初中数学函数三大专题复习

1、v1.0可编辑可修改初中数学函数三大专题复习目录专题一一次函数和反比例函数 1一、一次函数及其基本性质 11、正比例函数 12、一次函数 13、待定系数法求解函数的解析式 24、一次函数与方程、不等式结合 35、一次函数的基本应用问题 5二、反比例函数及其基本性质 71、反比例函数的基本形式 72、反比例函数中比例系数 k的几何意义 83、反比例函数的图像问题 94、反比例函数的基本应用 11专题二二次函数13一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 131、二次函数的解析式及其求解 132、二次函数的基本图像 143、二次函数的增减性及其最值 164、二次函数中三大参数的和函数图像

2、的关系 165、二次函数和不等式、方程的结合 18二、二次函数的基本应用 201、二次函数求解最值问题 202、二次函数中的面积问题 213、涵洞桥梁隧道问题 254、二次函数和圆相结合 27三、二次函数中的运动性问题 271、动点问题272、折叠、旋转、平移问题 31专题三 锐角三角函数以及解直角三角形 341、锐角三角函数的基本定义及其计算 342、锐角三角函数的基本应用 36；一山一U) F '39专题一一次函数和反比例函数、一次函数及其基本性质1、正比例函数形如y kx k 0的函数称为正比例函数,其中k称为函数的比例系数。(1)当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,

3、从左向右上升，即随着x的增大y也增大；(2)当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。112、一次函数形如y kxb的函数称为一次函数，其中k称为函数的比例系数，b称为函数的常数项。(1)当 k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、的增大而增大;(2)当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;的增大而增大;(3)当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;的增大而减小;(4)当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限;的增大而减小。例题1 ：在一次函数y=

4、(m-3)xm1+x+ 3中,符合xw0,则m的值为,该函数的解析式为b的值可以是(随堂练习：已知自变量为 x的函数y=mxn2-m是正比例函数，则例题2：已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则A、 - 2随堂练习1、直线y=x- 1的图像经过象限是()A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限2、一次函数y=6x+1的图象不经过 ()A第一象PMB、第二象PMC第三象PMD第四象限例题3：已知一次函数y mx n 2的图像如图所示，则 m、n的取值范围是(A m >0, n < 2 B、m>0, n >2 C

5、、m < 0, n < 2 D、m < 0, n >2随堂练习：已知关于 x的一次函数y mx n的图象如图所示，则1n m| 甫可化 简为。例题4：已知一次函数y=kx+b的图像经过二四象限，如果函数上有点x1,y1 , x2, y2 , v1.0可编辑可修改如果满足yi 、2,那么xi X2。3、待定系数法求解函数的解析式(1) 一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一 次方程。(2)两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程 组，解方程，最终求出参数 k、b。例题5：已知：一

6、次函数 y kx b的图象经过M(0 , 2) , (1 , 3)两点。(1)求k、b的值；(2)若一次函数y kx b的图象与x轴的交点为 A (a, 0),求a的值。22v1.0可编辑可修改随堂练习：1、直线y kx 1 一定经过点（）。A （1,0） B 、（1 , k）C 、（0 , k）D 、（0, 1）2、若点（m n）在函数y=2x+1的图象上，则2m- n的值是（）A、2 B 、-2C、1D、-13、一次函数y 2x 4的图象与y轴的交点坐标是（）A （0, 4） B、（4, 0）C 、（2, 0） D 、（0, 2）4、已知一次函数 y kx b k 0图象过点（0,2）,且

7、与两坐标轴围成的三角形面积为2 ,求此一次函数的解析式。4、一次函数与方程、不等式结合（1） 一次函数中的比较大小问题，主要考察（2） 一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。例题1：已知一次函数y ax b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2, 0）,则关于x的不等式a（x 1） b 0的解集为（）A x<-1B 、x> -1C 、x>1 D 、x<1随堂练习：1、若直线y 2x 4与直线y 4x b的交点在第三象限，则 b的取值范围是（）A 4 b 8 B、4 b 0 C、b 4 或 b8

