初二奥数之配方法

1、2020年春季数学竞赛初二奥数之配方法专题25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负 性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 2221、a2±2ab+b2 =(a±b)22、a ±270b+b =(指土石)22.2223、a +b +c +2ab+2bc+2ca = (a+

2、b+c)4、 a2 +b2 +c2 -ab -bc -ac = -(a -b)2 +(b -c)2 +(a c)22配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a = (ja)2能联想起配方 法.(2)具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式例题与求解【例1】 已知实数x , y, z满足x + y = 5,z2 = xy + y-9，那么x + 2y+3z=(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x, y的值.【例2】 若实数a

3、 , b , c满足a2+b2+c2 =9 ,则代数式(ab)2+(bc)2+(c a)2的最大值是()A、 27B、 18C、 15D、 12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1)非负数的最小值为零；(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零1【例 3】 已知 a +b -2/a1 -4Vb -2 =37c-3 -c-5 , 求 a + b + c的值.2解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值 呢？不妨用配方法试一试.复合根式

4、的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法例4证明数列49, 4489, 444889, 44448889,的每一项都是一个完全平方数解 题思路：49 = 72,4489 = 672,444889 = 6672,44448889 = 66672, 由此 可猜想2444488 89 = （666Hl6+1）2 ,只需完成从左边到右边的推导过程即可1)2几个有趣的结论：444邛888LU89 =(666W6n 1nn(2)。4“晔用56 =(33科3 1)2这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只

5、能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1分不满意，往上走一层楼梯感到 3分不满意， 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰 当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件 的目的，这种解题方法叫配方法 .配方法的作用在于改变代数式的原有

6、结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非 负性，是挖掘隐含条件的有力工具 .【例6】已知自然数n使得n219n+91为完全平方数，求n的值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题能力训练1、计算 Jio+8 73+272 =.（“希望杯”邀请赛试题）.2 一 22_3_ 33_2、已知 a +b +c 2（a +b+c）+3 = 0 ,则 a +b +c -3abc =.23、x , y为实数，且x2 +匕+4 Mxy + 2y ，则x + y的值为24、当 x >2 时，化简代数式 Vx +27x1 +，x-2j

7、x -1 ,得. -2_25、已知 m=4x 12xy+10y +4y+9 ,当*=, y=时，m 的值取小.（全国通讯赛试题）22226、若 M =10a +b 7a+6, N =a +b +5a+1 ,则 M-N 的值（）D、可正可负A、负数B、正数 C、非负数7、计算14+675 -J14-6而 的值为（）A、1B、75C、2>/5D、3 后（全国初中数学联赛试题）8、设a , b, c为实数,JTJTJTx =a2 -2b 十一，y = b2 -2c +,z = c2 -2a 十一,则 x, y, z 中至少有一个值 362（）A、大于零 B、等于零C、不大于零D、小于零（全国初

8、中数学竞赛试题）9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方（其中n为自然数）的是（）-2A、3n 3n +3，2，B、 4n +4n +42_C、5n 5n+5D、7n27n+7E、11n2 -11n +1110、已知实数 a, b, c 满足 a2+2b=7,b22c = 1,c26a = 17，则 a + b + c 的值等于（）A、2B、3C、4D、5（河北省竞赛试题） 解“存在”、“不存在” “至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x1 , x2, x3,Xn为头数.若X1，X2 IH Xn =0则X1, X2, X3,Xn中至少有（或存在）一个为零;

9、（2）若X1 +X2+|+Xn >0 ,则X1, X2, X3,Xn中至少有（或存在）一个大于零；（3）若Xi +X2+|+Xn <0,则X1, X2, X3,Xn中至少有（或存在）一个小于零.2z2x 21 z11、解方程组y =2x21 x22y21 y2（苏州市竞赛试题）12、能使2n +256是完全平方数的正整数 n的值为多少？（全国初中数学联赛试题）a13、已知 a >b，且（a +b） +（a + ab -b） + = 243 , a , b 为自然数，求 a , b 的值. b（天津市竞赛试题）13、设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2 =509（4a+5

10、11b），求a, b的值.（全国初中数学联赛试题）14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系（1）根据图象求y与x之间的函数关系式（0vxv160）;（2）从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元?专题25配方法例1 10 提示：x=5-y代入，然后配方.例2 A提示：原式=例3 a+b+c =20提示：将等式整理，得即例4 原式=0+1 =+ 1=4+8+1=42XTQI11X 9x111111+1 |+8业十1 =361(11|11 j +12父113 +1 = 61m11 +1 (

11、n 4- IniJ n+_H+< 门书 )例5已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住 S层的人乘电梯，而住 t层的人直接上楼，Svt,交换两人 的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少设电梯停在第x层，在第一层有y人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：S =3 1 2 川 33 x 3 1 2 | y ;+|1 2 HI x -y -23 33 -x 34 -x 3y y 1 x-y-2 x -y -1=- -222_2_2_=2x - y 102 x 2y 3y 16842y 10212=2

12、 x七一-15y -180y 3068c y 102=2 !x 412-y -6316 _3168又当x=27, y=6时，S最小值=316 .故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为 316分.例6 若n2 -19n+91为完全平方数，则 4(n219n+91)也是完全平方数设 4(n219n+91 )=m2 (m 为自然数)配方得 (2n-19 / +3=m2 ,(m+2n-19) (m-2n+19) =3.口 m 2n -19=3 1m 2n -19=1，m=2 ，m=2于是或解得： 或m -2n 19=1 m -2n 19=3n=10n=10故当n=9或10时n2 -19n +91是

13、完全平方数.能力训练1.4 + J22. 03. 64. 2& -15. -3, -2, 56. B 7. C一一222，一8. A 提不：x+y+z=(a-1) +(b-1 ) +(c1)+五 一3大于0 .9. B 提示：取n=2和3可否定A、C、D、E,而 4n2 +4n +4=4(n2 + n+1), n2<n2+n+1c(n+1，,故n2+n+1不是完全平方数.10. B11.(x, y, z) = (0,0,0)或(1,1,1) 提示：取倒数12.提示：当n<8时,a= .1 -b222=01+a2一b ,若它是完全平方数,n必为偶数.,2 -若 n=2,则 2

14、n +256 =22 父65;若2n +256 =28父2 .所以当n E8时,-b =mn=4,则 2n +256 =24 父17;若 n=6,则 2n +256 =26 父5;若2 n +256都不是完全平方数.当n>8时，2n +256 =28(2n&+1),若它是完全平方数， 则22+1为一奇数的平方， 设2+1 =(2k+1 j (k为自然数)，则2n" +1 =k(k+1 ),由于k和k+1 一奇一偶，k=1 ,于是2n,°=2,故n=11.、一,4，222 - a =54 a =2413 .提不：设a=kb (k为正整数)，贝U k(b+1 ) =243 = 27父32 =3父92 ,解得 或Wb=2 b=8._22 _ 214 .由 9(2a+b$=509 父3 k，得到 2a+b=509k, b=509k-2a ,代入原式得 4a+511 (509k2a )=509 父 3 k ,a=k(511-9k),因为a为质数，故有以下情况：2当 k=1 时，a=511 9=251 ，为质数，b=509k-2a=7. 2当k=2时，a=511-18=493=17X29,不为质数，舍