2020-2021北京中考数学平行四边形综合题

1、2020-2021北京中考数学平行四边形综合题一、平行四边形1.在四边形 ABCD中， B D 180 ,对角线 AC平分 BAD.（1）如图1,若 DAB 120 ,且 B 90 ,试探究边 AD、AB与对角线AC的数量 关系并说明理由.（2）如图2,若将（1）中的条件“ B 90 ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理 由.（3）如图3,若 DAB 90 ,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.1图2【答案】（1） AC AD AB.证明见解析；（2）成立；（3） ad AB V2AC .理由 见解析.【解析】试题分析:1）结论:AC=AD+AB,只要证明AD= - AC,2

2、AB=1AC即可解决问题;2（2） （1）中的结论成立.以 C为顶点，AC为一边作/ ACE=60 , / ACE的另一边交 AB延 长线于点E,只要证明DA8 4BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB= J2AC.过点C作CEL AC交AB的延长线于点E,只要证明4ACE是等腰直角三角形， DA8 BEC即可解决问题；试题解析：解：（1） AC=AD+AB在四边形 ABCD中，/ D+/ B=180° ,/ D=90 ； / DAB=120 , ° AC 平分 / DAB,Z DAC=Z BAC=60 ,° / B=90 ；1 一 一，AB=AC,同理 AD

3、= - AC.22，AC=AD+AB.(2) (1)中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作/ACE=60, / ACE的另一边交AB延长线于点E, / BAC=60 ,° .AEC为等边三角形，.AC=AE=CE / D+Z ABC=180DAB=120 ,°/ DCB=60 ；/ DCA=Z BCE, / D+Z ABC=180 , ° Z ABC+Z EBC=180, °，/D=/CBE -.CA=CE .DACABEC.AD=BE,.AC=AD+AB.(3)结论：AD+AB= &AC理由如下：过点C作CE! AC交AB的延长线于点

4、 E, / ZD+Z B=180° , Z DAB=90 ,邺飞DCB=90 ； / ACE=90,°/ DCA=Z BCE,又 AC平分/ DAB,/ CAB=45 ,°/ E=45 .°.AC=CE又/ D+/ABC=180 , /D=/CBE.CDAACBE，AD=BE,，AD+AB=AE在 RtMCE 中，/CAB=45 ,AC .AE= J2ACcos45AD AB= 2AC.2.在图1中，正方形 ABCD的边长为a,等腰直角三角形 FAE的斜边AE= 2b,且边AD和 AE在同一直线上.操作示例当2bva时，如图1,在BA上选取点G,使BG=

5、 b,连结FG和CG,裁掉4FAG和4CGB 并分别拼接到4FEH和4CHD的位置构成四边形 FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将 4FAG绕点F逆时针旋转90。到4FEH的位置，易 知EH与AD在同一直线上.连结 CH,由剪拼方法可得 DH=BG,故CHgCGB,从而又可将4CGB绕点C顺时针旋转90°到4CHD的位置.这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1）,过点F作FMLAE于点M （图略），利用 SAS公理可判断HFMCHD,易 得FH=HC=GC=FG /FHC=90.进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形.实践探究（1）正方形FGC

6、H的面积是;（用含a, b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图 2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的 示意图.联想拓展小明通过探究后发现：当 bWa时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.当 b>a时（如图5）,能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由.图5【答案】（1） a2+b2; （2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析.【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等

7、腰直角三角形斜边的一半.注意当 b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割.详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2;剪拼方法如图2-图4;郅点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方 法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋 转的三角形，连接的点都应是相同的.3.操作：如图，边长为 2的正方形ABCD,点P在射线BC上，将4ABP沿AP向右翻折， 得到AEP, DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时， 若/BAP=30,求/AFE的度数；若点E 恰为线段DF的中点时，

8、请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时 /AFD的度数.归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与 B, C重合），/AFD的度数是否会发 生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2,若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论.F囱图二【答案】（1）45° ;BC的中点，45° （2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析 .【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出/ DAE度数，在三角形 AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由

9、E为DF中点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/ BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形 BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B, C重合），/AFD的度数不会发生变化，作 AG± DF于点G,如图1 （a）所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出/1 + /2的度数，即为/FAG度数，即可求出/F度数；（3）作出相应图形，如图 2所示，若点P在BC边的延长线上 时，/AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG

10、LDE于G,得/DAG=/ EAG,设/ DAG=Z EAG= q根据/ FAE为/ BAE一半求出所求角度数即可.试题解析：（1）当点P在线段BC上时，.一/EAP=Z BAP=30,，/ DAE=90 -30 °X 2=30,° 在 ADE 中，AD=AE, / DAE=30°, . . / ADE=/ AED= （180 - 30 °） +2=75,° 在 AFD 中，Z FAD=30+30 =60 °, / ADF=75 ； ZAFE=180 -60 - 75 =45 °点 E 为 DF 的中点时，P也为BC的中点，

11、理由如下：图1如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/BC,= EG/ AD,DE=EF .EG='AD=1, AB=AE, .点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段 BE, .OB=OE） / GE/ BP,/ OBP=/ OEG, /OPB=/ OGE, .-.ABOPAEOG, . BP=EG=1 即 P 为 BC 的中点， . / DAF=90 ,/ BAF, / ADF=45 +2 BAF,/ AFD=180 - / DAF- / ADF=45 ;° ( 2) / AFD 的度数不会发生变化，作 AGLD

12、F于点G,如图1 (a)所示,富 1R)在 4ADE 中，AD=AE, AG± DE, AG 平分/DAE,即 /2=/DAG,且1/1 = /BAP, . . / 1 + /2二>< 9=45 ；即 /FAG=45,° 贝U/AFD=90，45 =45； (3)如图 2所示，/ AFE的大小不会发生变化，/ AFE=45 ,/ BAE=901+21/ FAE=/BAE=45 ° ,+忘/FAG=/ FAE/ EAG=45 在 RtAFG 中,作 AG± DE于 G,得/ DAG=Z EAG,设 / DAG=Z EAG通,ZAFE=90 -

13、45 =45 :考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质4.操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板 ECF和一个正方形 ABCD摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C重合，点E、F分别在正方形的边 CR CD上, 连接AF.取AF中点 M, EF的中点N,连接 MD、MN.(1)连接AE,求证：4AEF是等腰三角形；猜想与发现：(2)在(1)的条件下，请判断 MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1: DM、MN的数量关系是二结论2: DM、MN的位置关系是拓展与探究：(3)如图2,将图1中的直角三角板 ECF绕点C顺时针旋转18

14、0°,其他条件不变，则 (2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF继而证明出 ABE0ADF,得到AE=AF从而证明出 4AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接 AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明

15、出1 1MN/AE, MN=*AE,利用三角形全等证出 AE=AF,而DM=，AF,从而得到 DM, MN数量相 等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到/DMN=/DGE=90,从而得到 DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）二.四边形 ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD / B=/ ADF=90 , = CEF 是等腰直角三角形， /C=90, .-.CE=CF - BC- CE=C> CF,即 BE=DF .ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2） DM、MN的数量关系是相等， DM、MN的位置关系是垂直；二,

16、在RtADF中DM是斜边 AF的中线，AF=2DM, / MN是4AEF的中位线，AE=2MN, -. AE=AF, . . DM=MN ; -/ DMF=/ DAF+/ ADM ,AM=MD , / FMN=Z FAE / DAF=Z BAE,/ ADM= / DAF=Z BAE, . / DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+/FAE之 BAD=90. DM,MN ; （3） （2）中的两个结论还成立，连接 AE,交MD于点G,二点M为AF的中点，点N为EF的中点，II .MN/AE, MN=r'AE,由已知得， AB=AD=BC=CD / B=/ADF, CE=CF 又

17、. BC+CE=CD+C F 即 BE=DF /. AABEAADF, ，AE=AF,在 RtADF 中，点 M 为 AF 的 111中点，DM=AF,DM=MN , / AABE AADF, ，/1 = /2, -. AB/ DF, ，/1 = /3,同理可证：Z2=Z4, .l. Z3=Z4, 1 DM=AM , ，/MAD=/5,Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+ Z 3=90 ,° / MN / AE, . . / DMN= / DGE=90 . DM，MN .所 以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.