8、D、4 b 82、结合正比例函数 y=4x的图像回答：当x>1时，y的取值范围是（）34v1.0可编辑可修改A y=1B 、1< y<4 C 、y=4 D 、y>4的坐标()例题2：在同一平面直角坐标系中， 若一次函数y x 3与y 3x 5图象交于点M，则点MA （-1 , 4）B、（-1 , 2）C 、（2,-1 ） D 、（2, 1）随堂练习:如图,一次函数y=kix+bi的图象ly1与y=k2x+b2的图象12相交于点P,则万程组ykxb1,田的k?x b2解是2, 33,22, D3xy例题3:如图，直线y=kx+b经过A (3,1 )和B (6,0)两点，则

9、不等式10 V kx+bv x的解集为344随堂练习：如图，已知函数y=3x+b和 y=ax3的图象交于点 R2, 5),则根据图象可得不等式 3x+ b> ax-3的解集是v1.0可编辑可修改5、一次函数的基本应用问题 例题1:如图，正方形ABCD边长为a,动点P从点A出发,沿折线 Z BH A CA A勺路径运动,回到点A寸运动停止.设点P1动的路程长为x, A本为y,则y关于x的函数图象大致是（）tC)(D)随堂练习：如图3,直角梯形 AOCDJ边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D （ 5,4 ） , AD=2.若 动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA AD DC运

10、动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度。设 E运动秒x时， EOF的面积为y （平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）例题2：某景区的旅游线路如图 1所示，其中A为入口，B, C, D为风景点，E为三岔路的交汇点，图 1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）.甲游客以一定白速度沿线路“ Z A OE-A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h.甲步行的路程 s （km）与游览时间t （h）之间的部分函数图象如图 2所示.55v1.0可编辑可修改(第2题)(1)求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；(2)求C E两

11、点间的路程；(3)乙游客与甲同时从 A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在 A处等候， 等候时间不超过10分钟.如果乙的步行速度为3km/h,在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现请说明理由。随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往 A B两厂，通过了解获得 A B两厂的有关信息如下表(表中运费栏“元 /t km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用)：厂别运费(元/1 km)路程(km)需求量(t)A200不超过600Ba(a为常数)150不超过800(1)

12、写出总运费y (元)与运往厂的煤炭量 x (t)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费(可用含a的代数式表示)例题3:如图，直线y=kx-6经过点A (4, 0),直线y=-3x+3与x轴交于点B,且两直线交于点 C。(1)求k的值；(2)求 ABC勺面积。66v1.0可编辑可修改随堂练习：如图，在平面直角坐标系中,O是坐标原点，点A的坐标为(一4, 0),点B的坐标为(0 , b)( b>0). P是直线AB上的一个动点，作 PCXx轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为 P (点P不在y轴上)，连结P

13、P , PA, P'C.设点P的横坐标为a.(1)当b= 3时，求直线 AB的解析式；若点P'的坐标是(-1 , m),求m的值；(2)若点P在第一象限，记直线 AB与P'C的交点为D.当P'D: DG1： 3时，求a的值；(3)是否同时存在 a, b,使 P'CA为等腰直角三角形若存在，请求出所有满足要求的a, b的值；若不二、反比例函数及其基本性质1、反比例函数的基本形式k般地，形如y (k为常数，k 0)的函数称为反比例函数。 xky 还可以与成 y kx x77v1.0可编辑可修改kky (k 0)y (k 0)xx2、反比例函数中比例系数k的几

14、何意义(1)过反比例函数图像上一点，向 x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数 k的绝对值的一半。k(2)正比例函数 y=kix (ki>0)与反比例函数 y= (k>0)的图彳父于 A、B两点，过A点作AC±x轴， x垂足是C,三角形ABC的面积设为S,则S=|k| ,与正比例函数的比例系数 ki无关。(3)正比例函数 y=kix (ki>0)与反比例函数 y= (k>0)的图彳交于 A、B两点，过A点作AC!x轴， x过B点作BCLy轴，两线的交点是 C,三角形ABC的面积设为S,则S=2|k| ,与正比例函数的比例系数

15、ki无关。i 例题i ：点P是x轴正半轴上的一个动点，过 P作x轴的垂线交双曲线 y 于点Q连续OQ当点P沿x轴正方向运动时， RtQOP勺面积()A、逐渐增大B 、逐渐减小C、保持不变D 、无法确定k 例题2：如图，双曲线y -(k 0)与。O在第一象限内交于 P、Q两点，分别过 P、Q两点向x轴和y轴x作垂线，已知点 P坐标为(i , 3),则图中阴影部分的面积为。随堂练习：i、如图，矩形 ABCD的对角线 BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数k2 2k iy x的图象上。若点 A的坐标为(一2, 2),则k的值为A iB 3C 4D' i 或一388v1.

