2020-2021中考数学二次函数的综合题试题含答案解析

1、2020-2021中考数学二次函数的综合题试题含答案解析一、二次函数21 .如图，对称轴为直线 x1的抛物线y ax bx c a 0与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（一3, 0）. 若点P在抛物线上，且 S POC 4s BOC ,求点P的坐标； 设点Q是线段AC上的动点，作 QD）± x轴交抛物线于点 D,求线段QD长度的最大值.【答案】（1）点B的坐标为（1,0）.（2）点P的坐标为（4, 21）或（一4, 5）.线段QD长度的最大值为 -.4【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标.（2）用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到S boc

2、 ,设出点P的坐标，根据Spoc 4S boc列式求解即可求得点P的坐标.用待定系数法求出直线 AC的解析式，由点 Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,-q- 3）,从而由QDx轴交抛物线于点 D,得点D的坐标为（q,q2+2q-3）,从而线段QD等于两点 纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解【详解】解：（1） ,A、B两点关于对称轴 x 1对称，且A点的坐标为（一3, 0）,.点B的坐标为（1,0）.二.抛物线a 1 ,对称轴为x 1 ,经过点A （3, 0）,2a9a2 3b c抛物线的解析式为 y x2 2x 3.一- c _ 1_3，B 点的坐标为（0, 3）.，OB=

3、1,OC=3.，Sboc -1 3-.23 ip /22设点P的坐标为(p,p2+2p-3),则S POC八一3八一一 S POC 4s BOC，一p 6 ,斛仔 p2当 p 4时 p2 2p 3 21 ；当 p 4 时，p2 2p 3 5, 点P的坐标为(4, 21)或(4, 5). 设直线AC的解析式为y kx b ,将点A, C的坐标代入，得:3k bb 3 直线AC的解析式为y x 3. 点Q在线段AC上，设点Q的坐标为（q,-q-3）.又 QD,x轴交抛物线于点 D, 点D的坐标为（q,q2+2q-3）.2八 2八 八2八39 1 QD q 3 q 2q 3 q 3q q -24 ,

4、 a 1< 0 , -3< 3< 02，、， 9线段QD长度的最大值为 一.42.如图，抛物线y= - x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴 交于点C,点D为抛物线的顶点.求点A、B、C的坐标；(2)点M(m , 0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线 AC交于点E,与抛物线交于点 巳 过点P作PQ/AB交抛物线于点 Q,过点Q作QNx轴 于点N,可得矩形PQNM.如图，点P在点Q左边，试用含 m的式子表示矩形 PQNM的 周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的 4AEM的面积；(4

5、)在(3)的条件下，当矩形 PMNQ的周长最大时，连接 DQ,过抛物线上一点 F作y轴的平 行线，与直线 AC交于点G(点G在点F的上方).若FG= 2 V2DQ,求点F的坐标.【答案】(1)A(3, 0), B(1, 0); C(0, 3) ; (2)矩形 PMNQ 的周长=-2m2-8m+2; (3) m = 2; S= 1; (4)F( 4, - 5)或(1, 0).2【解析】【分析】(1)利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点 A, B, C的坐标；(2)先确定出抛物线对称轴，用 m表示出PM, MN即可；(3)由(2)得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出 m,进而求出直线 AC解

6、析式, 即可；(4)在(3)的基础上，判断出 N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ=DC= 应，再建立方程(n+3) - (- n2-2n+3) = 4即可.【详解】(1)由抛物线 y=x22x+3 可知，C(0, 3).令 y=0,贝U 0= x2- 2x+3,解得，x=- 3或乂= l,.A(- 3, 0), B(1 , 0).(2)由抛物线y= - x2- 2x+3可知，对称轴为x= - 1 . M(m, 0),PM = - m2 - 2m+3, MN = (- m-1)X2= - 2m-2, .矩形 PMNQ 的周长=2(PM+MN) = ( m22m+3 2m 2) X2= -