18、旋转的性质.5 .已知：如图，在平行四边形 ABCD中，。为对角线BD的中点，过点 O的直线EF分别交AD, BC于E, F两点，连结 BE, DF.(1)求证：ADO三BOF.(2)当/ DOE等于多少度时，四边形 BFDE为菱形？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)当/DOE=90。时，四边形BFED为菱形，理由见解析试题分析：(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOmBOF(ASA)；(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED即可得出答案.试题解析：(1) :在？ABCD中，。为对角

19、线BD的中点，BO=DO, / EDB=Z FBQ 在AEOD和AFOB中“口口 =DO = BOQeOD = .,.DOEABOF (ASA)；(2)当/DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：.DO三 BOF,OE=OF,又.OB=OD,二.四边形EBFD是平行四边形,. /EOD=90； .,.EF± BD,四边形 BFDE为菱形.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.6 .如图，四边形 ABCD中，/BCD=/D=90°, E是边AB的中点.已知AD=1, AB=2.(1)设BC=x, CD=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)

20、当/B=70°时，求/AEC的度数；(3)当4ACE为直角三角形时，求边 BC的长./ / CB【答案】(1) y J x2 2x 30 x 3 ； (2) /AEC=105° ( 3)边 BC 的长为2或？.【解析】试题分析：(1)过A作AH, BC于H,得到四边形 ADCH为矩形.在4BAH中，由勾股定 理即可得出结论.(2)取CD中点T,连接TE,则TE是梯形中位线，得 ET/ AD, ET±CD,ZAET=ZB=70 :又 AD=AE=1,得到 Z AED=Z ADE=Z DET=35°.由 ET 垂直平分 CD,得 / CET= / DET=3

21、5°,即 可得到结论.(3)分两种情况讨论：当/ AEO90 °时，易知 CBE CAE CAD,得/ BCE=30 °,解4ABH即可得到结论. 当/CAE=90°时，易知CDABCA,由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解：(1)过A作AHLBC于H.由/D=/BCD=90°,得四边形 ADCH为矩形.在4BAH 中，AB=2, Z BHA=90°, AH=y, HB= x 1 ,22 y2 x 12,则 y x2 2x 30 x3(2)取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线，得 ET/ AD, ET±C

22、D,/ AET=Z B=70 :又 AD=AE=1,Z AED=Z ADE=Z DET=35°.由 ET垂直平分 CD,得 / CET=/DET=35°,/ AEC=70 +35 =105 :(3)分两种情况讨论：当/ AEO90 °时，易知 CBE CAE CAD,得/ BCE=30 °,则在 4ABH 中，/B=60°, /AHB=90°, AB=2,得 BH=1,于是 BC=2. 当/CAE=90 °时，易知 CDABCA,又 AC JBC_AB2 &_4皿 AD CA 1x2 4117 ,i、则 X - （舍

23、负）AC CB , x2 4 x2易知/ACM90。，所以边BC的长为1 折.2综上所述：边BC的长为2或1 而.2点睛：本题是四边形综合题.考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质.解题的关键 是掌握梯形中常见的辅助线作法.7.如图，在菱形 ABCD中，AB=4, ZBAD=120°, AAEF为正三角形，E、F在菱形的边BC, CD 上.(1)证明：BE=CF(2)当点E, F分别在边BC, CD上移动时(4AEF保持为正三角形)，请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变,求出这个定值；如果变化，求出其最大值.(3)在(2)的情况下，请探究 4CEF的面积是否发生变化？若不

24、变，求出这个定值；如【解析】试题分析：(1)先求证 AB=AC,进而求证 ABC 4ACD为等边三角形，得 / 4=60°,AC=AB进而求证 ABEACF,即可求得 BE=CF(2)根据AB®4ACF可得Saabe=Sacf,故卞|据S四边形AECfESjA. aec+Sa acf=Sa aec+Sa abe=Sa ABC 即可解题；(3)当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.4AEF的面积会随着 AE的变化 而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，又根据 S/xce产S四边形aecfSxaef,则 CEF的面积就会最大.试题解析：(1)证

25、明：连接AC,Z 1 + Z2=60 , Z 3+7 2=60 ,Z 1 = Z3, Z BAD=120 ,Z ABC=Z ADC=60 °四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AQ.ABG AACD为等边三角形Z 4=60 , AC=AB,在 AABE和 AACF 中，rZl=Z3' AB=AC ,ZABC=Z 4. .AB / MCF. (ASA).BE=CE(2)解：由(1)得ABEACF,则 SaabSaacf.故 S 四边形 AECF=SLAE>SAACF=SAAEC*"SlABf SLABC,是定值.作AHLBC于H点，贝U BH=2,S 四边

26、用 AECkSl ABC得既 Wab,Wh?= W3；(3)解：由 垂线段最短”可知，当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.故4AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SacefS四边形aecl Saaef,则ZCEF的面积就会最大.由(2)得，SacefSraw aecf- Saaef= 4V3-yX2Vs x卜2a)2T炳 f /点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证ABEACF是解题的关键.8.如图，在平行四边形 ABCD中，A