16、0可编辑可修改22、如图所不，在反比例函数 y (x 0)的图象上有点P1,P2,P3, P4,它们的横坐标依次为 1, 2, 3, 4,X分别过些点作 X轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为Si,S2,S3,S4,则SiS2k .3、如图，直线l和双曲线y (k 0)交于A、B凫点，P是线段AB上的点(不与 A B重合)，过点A B、 xP分别向x轴作垂线，垂足分别是 C、D E,连接OA OB OP,设AOC®积是S、O面积是&、AP OE面积是$、则()C 、Si=S2>S3D 、S1=S2<S3A、S1VS2VS3 B 、 Si>

17、S2>S3993、反比例函数的图像问题(1)反比例函数的图像取决于比例系数。(2)利用反比例函数的图像与一次函数、一元一次不等式结合例题1 ：函数y随堂练习：一次函数y x m(m 0)与反比例函数 ym一的图像在同一平面直角坐标系中是( xA点，过A点1 k例题2：如图，正比例函数y -x的图象与反比例函数 y (k 0)在第一象限的图象交于 2x作x轴的垂线，垂足为 M ,已知 OAM的面积为1.v1.0可编辑可修改(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为 1,在x轴上求一点P ,使PA PB最小.k随堂练习：如图

18、，直线y=2x-6与反比例函数y=- x> 0 x的图象交于点 A (4, 2),与x轴交于点B.(1)求k的值及点B的坐标;(2)在x轴上是否存在点 C,使得ACAB若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.1010A B两点，当y1>y22 一例题3:已知一次函数yi=x1和反比例函数y2工的图象在平面直角坐标系中交于 时，x的取值范围是()A x>2 B 、一1vxv0C 、x>2, 1vxv0 D 、xv2, x>0随堂练习：1、如图，反比例函数 y1等和正比例函数y2=k2x的图象交于A (-1,-3)、B (1, 3)两点，若k.kzx,则 xxx

19、的取值范围是A -1 <x<0 B、-1 < x< 1 C、x v -1 或 0 v xv 1 D、-1 v xv 0 或 x> 1v1.0可编辑可修改2、点 A (xi,yi) ,B(X2,y2),C( X3, y3)都在反比例函数-3 ,一，4y二”图象上，右Ay3<yi<y2xi<X2<0<X3,贝U yi, y2, y3的大小关系B、yi <y2<y3C、y3<y2<yiD、y2<yi<y3k 一3、如图，一次函数 yi =ax+b (aw0)与反比例函数 y2 = k x0的图象交于A (

20、i,4)、B (4,i)两点,若y1 >y2 ,则x的取值范围是4、反比例函数的基本应用例题i:如图，等腰梯形 ABC曲置在平面直角坐标系中，已知A( 2,0)、B(6,0)、D(0,3),反比例函数的图象经过点C.(i)求C点坐标和反比例函数的解析式;(2)将等腰梯形ABC晌上平移m个单位后，使点 B恰好落在双曲线上，求m的值.6随堂练习：已知一次函数yixm的图象与反比例函数 y 。的图象交于A B两点，.已知当x i时,xy y2 ；当 0 x i 时，yi y?.ivv1.0可编辑可修改(1)求一次函数的解析式;(2)已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求 ABC的

21、面积。 k例题2：如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上， AB垂直于x轴与点B,点C在x轴正半轴上,x且OC= 2AB,点E在线段AC上，且AE= 3EQ点D为OB的中点，若 ADE的面积为3,则k的值为3随堂练习：如图，M为双曲线y一上的一点，过点 M作x轴、y轴的垂线，分别交直线 y x m于D C两点，若直线 y x m与y轴交与点A,与x轴交与点B,则AD- BC的值为1212v1.0可编辑可修改专题二 二次函数一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用1、二次函数的解析式及其求解一般的，形如y ax2 bx c(a 0, a、b、c是常数)的函数叫做 二次函数，其中，x

