2012年高考数学二轮复习专题辅导资料：专题(4)函数与方程思想

1、专题四函数与方程思想【考情分析】纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学 思想方法的考克，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例 始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。 函数与方程思想是最重要的种数学思想，高考中所占比重比较大,综合知识多、题型多、 应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应 用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程：（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研

2、究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系：（4）构造方程求解。预测2012年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等 式间的关系；特别注意客观形题目，大题一般难度略大。【知识交汇】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程, 求取值范围的问即就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式） 思想的运用使我们解决问题的用要手段。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程八x）=0的解就是函 数y=_/（x）的图像*j x轴的交点的横坐标，函数y=/（x）也可以看作二元方程/（x） y=0通过

3、 方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助 有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题: 二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函 数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解 决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本 思想，也是历年高考的重点。1 .函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函 数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解 决。

4、函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解翘就是善于利用函数知识或函数观 点观察、分析和解决问题；2 .方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构 造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察 处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等最关系；3 .函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问眶 需要用函数的知识和方法去解决.对于函数丫=枢).当y=0时，就转化为方程f(x)=O, 也可以把函

5、数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=O,函数与方程可相互转化。4 .函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x),当y=0时，就转化为方程f(x) =0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0.函数问题(例如求反函数，求 函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解, 如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x),当y>0时，就转化为不等 式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等 式；(3)数列的通

6、项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问 题十分重要：(4)函数f(x)=(at + Z?)" (nWND与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用 赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问即，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解 二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论：(6)立体几何中有关线段、角、面积、体枳的计算，经常需要运用布列方程或建 立函数表达式的方法加以解决。【思想方法】题型1：函数思想在方程中应用例1.己知回一，=«、b、ceR),贝ij行()5a(A) b2 > 4ac (B) b

7、2 >4ac (C) b2 <4ac (D) b2 < 4ac解析：法一：依题设有a - 5 b V5 +c=0,岳是实系数一元二次方程+bx + c = 0的一个实根；， = / -4ac 0 ：.bz > 4ac 故选(B)：法二：去分母，移项，两边平方得：5b2 = 25a2 +10ac + c2 210ac+2 5a c=20ac,b2 > 4ac 故选(B)题型2：函数思想在不等式中的应用例2.若a、b是正数，且满足时=。+3,求时的取值范围。方法一(看成函数的值域):砧=。+ + 3,而b>0，黄>0，刖 i_此. a + 3 (a1 尸+

8、5(。1)+4即 a>l 或 v3, 又 a>0, .«>1» 故 al>O.ah=a ,=(«1)a1a1、'4+-+5>9.a44当且仅当1=->即。=3时取等号.又a>3时，(-1)+-+5是关于。的单1、/ a1调增函数."的取值范围是9, +oo).方法二(看成不等式的解集)：a，b为正数，+花2皿，又ab=a+b+3, ：,abN2mb 4-3.即2y/ab3>0,解 flab>3 或 1 (加去).ab>9. ab 的取位范【M 是9, + 8).方法三 若设而=f,则a+

9、=L3, a, 6可看成方雇/一(/-32+/=0的两个正根.p=(/-3)2/1920那么各个树坑到第i个树坑距离的和是：5 = (z-1)x10 + (/-2)x104-L +(/-z)x10+(/4-1)-/x10 + L +(20-z)x101A.，(i + l) . z0n .、(20i)(i + l + 20)0. 01A=lOxpx/- -i-1x(20-1) + - = 10(/ -21/ + 210)o 2所以当i = 10或11时，s的值最小，最小值足1000,所以往返路程的最小值是2000米。(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一-4

10、r>0 任1 或仑9从而有*+=，-3>0,即，>3,a/?=f>01/>0解得史9,即疝29. J而的取值范围是9, +8).点评：当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明髭信息，构造方才 后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减 少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究 函数的方法将问题解决。题型3:函数思想在实际问题中的应用例3. (2011陕西理M) .植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一 棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑

