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文档简介
1、探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥,所有的棱长都相等,四个面是全等的等边三角形,有外接球、内切球,且球心重合.已知正四面体ABCD麦长为a,设外接球半径为R,内切球半径为r ,球心为O,则正四面体的高h是否a,外接球半径是 a即R 3h;内切球344半径是 堂a即r -h.外接球半径是内切球半径的 3倍.下面从不同角124度、用不同方法进行探求:方法一:(勾股定理)作AH 平面BCDT H点,则点H是VBCD勺中心,6局h ah Ja,设。为球心,则。AH.连结BH, BO 3在 RtVBOH中,Bd BH2 OH2 ,即 r2(理 a)2 (立 a r)233方法二:(
2、三角正切倍角公式) 作AH 平面BCDT H点,则点H是VBCD勺中心,、6图h ah a,设。为球心,则O AH.连结 BH, BO在 RtVABH中,tanBH 231a 二Ah q Ta3在 RtVOBH中,tan 2BH . a .3aOH r IT方法三:(分割等体积)作AH 平面BCDT H点,则点H是VBCD勺中心,高h ah 与a ,设。为球心,贝U O AH.连结BO CO DO得到四个以。为顶点的小棱锥,它们的底面是正四面体的一个面,高是内切球的半径r ,设正四面体每个面的面积为S,11则乂 bcd Vabcd,即 4-Sgr -SgAH,33方法四:(侧棱、高相似或三角)
3、作AH 平面BCDT H点,则点H是VBCD勺中心,高h AH 啦a,设O为球心,则O AH.3设M是AB的中点,连结OMOBBH,AMO AHB Rt ,又 MAOHAB,VAMO: VAHB,AM AOAH ABa即26a3或:设 BAHMAO在 RtVABH中,cosAHABa在 RtVAMO, cos AM 2.AO R'6aa32aR以下同上.方法五:(斜高、高相似或三角)作AH平面BCDT H点,则点H是VBCD勺中心,高h AH朱,设。为球心,则。AH.设E为BC中点,连结AE, EH,作ON AE于N点,则N是VABC中心,N是AE的三等分点,ON 平面ABCO虎内切圆
4、半径r,且 RtVANO: RtVAEHAN ACAH AE,3a a即3.Aa3R牝,a2或:设 EAHNAO在 RtVAEH中,cosAHAE6 a a-3_ 旦'2在 RtVANCFh1,cosANAO3a3_R.6a3aa a以下同上.3_33Ra2方法六:(斜高、侧棱相似或三角)作AH平面BCDT H点,则点H是VBCD勺中心,高h AH *a,设0为球心,则0 AH设E为BC中点,连结AE, DE DO,延长DO交AE于N,则N是AE的三等分点,H DE 且DN 平面ABC贝URtVODH: RtVDNEOHNEODDER3r.又 R r AH h邑a, 3或:在 RtVDNE,sin NDENEDE在 RtVDOH,sinNDE sinODHOH OD,OH NE 1OD DE 3'3r.OH JOD 3 '又R r AH方法七:(构造正方体)正四面体的四个顶点是正方体的顶点,此时正四面体的外接球也是正方体的外接球,正四面体的棱长为 a,则正方体的棱长为222 a.正方体的体对角线等于外接球直径,有石枭2R,方法八:(相交弦定理)设外接球球心为O,半径为R,过A点作球的直径, 交底面VBC阡H,贝UH为VBCD勺外心,求得AH 啦a, BH 屿a,由相交弦定理得 33解得R 16 a. 4以上从不同角度针对正四面体
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