27、D± DB,垂足为点D,将平行四边形 ABCD折叠，使点 B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为 EF, EF交对角线BD于点P.(1)连结CG,请判断四边形 DBCG的形状，并说明理由；(2)若AE= BD,求/EDF的度数.A E B【答案】(1)四边形BCGD是矩形，理由详见解析；(2) ZEDF= 120°.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；(2)根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】解：(1)四边形BCGD是矩形，理由如下，四边形ABCD是平行四边形，四边形BCGD是平行四边形,

28、 .ADXBD, / CBD 90 ； 四边形BCGD是矩形；(2)由折叠可知：EF垂直平分BD, BDXEF, DP= BP, .ADXBD), .EF/ AD/ BC,AE PD / 1BE BP .AE= BE,.DE是RtA ADB斜边上的中线，,-.de=ae= be,.AE= BD,.DE=BD= BE,.DBE是等边三角形，/ EDB= / DBE= 60 °,1. AB/ DC,/ DBC= ZDBE= 60 ；/ EDF= 120 :【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用 定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有

29、一定的难度PR PC,9.已知AD是4ABC的中线P是线段AD上的一点(不与点 A、D重合)，连接E、F、G、H分别是AB、AC、PR PC的中点，AD与EF交于点M； BPE 面,推出即可得出(1)如图1,当AB= AC时，求证：四边形 EGHF是矩形；(2)如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与积相等的三角形(不包括 4BPE本身).【答案】(1)见解析；(2) AAPE. APF、CPF PGH.【解析】【分析】1 1(1)由二角形中位线定理得出EG/ AP, EF/ BC, EFBC, GH/ BC, GH=- B'2 2EF/ GH, EF=GH证

30、得四边形EGHF是平行四边形，证得 EF± AP,推出EF± EG,结论；(2)由4APE与4BPE的底AE=BE又等高，得出 国apefSa bpe,由4APE与4APF的底EP=FP又等高，得出 SaapefSaapf：,由4APF与4CPF的底AF=CF又等高，得出Saapf=Scpf,证得4PGH底边GH上的高等于 4AEF底边EF上高的一半，推出1SapghF Sae产Szxapf,即可得出结果.2【详解】(1)证明： B F、G、H分别是 AB、AC PR PC的中点， .EG/ AP, EF/ BC, EF= 1 BC, GH/ BC, GH= 1 BC,22

31、 .EF/ GH, EF= GH, 四边形EGHF是平行四边形， .AB= AC, ADXBC,EF± AP,1) EG/ AP,EF± EG,平行四边形EGHF是矩形；2) ) PE是 APB 的中线， .APE与4BPE的底AE= BE,又等高，Saape= Sabpe,.AP是AAEF的中线， .APE与APF的底.EP= FP,又等高，Sa ape= Sa apf,Saapf= Sabpe,.PF是APC的中线， .APF与CPF的底 AF= 'CF,又等高， S/APF= S/XCPF,Sa cpf= Sa bpe,EF/ GH/ BC, E、F、G、H

32、分别是 AB AC PB、PC的中点，.AEF底边EF上的高等于ABC底边BC上高的一半， PGH底边GH上的高等于 PBC底边BC上高的一半，.PGH底边GH上的高等于 4AEF底边EF上高的一半， .GH= EF, 1 c Sa pgh= Sa aef= Sa apf,2综上所述，与 ABPE面积相等的三角形为：APE、AAPR ACPF PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.10.如图，四边形ABCD是知形，AB 1,BC 2,点E是线段BC上一动点(不与 B,C重合

33、)，点F是线段BA延长线上一动点，连接 DE, EF,DF, EF交AD于点G .设 BE x,AF y ,已知y与x之间的函数关系如图 所示.图图(i)求图中y与x的函数表达式；(2)求证：de DF;(3)是否存在x的值，使得 4DEG是等腰三角形 领口果存在，求出x的值;如果不存在, 说明理由【答案】(1) y= - 2x+4 (0vxv2); ( 2)见解析；(3)存在，x=。或5 疾或3 .422【解析】【分析】(1)利用待定系数法可得 y与x的函数表达式；(2)证明CDa4ADF,得/ADF=/CDE,可得结论；(3)分三种情况： 若 DE= DG,贝U / DGE= / DEG,