22、是自变量，a、b、c分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。(1) 一般式：y ax2 bx c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2(2)顶点式：y a x h ko已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式：y a xx1xx2.(4)对称点式：已知图像上有两个关于y轴对称的点 x1,k, x2,k ,那么函数的方程可以选用对称点式y ax x1 x x2k ,代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。(1)求过点 A(1,0) , B(2,3) , C(3,1)的抛

23、物线的方程(2)已知抛物线与 x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2, 8),求二次函数的解析式.(3)已知二次函数的顶点坐标为(3, 2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。(4)已知二次方程 ax2 bx c 3的两个根是-1和2,而且函数y ax2 bx c过点(3,4),求函数 y ax2 bx c的解析式。(5)已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1, 10),求此二次函数的解析式.(6)已知二次函数当 x= 2时有最大值3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析 式。随堂练习：1、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4

24、), 且与y轴交点为(0, 7),则求函数的解析式2、已知过点(2, 0), (3, 5)的抛物线y ax2 bx c与直线y 3x 3相交与x轴上，求二次函数的 解析式3、已知二次函数 y ax2 bx c,其顶点为(2,2),图象在x轴截得的线段长为2,求这个二次函数的 解析式。4、已知函数的y ax2 bx c过点(1,3),且函数的对应方程的根是 2和4,求方程ax2 bx c 13的解1313v1.0可编辑可修改5、抛物线y a(x 1)(x 3)( a 0)的对称轴是直线()A、 x 12、二次函数的基本图像(1)二次函数y ax2的图像：一般地，抛物线 y2 .ax的对称轴是y轴

25、，顶点是原点。当 a>0时，抛物1415线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当 a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。(2)二次函数y a(xh)22B、y=x 2x 3 C y=- x 2x+3D、y= - x 2x 3例题3:已知抛物线的解析式为y=(x 2)2+1,则抛物线的顶点坐标是()A ( 2,1)B、(2 , 1) C (2 , - 1)随堂练习:1、在同一平面直角坐标系内， 将函数y 2x2 4x 1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿yk的图像：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口

26、向下；对称轴是直线x二h；顶点坐标是(h, k)。2222(3) 一次函数y a(x h)k与y ax图像的关系：一般地，抛物线 y a(x h) k与y ax形22状相同，位置不同。把抛物线y ax向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y a(x h) k。平移的方向、距离要根据h, k的值来决定。(4 )二次函数y ax2 bx c(a 0)的图像：一般地，我们可以用配方法求抛物线,22y ax2 bx c(a 0)的顶点与对称轴。y ax2 bx2 c a x ,因此，抛物线2a 4a22bb 4 ac by ax bx c(a 0)的对称轴是 x，顶点坐标是( ,)。2a2a 4a例

27、题1:把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移 3个单位，所得的抛物线是()A y=3(x+3)22B y=3(x+3) 2+2C y=3(x3)22D、. y=3( x - 3) 2+2例题2：已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为(2A y=-x +2x+3D、 (1 , 2)v1.0可编辑可修改轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是(A (1,1) R (1,2) C (2,2) D (1,1)2、将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移 2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A y 3(x 2)2 3 B、y 3(x 2)2 3 C、y 3(x 2

28、)2 3 D、y 3(x 2)2 33、如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC勺顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y= 2x2 bx c的图像经过 B C两点. 3(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图像探索：当 y>0时x的取值范围。例题4：关于x的二次函数y=x22mj+n2和一次函数y=- m)+n (m廿0),在同一坐标系中的大致图象正确的是()随堂练习:1、二次函数 y a(x m)2 n的图象如图，则一次函数 y mx n的图象经过()A第一、二、三象限 R第一、二、四象限 C第二、三、四象限 H第一、三、四象限2、函数y=ax+1与y=