11、旁边，使每位同学从各自 树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 (米).【分析】把实际问题转化为数学模型，然后列式转化为函数的最值问题：【解】(方法一)设树苗放在第1个树坑旁边(如图)，个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到笫10个和 第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在19(1 + 19)第一个树坑旁，则有路程总和是10x(l + 2 + L +19)x2 = 10xx2 = 38OO：树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时，路程总和是：10x(l + 2 + L +9) + 10x(1 + 2

12、+ L +10)x2= 10x9x(1 + 9)x24-10x10x(1410)x2 = 900+1100 = 2000, 22所以路程总和最小为2000米.点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关健作用，函数是解决具体问题的有效工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。题型4：函数思想在数列中的应用例4.设等差数列同的前n项和为Sn,已知% =12, S12>0, S13<0,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S、S3，S中哪一个最大，并说明理由。解析：(1)由% =12 得：/ =12 24,V S12 = 12/ + 444 = 144 +

13、42d >0, 513 = 13+ 78d = 156 + 52d <0,(2) Sn = nal + d = -dn2 +(12-J)/,25 12Vd<0. S是关于n的二次函数，对称轴方程为：x=：华.2 d245 12 13 一 <d< 3, 6< 1 < 9工当n=6时，Sn最大。点评：数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十 分重要。题型5：函数思想在立体几何中的应用例5. (1)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆。所在平面，C是圆周上任一点，设 ZBAC=0. PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。

14、分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从 而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。,->->2rsl1厂 0 ,4rsin " 6x + 4r- sin " 0 = (sin - 8 + l)x - . , ,、 ' +1+sin- 04所以当x = §时，V(,v)2当x = §时，V(x)2 =min16729207294, sin 2 0夷评，解决本题的关键在于确定目标函数时.根据相关条件的特征，构造了二次方程. 并由此得出定义域使问题得解。题型6：利用方程思想处理解析几何问题例6. (1

15、)直线(l + a)x + y + l = O与圆厂+ »2x = 0相切，则a的值为(A. 1» 1B. 2> 2C. 1D. 1解析：由直线方程得y = -l-(l + «)x ,并代入圆方程，整理得 (2 + 2 + a2)x2 + lax +1 = 0。又直线与圆相切，应布. = 4 一4(2 + 2。+。二)=一8。-8 = 0,解得 =一1。故选D。点评：即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程，消去y,得关于x的一元二次方程，其 判别式为4,则有：(1)曲线C与直线/相离= <()； (2)曲线C与直线/相切<=> = ()： (3

16、)曲线C与直线/相交。(2)ZkABC 的三边 a, b, c 满足 b=8c, a2 - be - 12a + 52 = 0 ,试确定AABC 的 形状。解析：因为 b+c=8, be = a2 - 12a + 52 »所以b, c是方程/- 81 + a?-12a + 52 = 0的两实根，故 A = (-81一 4(1一 12a + 52)=-4(cJ - 12a + 36) > 0即_4(。-6)：: NO,所以a = 6。从而得b=c=4,因此aABC是等腰三角形。点评：构建一元二次方程的模型解决数学问题，是-种行之有效的手段，其独特功能在 于充分运用构建的一元二次方

17、程及根的判别式和求根公式变更命题.从而使问题获得圆满解 决。题型7：函数思想在三角中的应用例 7. (1)求 smxcosx+sinx + cosx 的取值范围。解析：设sin.r + cosx =/ g -V2, JJ,/一t2 I ri则sinxcosx=-,构造二次函数y =万 +，-5 , t e -V2» 应,由图1可知：f V22y图1即 一1 < sin x cos x + sm x + cos x <+V2 <> 2(2)己知函数/(M = -sin2K+sinx + a,当/(x) = 0有实数解时，求a的取值范围。解析：由/(x) = 0得

18、一sin? x + smx + a = 0,分离 a 得:问题转化为求a的值域。因为smx£|-l, 1,所以(smx-g) e 一(，2故当aw - 1, 2时，/(x) = 0有实数解。4点评：该题通过三角换兀构造了二次函数，最终求得最值。题型8：方程思想在求函数最值中的应用例8. (1)如果函数)，=空卫的最大值是4,最小值是一1,求实数a、b的值。X" + 121解析：由y的最大值是4,知存在实数x使竺二 =4,即方程4/一双+ 4 = 0有 尸+ 1实根，故有16(4 )之 0 ；又由y的最大值是4,知对任意实数x恒有空士2 44,即4/一。丫 + 420恒成尸+