34、若DE=EG,如图，作EH/ CD,交AD于H, 若 DG= EG,贝U / GDE= / GED,分别列方程计算可得结论.(1)设 y= kx+b,由图象得：当x=1时，y=2,当x=。时，y=4, 代入得: .y= - 2x+4 (0vxv2)；(2) BE= x, BC= 2CE= 2 - x,CE 2 x 1 CD 1 ,AF 4 2x 2 AD 2CE CD一 一,AF AD四边形ABCD是矩形，. . / C= / DAF= 90 ;. .CDaMDF,/ ADF= / CDE / ADF+ / EDG= / CDE+ / EDG= 90 °,DEXDF；(3)假设存在x

35、的值，使得4DEG是等腰三角形， 若 DE= DG,贝U / DGE= / DEG,四边形ABCD是矩形， .AD/BC, ZB=90 °,/ DGE= / GEB,/ DEG= / BEG,在 DEF和4BEF中，FDE BDEF BEF,EF EF.DEFABEF (AA§ ,.DE=BE= x, CE= 2-x,在RtCDE中，由勾股定理得：1+ (2-x) 2=x2,5x=，4若DE=EG,如图，作EH/ CD,交AD于H,B吟. AD/BC, EH/ CD,四边形CDHE是平行四边形，Z C= 90 °,四边形CDHE是矩形，,-.EH=CD= 1 ,

36、DH = CE= 2-x, EH± DG,-.HG=DH= 2- x,.AG=2x-2,1. EH/ CD, DC/ AB,.EH/ AF,.EHG"AG, EH HG , AF AG 12 x,4 2x 2x 2.5、55.5,金、x1 , x2 (告)22 若 DG= EG,贝U / GDE= / GED,. AD/ BC,/ GDE= / DEC/ GED= / DEC. / C= / EDF= 90 ;.,.CDEADFE,CE DE二,CD DFCD 1AD 21213-/CDEAADF, DE DF CE CD2-x= , x=一,综上，x=5或5-Y5或3.【

37、点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等 的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三 角形的性质是解决本题的关键.11.如图，在平面直角坐标系中，直线 DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,、140 ,直线 AB: y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线 DE于点P,过点E作3EF± x轴交直线 AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGH (1)求边EF的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 Ji0个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边 F

38、1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为 t秒(t>0).当点F1移动到点B时，求t的值； 当G1, H1两点中有一点移动到直线 DE上时，请直接写出此时正方形日F1G1H1与4APE重叠部分的面积.【答案】(1) EF= 15; (2) 10 ; 120 ;【解析】【分析】(1)根据已知点E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标，进而求出 F点坐标即可； 易求B (0, 5),当点R移动到点B时，t=10 J10 W10 =10；RDMH'中，-MH-EM 3 'F点移动到F'的距离是 而 t, F垂直x轴

39、方向移动的距离是 t,当点H运动到直线DE上时，在 RtF'NF 中，-NF=- , EM=NG'=15-F'N=15-3t,在NF 3t=4, s=1 x(12+45)x 11”23 ;当点 G 运动到直线 DE上时，在 RtF'PK中，-PK-=- 248F K 3PK t 34 一一_ 一PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 0b 4043，401 .

40、y = - - x+40,3直线AB与直线DE的交点P (21, 12),由题意知F (30, 15),EF= 15；(2)易求 B (0, 5),2 .BF=10，1Q ,，当点F1移动到点B时，t=10J10 J10 = 10;当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是T10t, 人 NF 1在 RtF'NF 中，=-,NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4 ,EM 3 t 4 - -,15 3t 3. .t =4,.EM =

41、3, MH'= 4,145.S (12 ) 11241023当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是 Vw t,. PF=3 .10 , .PF'= 710t-3 710,在 RtF'PK 中,PK.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34=15 3t 931 .t = 7,2 .S= 15 x（15-7） = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.12

42、.（感知）如图，四边形ABCD CEFG匀为正方形.可知 BE=DG（拓展）如图 ，四边形ABCD CEFG均为菱形，且/A=/F.求证：BE=DG（应用）如图 ，四边形ABCD CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上.若AE=2ED, ZA=ZF, EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是.（只填结【解析】CEFG均为菱形，禾I用 SAS易证得试题分析：探究：由四边形 ABCD四边形 BCEDCG,贝U可得 BE=DG；应用：由 AD/ BC, BE=DG,可得 Saabe+Sacde=Sbec=Scdg=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面积，继而求得答案.试题解析：探

43、究：二.四边形ABCR四边形CEFG匀为菱形,BC=CQ CE=CG / BCD=Z A, / ECG之 F.3 / A=Z F,/ BCD=Z ECG4 / BCD-/ ECD=Z ECGjECD即 / BCE玄 DCG.在ABCE和ADCG中，BC=CDBCE= DCGCE=CG.-.BCEADCG (SAS , BE=DG.应用：二.四边形ABCD为菱形,5 .AD/ BC,6 BE=DG,Saabe+Sacde=Sbec=Sacdg=8 ,7 .AE=3ED,Sa cde= 82 ,4Sa ecG=Sa cde+Sa cdG=10二. S 菱形 cefg=2Sa ecg=20.13.