29、ax2+bx +1 (aw0)的图象可能是()1515v1.0可编辑可修改yxoA3、二次函数的增减性及其最值(1)开口向上的二次函数，在对称轴左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增i6i6大；在对称轴处取到最小值 4ac b ,越靠近对称轴，函数值越小。4ay随着x的增大而减(2)开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧,小；在对称轴处取到最大值4ac b ,越靠近对称轴，函数值越大。4a例题i :二次函数y ax2bx c的图象如图2所示，若点 A (1, yi)、B (2, y2)是它图象上的两点，则yi与y2的大小关系是(A、 yiy2

30、B 、 yiy2C、yiy2D 、不能确定例题2:A( 2,yi), B(i,y2),C(2, y3)是抛物线 y (x i)2 m上的三点，则yi, y2, y的大小关系为A、 yiy2y B 、yiy y2C 、y3y2yidy2yi丫3随堂练习：已知二次函数 y= 1x27x+27若自变量x分别取xi, x2,x3,且0< xi< x2< x3,则对应的函数值yi, y2, y3的大小关系正确的是(A yi>y2>y3B、y i<y2< y3y2>y3>yiy 2V y3V yi4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系(i) a决定开

31、口方向及开口大小，这与2y ax中的a元全一样。v1.0可编辑可修改b（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x Z,故：2ab 0时，对称轴为y轴；b 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；B 0（即a、b异号）时, aa对称轴在y轴右侧。（3） c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置。当x 0时，y c, .抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, C）：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴； c 0,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 P 0。

32、a例题1：已知二次函数y ax2 bx c （a 0）的图象如图4所示，有下列四个结论：b 0c 0b2 4ac 0a b c 0,其中正确的个数有（）A、1个 曰2个 C 3个Dk 4个jr=1例题2：已知二次函数*三口/1+已（口 * 0）的图象如图所示， 有下列结论：姆- 4松。;abc>0;8a+c>0;9 a+3b+c<0。其中，正确结论的个数是 （）。A 1B、2C、3D、4随堂练习：1、已知二次函数 4/+3+小口壬0）（其中值> 口 , 白 >口，C <0）,关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象

33、与x轴的交点至少有一个在 y轴的右侧。以上说法正确的有 （）.1717v1.0可编辑可修改A、0个日1个C、2个D、3个21 2、已知一次函数y ax bx c（a 0）的图象如图所不对称轴为 x 。下列结论中，正确的是（）2A abc>0B 、a+b=0C 、2b+c>0D 、4a 十 c<2b3、已知二次函数 y=+5工的图象如图所示，则下列5个代数式：ac, a+b+c, 4a-2b+c , 2a+b, 2a-b中，其值大于0的个数为（）A 2B、3C 4D 518185、二次函数和不等式、方程的结合（1）二次函数的零点的个数以及求解：通过判断 =b2 4ac的正负可以

34、得到二次函数零点的个数，注意,b前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中x1、2b 。2a（2）二次函数和不等式的结合：在x轴上方，则函数大于零；在 x轴下方，则函数小于零；在直线上方,说明ax2 bx c kx m ；在直线下方，则说明 ax2 bx c kx m。例题1:如图，已知抛物线 yi=2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一彳1时，x对应的函数彳1分别为 yi、y2.若yiWy2,取yn y2中的较小值记为M 若 y产y2,记 M= y 产y2。例如：当 x=1 时，y1=0, y2=4, yvy2,此时M=0O下列判断:当x< 0时，x （

35、大，；富值越小; 使得M=1的x值是2 12T .当x>0时，yoy2；使得M大于2的x值不存在;其中正确的是（）A、 B 、C 、 D 、v1.0可编辑可修改19192例题2:bx的图象如图,二次函数yax7L二次方程2axbx m 0有实数根，则m的最大值A -3、-5例题3:设二次函数yx2bx1时,总有y0;当x 3时，总有y 0。那么c的取值范围是随堂练习:1、如图是二次函数2axbxc的部分图象，由图象可知不等式2ax bx c 0的解集是A、x1Hx 5D、x1或 x 52、如图所示是二次函数2axbxc图象的一部分，其对称轴为直线 x= 1,若其与x轴一交点为（3 ,0）

