、中的数字作适当调整， 使得不等式恒成立。请写出其中一个恒成立的不等式：。12 .纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸。现在我国采用国际标 准，规定以AO, Al, A2, Bl, B2,等标记来表示纸张的幅面规格。复印纸帽面规格只采用 A系列和B系列，其中系列的幅面规格为：AO, Al, A2,A8所有规格的纸张的幅宽（以，表示）和长度（以尸表示）的比例关系都为x :y = 1:2 ；将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两 等分，便成为A2规格，如此对开至A8规格。现有AO, Al, A2,，A8纸各一张。若A4纸的宽度为2 dm,则A0

5、纸的面积为 dm-；这9张纸的面积之和等于 dm-o13 .如图，A, B, P是圆0上的三点，OP的延长线与线段BA的延长线交于圆0外一点Q,若丽:血+ b砺，则a + b的取值范围是14 ,&/(X), g(x)是定义在R上的两个周期函数，的周期为4, gQ)的周期为2,(k(x + 2),0 <x<l, 且/(x)是奇函数。当xw(0,2时，/(x) = A/l-(x-l)2，虱力1,_ 其中I"? I"。，无>0。若在区间(09上，关于a的方程/Q) = g(x)有8个不同的实数根，则的取值范围是三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算

6、步骤或证明过程。15 .已知等差数列4中，4=6, a5 +6 =26o(1)求数列4的通项公式；(2)设2=2一+，求数列的前a项和5,。16 .在锐角AABC中，角A, B, C所对应的边分别是挑b, c, a. sinB=J5 AosA。(1)求/A的大小；(2)若Zf5,求。的值.17 .己知函数/(x)=-皿？% + 2sinx v5sin(x + )(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当XE王，时，对任意fwR,不等式m尸一相+ 2之/(乃恒成立，求实数次3的取值范围。18 .已知函数幻二2必一工2+2。(1)讨论/Q)的单调性；(2)当0<水3时，记fS

7、)在区间0, 1的最大值为M,最小值为m,求Mm的取值范国。19 .己知函数，(x) = e*<a+lnx),其中awR。(1)若曲线y = /C0在片1处的切线与直统尸=一色垂直，求a的值； e(2)记/(X)的导函数为g(x).当反Q (0, In 2)时，证明：g(x)存在极小值点为，且.20.若数列a，满足：对于任意的正整数a, a“eN*, qv%，且丐“=羽，则称 该数列为“跳级数列二(1)若数列4为''跳级数列:且&=4,求处，6®的值；(2)若数列4为“跳级数列”，则对于任意一个大干苗的质数q，在数列4中总有一项是。的倍数；(3)若q为奇

8、质数，则存在一个“跳级数列” 4,使得数列中每一项都不是Q的倍数。参考答案I. C 2. A 3 D 4. D 5. B 6. C 7. A 8. D 9再.10.12II. 2n>rrc (c>l)； 3n>n31； 4n>n:1 (答案不唯一).根据题意A4的长宽分别是2后，2； A3的长宽分别是4, 22； A2的长宽分别是4V2, 4； A1的长宽分别是& 272； A0的长宽分别是8或，8；所以A0的面积为64公 , AO, Al, A2,A8纸张的面积是以首项为64日公比为;的等比数列，所以这9张纸64a/21-(-)9 石的面积之和等于#=沙生1-

9、1 4 214.15.(1)设等差数列4的苜项为比，公差为H4 =幺 d = 2.所以4 = q +(n-V)d = 2n(2)由(1)可得幺=22" + = 4" + ，所以 =4(1-4") + 加 + ) _ 4川-4 + 1-416. (1)在AABC中，由正弦定理一.sin J smB,得asinB = AsinZ。又asinB =bcosZ 7 得tanZ =、/5。由于0<a<¥,所以A='。 23(2) a = 421 9 /5, A=,3在AABC中，由余弦定理，=/+，一次005/,得21=5工+12.5c1，即2

