探求正四面体外接球内切球半径求法

1、探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD麦长为a,设外接球半径为R,内切球半径为r ,球心为O,则正四面体的高h是否a,外接球半径是 a即R 3h;内切球344半径是 堂a即r -h.外接球半径是内切球半径的 3倍.下面从不同角124度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作AH 平面BCDT H点，则点H是VBCD勺中心，6局h ah Ja,设。为球心，则。AH.连结BH, BO 3在 RtVBOH中，Bd BH2 OH2 ,即 r2（理 a）2 （立 a r）233方法二：（

2、三角正切倍角公式） 作AH 平面BCDT H点，则点H是VBCD勺中心,、6图h ah a,设。为球心，则O AH.连结 BH, BO在 RtVABH中，tanBH 231a 二Ah q Ta3在 RtVOBH中，tan 2BH . a .3aOH r IT方法三：（分割等体积）作AH 平面BCDT H点，则点H是VBCD勺中心，高h ah 与a ,设。为球心，贝U O AH.连结BO CO DO得到四个以。为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r ,设正四面体每个面的面积为S,11则乂 bcd Vabcd，即 4-Sgr -SgAH,33方法四：（侧棱、高相似或三角）

3、作AH 平面BCDT H点，则点H是VBCD勺中心,高h AH 啦a,设O为球心，则O AH.3设M是AB的中点，连结OMOBBH,AMO AHB Rt ，又 MAOHAB,VAMO: VAHB,AM AOAH ABa即26a3或：设 BAHMAO在 RtVABH中,cosAHABa在 RtVAMO, cos AM 2.AO R'6aa32aR以下同上.方法五:（斜高、高相似或三角）作AH平面BCDT H点，则点H是VBCD勺中心,高h AH朱，设。为球心，则。AH.设E为BC中点，连结AE, EH,作ON AE于N点，则N是VABC中心，N是AE的三等分点,ON 平面ABCO虎内切圆

4、半径r,且 RtVANO: RtVAEHAN ACAH AE，3a a即3.Aa3R牝，a2或：设 EAHNAO在 RtVAEH中,cosAHAE6 a a-3_ 旦'2在 RtVANCFh1,cosANAO3a3_R.6a3aa a以下同上.3_33Ra2方法六:（斜高、侧棱相似或三角）作AH平面BCDT H点，则点H是VBCD勺中心,高h AH *a，设0为球心，则0 AH设E为BC中点，连结AE, DE DO,延长DO交AE于N,则N是AE的三等分点,H DE 且DN 平面ABC贝URtVODH: RtVDNEOHNEODDER3r.又 R r AH h邑a, 3或：在 RtVDNE,sin NDENEDE在 RtVDOH,sinNDE sinODHOH OD,OH NE 1OD DE 3'3r.OH JOD 3 '又R r AH方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为 a,则正方体的棱长为222 a.正方体的体对角线等于外接球直径，有石枭2R,方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O,半径为R,过A点作球的直径, 交底面VBC阡H,贝UH为VBCD勺外心，求得AH 啦a, BH 屿a,由相交弦定理得 33解得R 16 a. 4以上从不同角度针对正四面体