36、,则由图象可知，不等式2axbxc 0的解集是3、对于二次函数 ¥=&户+必+式也学0）,我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数X = 9-妣r*掰- 2 （m为实数）的零点的个数是（）v1.0可编辑可修改A 1B、2C 0D、不能确定二、二次函数的基本应用1、二次函数求解最值问题例题1:某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件 30元的稳定价格销售，直到 11周结 束，该童装不再销售。（1）请建立销售价格 y （元）与周次x之间的函数关系；（2）若该品牌

37、童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x之间的关系为12z （x 8）2 12,1W X W11,且X为整数,那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最8大并求最大利润为多少随堂练习：1、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线。由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）.公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第 x （月）之间的函数关系式（即前 x个月的利润总和y与x之间 的关系）对应的点

38、都在如图所示的图象上.该图象从左至右，依次是线段OA曲线AB和曲线BC其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y5x2 205x 1230的一部分，且点 A B, C的横坐标分别为4, 10, 12（1）求该公司累积获得的利润 y （万元）与时间第 x （月）之间的函数关系式;(2)直接写出第x个月所获得S (万元)与时间x (月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程)；(3)前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多最多利润是多少万元2、某商品的进价为每件 40元，售价为每件 50元，每个月可卖出 210件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖10

39、件(每件售价不能高于 65元).设每件商品的售价上涨 x元(x为正整数)，每个月 的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元2、二次函数中的面积问题例题1:某居民小区要在一块一边靠墙 (墙长15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成.若设花园的宽为x(m),花园的面积为y(m2 ).(1)求y与x之间的函数关系，

40、并写出自变量的取值范围；(2)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少2121v1.0可编辑可修改随堂练习：如图所示，在一个直角 MBN的内部作一个长方形 ABCD其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m,长方形的面积为 y m',要使长方形的面积最大，其边长x应为（）24m B 、6 m C4、15 m D例题2:如图，O O的半径为D一一，12,2m 一 一，2, G是函数y=1x2的图象，G是函数y=-1x2的图象，则阴影部分的面积2Cl22223 一一5例题3：如图，直线y-x 6分别与x轴、y轴交于

41、A B两点，直线y x与AB交于点C,与4 4过点A且平行于y轴的直线交于点 D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形 PQMN ,设正方形PQMN与4ACD重叠部分（阴影部分）的面积为 S （平方单位）.点E的运动时间为t （秒）.（1）求点C的坐标；（2）当0 t 5时，求S与t之间的函数关系式;v1.0可编辑可修改(3)求(2)中S的最大值;(4)当t 0时，直接写出点,94,一2在正方形PQMN内部时t的取值范围.2424随堂练习：1、如图，矩形 ABCD勺两边长 AB=18cm, A=4cm,

42、点P、Q分别从 A B同时出发，P在边AB上沿AB方向 以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒，4PBQ 的面积为y (cm).(1)求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(2)求 PBQ勺面积的最大值2、如图，把抛物线 y=1x2平移得到抛物线 m抛物线m经过点A (-6, 0)和原点0(0, 0),它的顶点为 2P,它的对称轴与抛物线 y= 1x2交于点Q则图中阴影部分的面积为 . 23、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的图象经过原点 Q交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,-心).(1)求抛物线的函数解析式及点

43、A的坐标;(2)在抛物线上求点P,使Sapo=2Saao与4、如图，已知直线 y1交坐标轴于 A,B两点，以线段 AB为边向上作正方形ABCD ,过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E .(1)请直接写出点 C, D的坐标;(2)求抛物线的解析式；(3)若正方形以每秒 J5个单位长度的速度沿射线 AB下滑，直至顶点 D落在x轴上时停止.设正方形 落在x轴下方部分的面积为 S,求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量 t的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积。v1.0可编辑可修改3、涵洞桥梁隧道问题例题1:如

44、图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度0皿12米.现以O点为原点,OMf在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点 M及抛物线顶点 P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架"AD- DC-CB使G D点在抛物线上，A B点在地面OMh,则这个“支撑架”总长的最大值是多少随堂练习：1、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分AC廓口矩形白三边 AE ED DB组成，已知河底 ED水平的，ED= 16米，AE= 8米，抛物线的顶点 C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴 y轴建立平面直角坐标系，(1