44、4ABC为等边三角形， af AB. BCD BDC AEC.(1)求证：四边形 ABDF是菱形.(2)若BD是 ABC的角平分线，连接 AD ,找出图中所有的等腰三角形.【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有 ABC, ABDC, AABD, AADF:, ADC, ADE.【解析】【分析】(1)先求证BD/AF,证明四边形 ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；(2)先利用BD平分/ABC,得到BD垂直平分线段 AC,进而证明 DAC是等腰三角形，根据 BD±AC,AF1 AC,找到角度之间的关系，证明4DAE是等腰三角 形，进而得到 B

45、C= BD= BA= AF= DF,即可解题，见详解.【详解】(1)如图 1 中， / BCD= / BDC,BC= BD,.ABC是等边三角形，.AB= BC, .AB= AF,.BD = AF, / BDC= / AEC,BD / AF, 四边形ABDF是平行四边形， .AB= AF, 四边形ABDF是菱形.(2)解：如图 2 中，,BA=BC, BD平分 / ABC, BD垂直平分线段 AC,.DA= DC, ADAC是等腰三角形，. AF/BD, BDXAC .AFLAC,/ EAC= 90 °, / DAC= / DCA, / DAG / DAE= 90 ； / DCA+Z

46、AEC= 90 ;/ DAE= / DEA, .DA= DE,.DAE是等腰三角形, BC= BD= BA= AF= DF, .BCD, AABD, ADF都是等腰三角形,综上所述，图中等腰三角形有 ABC, BDC； AABD, AADF, AADC, ADE【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题 型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.14.已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点 A、C不重 合），过点 P作PE± PB , PE交射线DC于点E,过点E作EF± AC,垂足为点F.（1）当点E落在

47、线段CD上时（如图），求证：PB=PE 在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变 化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中， APEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为 巨;（2）2画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】 分析：（1）过点P作PG，BC于G,过点P作PHI± DC于H,如图1.要证PB=PE只 需证到

48、PG®4PHE即可； 连接BD,如图2.易证 ABO彦 PFE,则有BO=PF只需 求出BO的长即可.（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求 出符合要求的AP的长.P作PG± BC于G,过点P作PHI± DC于H,如图1.四边形ABCD是正方形，PG± BC, PHI± DC, / GPC=Z ACB=Z ACD=Z HPC=45 ,°PG=PH, / GPH=Z PGB=Z PHE=90 .-.PE± PB 即

49、/ BPE=90,°/ BPG=90 - / GPE=Z EPH在APGB和APHE中，PGB= PHEPG=PHBPG= EPH. .PG® PHE (ASA), .PB=PE连接BD,如图2.四边形ABCD是正方形，Z BOP=90 . PEXPBIPZ BPE=90,Z PBO=90 - Z BPO=Z EPFEF± PC即/PFE=90Z BOP=Z PFE在 BOP和 PFE中，PBO= EPFBOP= PFEPB=PE.-.BOFAPFE(AAS), BO=PF.四边形ABCD是正方形，.OB=OC, Z BOC=90 ,. BC=v5 OB.BC=1

50、 .1. OB=, 2点PP在运动过程中,PF的长度不变，值为4223所示.(2)当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图(3)若点E在线段DC上，如图1 . / BPE玄 BCE=90,°/ PBC+/ PEC=180./PBC< 90；Z PEC>90 °.若APEC为等腰三角形，则 EP=EC / EPC4 ECP=45, °/ PEC=90, °与 / PEO90 矛盾，当点E在线段DC上时，APEC不可能是等腰三角形. 若点E在线段DC的延长线上，如图 4.D若APEC是等腰三角形， / PCE=135, °.CP=ce /CPE4 CEP=22.5. °/ APB=180 - 90 - 22.5 = 67.5 . ° / PRC=90+°Z PBR=90+°Z CER / PBR玄 CER=22.5, °/ ABP=67.5 , °/ ABP=Z APB.AP=AB=1.AP的长为1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角 平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知