19、 1立，故- 16(4 )V 0,从而有=-16(4 /?) = 00同样由y的最小值是一 1.可得A? - 4(1+)= 0。A. = 01 c，可解得, =0=±4o=3(2)已知函数y=>+4底+ 的最大值为7,最小值为一1,求此函数式。 厂+ 1解析：函数式变形为：(ym)x: 473x + (yn)=0, xGR,由已知得 ymoO, /. = (4 75 )2 4(ym)(yn)>0oBP： y2 (m + n)y+(mn 12)<0 ，不等式的解集为(- 1,7),则0+(?+)+，”-12 = ° 。49 - 7(/n+n)+ mn -12

20、 = 0解得：1=5或.2=n = 1 n = 5(也可：由解集(一1,7)而设(y+l)(y7)40,然后与不等式比较系数而得。)点评：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认 为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨。题型9：方程思想在数列知识中的应用例 9.若(zX 4(xy/yz)=0,求证：x、y、z 成等差数列。分析：题设正好是判别式b?-4ac=0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。证明:当x=y时，可得x=z,v、z成等差数列；当 xwy 时，设方程(xy)t? (zx)t+(yz)=0,由=()得 t =t,并易

21、知 t=l 是方 * 程的根。At,-t, = v =1,即 2y=x+z, x - yx、y、z成等差数列。点评：题设条件具备或经变形整理后具备x1+x.=a、乂)，=1)的形式，则利用根与系 数的关系构造方程：具备b?-4ac?0或b2-4ac0的形式，可利用根的判别式构造一元二 次方程。即型10：方程思想在三角知识中的应用例 10. ZiABC 中，求证：cosA cosB cosC<l8证明：设 k = cosA cosBcosC = 1 cos(A + B) + cos(A B) cosC = 1 cosC + cos(A 22B)cosC：整理得：cos2 C - cos(

22、A - B) - cosC+2 k=0,即乔作关于cosC的一元二次方程。A=cos2 (A- B) -8k>0,即 8k<cos2(AB)<l；/日1即 cosA cosB cosC<l o 8S点评：既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosAcosBcosC=. =-lcos2C 2+ lcos(A-B)-cosC= _ 1 cosC+1 cos2 (A B)< 1 cos2 (AB) <1 °222888题型11:函数零点与方程的解例11. (1) (2011天津理2)函数/(x)= 2'+3x的零点所在的一个区间是()(-2

23、,-1)(-10)(0,1)(1,2)DLz 【答案】B【解析】解法1.因为止2)=齐6<°,止1) = 2<° /(。) = 2。+°>°,所以函数f(")= 2'+3%的零点所在的一个区间是(-L0).故选b.解法2. /3 = 2' + 3工=0可化为2' =_3x.画出函数和y = -3x的图象，可观察出选项C, D不正确，且°)= 2°+。>0,由此可排除八，故选b.点评：函数的零点、方程的根以及函数图像与x轴的交点之间存在相互转化关系。本题 主要考察学生对方程的根与

24、函数零点关系的理解，以及利用函数图象确定函数零点的个数的 方法。(2)已知函数/(x) = 2x + ln(l x),则方程/(x) = 0在(-2, 1)内有没有实数解?说明理由？解析：由基本初等函数的性质可知函数/(x) = 2x+ln(l ”在洪：定义域(一8,1)内的图象连续,1112且有/(l e) = 2(l - e) + lne = 3 - 2e<0, /(l-_) = 2(l-) + lii- = l->0, eeee于是有 e工函数/(x)在区间(l - e.)内至少有一个零点,即方程/。)= 0在区间(1-e,)u (2, 1)内至少有一个实数解.点评：本题主要考察学生时函数零点存在判定定理的理解与应用。【思维总结】1 .函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的 关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象, 抽象其数学特征，建立函数关系；2 .在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本 身各量间的制约，列出等式