45、)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED的距离h (单位：米)随时间t (单位：时)的变化满足函数关系。,12h=-(t 19) 8 (0wtw40)且当水面到顶点 C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计 128算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行I !Mt- r.<, .PT.- Ji-'2、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如左图所示) ，拱高6ml跨度20m相邻两支柱间的距离均为5ml(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如右图所示)，求抛物线的解析式；(2)求支柱的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道 (正中间是一条宽 2m的隔离

46、带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2ml高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)请说明你的理由。2626v1.0可编辑可修改4、二次函数和圆相结合例题1：如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于2A B、C、D四点。抛物线y ax bx c与y轴交于点D ,与直线y x交于点M、N ,且MA、NC分别与圆。相切于点A和点C。(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交 x轴于点E ,连结DE ,并延长DE交圆。于F ,求EF的长;(3)过点B作圆。的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上，说明理由。2828A(xi,0)、随堂练习：如

47、图，已知二次函数y (x m)如果AB恰好为OP的直径，且 ABC的面积等于 J5,求m和k的值。 k m2的图象与x轴相交于两个不同的点BdQ),与y轴的交点为C .设4ABC的外接圆的圆心为点 P。(1)求。P与y轴的另一个交点 D的坐标;(2)三、二次函数中的运动性问题1、动点问题注意动的点以及其所构成的位置关系。般而言会有两个到三个点运动。此时需要我们注意这几个点之间的关系以及各个点之间的运动的不同。例题1:在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4 , 0), B(0, -4) , C(2, 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m

48、j AMB勺面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q R O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。随堂练习：如图，抛物线y x2 2x 3与x轴相交于A B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,顶点为Q(1)直接写出 A B C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF(0, 2)y ax2 bx cv1.0可编辑可修改一 3 _PQ -AB42929v1.0可编辑可修改3030y ax2 bx 3 xyA(

49、4,0), B(1,0),C( 2,6)2y ax bx c a 0 2, 1 0,3 是否存在点E,使彳导以口 E、F为顶点的三角形与BCOlf似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。v1.0可编辑可修改2、折叠、旋转、平移问题例题1:已知：如图，抛物线 y a(x 1)2 c与x轴交于点 A (1 73, 0)和点B,将抛物线沿 x轴向上翻折，顶点P落在点P/ ( 1, 3)处。(1)求原抛物线的解析式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级 5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点 P彳X轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线 CD以上的部分去掉，设计成一个“ W型

50、的班徽，“ 5” 的拼音开头字母为 W “W图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“ W图案的 高与宽(CD的比非常接近黄金分割比 亘(约等于)。请你计算这个“ W图案的高与宽的比到底是2多少(参考数据：亚 2.236,芯 2.449,结果可保留根号)。3131v1.0可编辑可修改3333随堂练习：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象所示，若I2ax +bx+c I = k (kw0)有不相等的实数根，则 k的取值范围是(Ak<-3B、 k>-3C、 k<3口 k>3例题2：正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上，D在y轴

51、的负半轴上，AB交y轴正半轴于E, BC交x轴负半轴于F, OE 1,抛物线y ax2 bx 4过A、D、F三点.(1)求抛物线的解析式;(2) Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边 AD于M，交BC所在直线于N,.3若S四边形AFQM3 Sa FQN，则判断四边形AFQM的形状;FIrAi kxivil1 I XXI V (3)在射线DB上是否存在动点 P ,在射线CB上是否存在动点 H ,使得AP，PH且AP PH ,若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由。随堂练习:1、定义一种变换：平移抛物线Fi得到抛物线F2,使F2经过Fi的顶点A .设F2的对称轴分别交 Fi, F2于点D, B,点C是点A关于直线BD的对称点。(1)如图1,若F1 ： y x2,经过变换后，得到 F2 ： y x2 bx ,点C的坐标为(2,0),则b的值等_四边形ABCD为()A平行四边形B、矩形C菱形D、正方形如图2,若Fl： y ax2 c,经过变换后，点 B的坐标为(2, c 1),求4ABD的面积；(3)如图3,若Fi： y1x2-xz，经过变换后，AC2 J3,点P是直线AC上的动点，求点P333到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值。2、如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板 ABCa在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C的坐标为(