10、5c + 4 = 0, 2解得c=l9或*4。当叱篝I。此时，AABC为钝角三角形，舍去。经检验, c=4满足题意。17. (1)由痣sin(x +')/0 得x/无乃一色，kwZ,因为、 cos2x 一 .cos2x-sin2 x ". 二. z 乃、j(x) = -+ 2sinx = ；+ 2sinx = cosx + sinx = V2sin(x + )sinx + cosxsinx + cosx4所以/(x)的最小正周期T=2万。因为函数尸= sinx的单调递增区间为(2七r 一色，2A+),无eZ,22又由2无点<x + <2k兀+ ,无eZ, 242解

11、得2力r<x <2hr +m , JteZ44所以函数/（X）的单调递增区间为（加一把,Zbr色）和（如一色,加+色） 4444(2)由(1)得/(x) = Vsi域x + 4。因为“W年当卜所以一：所以/（X）在军，生上单调递减，所以/&）一 =/（-） = K 32则题目等价于m产一+ 2之1恒成立，即m产-mf+ 1之0恒成立,当疗。时，有1'0恒成立?当m#0时,有应0且=/»2 4m 40 ,得到m& (0, 4。综上,irG 0? 4 o18. (1) r(x) = 6x2 - 2ax = 2x(3x-a)。令ra）=o,得片。或片彳。

12、若於o,则当xq（8, o）u+8）时，ra）o；当xw（a,时,ra）o。故/（X）在（一8, 0）, （-, +co）单调递增，在（0,-）单调递减；若华0, f（x）在（-8, +8）单调递增；若水o,则当代（-co, -）u（0, +co）时，ra）o；当/£0）时, 33ra）o。故，（X）在（-Q0,（0, +8）单调递增，在（g, 0）单调递减。（2）当0水3时，由（1）知，/Q0在（0,-）单调递减，在（0，1）单调递增， 33所以/CO在0, 1的最小值为/（g）=一+ 2,最大值为"0） = 2或”1） = 4一。327J于是m =+ 2, M=274-

13、o,0<a<2, 所以M-m = 2, 2Wav3.4,272<a<3.当（X水2时，可知2 - a +单调递减，所以为一的取值范围是（亘，2）。 2727当2<a<3时，单调递增，所以的取值范围是2，1)。2727Q综上，Mm的取值范围是士，2),2719. (1) /T(x) = eJ (a+lnx) + ex = eJ -(a+ + 1hx) o xx依题意，有r(l) = e-(a + l) = c ,解得a=0。(2)由(1)得二夕(-+lnx), x所以g'CO =ex (a+- + lnx) + eJ-) = ex (a+ - + In

14、x)。XX XX X因为e">0,所以g，(x)与1 + 2 3+1以同号。 X Xvn iz 21. n,、x2 2x + 2 (x I)2 +1设h(x) = a+T+ lnx ,贝q"(x) =-。X XXX所以对任意aG (0, +oo),有"Qr)>0,故如x)在(0, +8)单调递增。因为益6(0, In 2),所以4(1)=> 1>0, A(-) = a + ln <0,22故存在而左（3）'使得双/）=0。屋、公与g'QO在区间（楙，1）上的情况如下:(Q,0)g'(x)-g(x)、极/所以05

15、在区间弓）上单调递减，在区间5, D上单调递增。所以若益£ （0, In 2）,存在刈£ （-, 1）,使得是g CO的极小值点。2令 Z?()=0,得a+ 111%)= 交1 _7r所以(a + lnxo) = e10<0。%20. (1) 4=3, Oj01 = 101(2)数列为“跳级数列"，VwN*, %14为正整数，iBs=min« |ne /m n/m n .N*),可知 s£N*,且2>s21%一药=药。记切£ £N*|s=a»i &),对于质数小必存在上使得2分。（反3*）。反复应用得另一方面，因为对于满足2%4/W2片（研1） 1的任意，均有%一4之s。所以对于所有2%W/?W2" Gn+1） b都有当力一（利用迭加）。这表明，数列4.，丐上川1,4,父 4J.3,，。次al）是以$为公差的等差数 列。假设对于整数对（八j） （OW*_/W2-1）,均有外上91-4”.,是质数Q的整数倍，即4*aj 4"（尸i） S必为2的整数倍，0<JX且0<sW比一2=处<"同时成立，知