7、2m28m+2 .(3) / -2m2-8m+2 = -2(m+2)2+10,，矩形的周长最大时，m = - 2.,. A(- 3, 0), C(0, 3),设直线AC的解析式y= kx+b,3k b 0b 3解得 k= l, b = 3,解析式y=x+3,令 x= - 2,则 y= 1, -E(- 2, 1),，EM = 1, AM = 1,1 1.S= AMK EM=.22(4) . M(-2, 0),抛物线的对称轴为 x=- l,，N应与原点重合，Q点与C点重合， .DQ=DC,把 x= - 1 代入 y= - x2 - 2x+3,解得 y=4, D( - 1, 4), ,-.dq=dc

8、= 72 - . FG= 2 J2DQ, . FG= 4.设 F(n, - n2 - 2n+3),则 G(n, n+3), 点G在点F的上方且FG= 4, (n+3) - (- n2- 2n+3)=4.解得n= - 4或n = 1, F(-4, - 5)或(1, 0).【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长.3.如图，已知抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于 点C (0, 3),对称轴是直线 x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求

9、抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式； 当线段PQ=3AB时，求tan/CED的值； 4当以点C D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F,交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限.题卤省期图【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. ( 2)直线BC的函数表达式为y=x-3. (3) 2 . Pi ( 1应，2) , P2 ( 1巫，I ) .324【解析】【分析】已知C点的坐标，即知道 OC的长，可在直角三角形BOC中根据/ BCO的正切值求出 OB的长，即可得出 B点的坐标.已知了 4AOC

10、和BOC的面积比，由于两三角形的高相等， 因此面积比就是 AO与OB的比.由此可求出 OA的长，也就求出了 A点的坐标，然后根据 A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式.【详解】(1) 抛物线的对称轴为直线 x=1,一=上=1 2a 2 1 .b=-2 .抛物线与y轴交于点C (0, -3), . c=-3)，抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3 ；(2)二.抛物线与x轴交于A、B两点，当 y=0 时，x2-2x-3=0.1. x1=-1 , x2=3.A点在B点左侧，.A (-1, 0) , B (3, 0)设过点B (3, 0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=

11、kx+m,0= 3k m则，3= mk=1m= 3直线BC的函数表达式为y=x-3;一3(3).=4, PQ=-AB,4PQ=3.PQy 轴 .PQ/ x 轴，3则由抛物线的对称性可得PM= 3 ,2;对称轴是直线 x=1,1 P至1J y轴的距离是一，2_ 1，点P的横坐标为-,4)i.p (-，2.F (0, - 7),47 5 " FC=3-OF=3=4 4 PQ垂直平分CE于点F,5，CE=2FC=2 点D在直线BC上， 当 x=1 时，y=-2,则 D (1, -2),过点D作DG, CE于点G, .DG=1, CG=1,.GE=CE-CG=5 -1 = 3 .22.GD

12、2在 RtEGD 中，tan Z CED=一.EG 3p 1(1-T2, -2), P2(1-6, -2)(2-a),设 OE=a,则 GE=2-a, 当CE为斜边时，则 DG2=CG?GE即1= (OC-OG .1=1 x(2-a),a=1,.CE=2, .OF=OE+EF=2，F、P的纵坐标为-2,把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得: 点P在第三象限.Pi ( 1- V2，-2),当CD为斜边时，DE± CE,，OE=2, CE=1, .OF=2.5,5.P和F的纵坐标为：-,2把y=-5,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-亭，或1 +当

13、，丁点P在第三象限.El乎 -5)综上所述：满足条件为Pl (1-J2, -2) , P2 (1-6, -5) .【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求 法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.4.童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件，已知该款童装每件成本 30元，设降价后该款童装每件售价 X元，每星期的销售量为 y件.降价后，当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元？(2)当每件售价定为多少元时，一星

14、期的销售利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)这一星期中每件童装降价20元；(2)每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润 4000元.【解析】【分析】(1)根据售量与售价 x (元/件)之间的关系列方程即可得到结论.(2)设每星期利润为 W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：(1)根据题意得，(60-x) X 10+100= 3X 100解得：x=40,60- 40=20%,答：这一星期中每件童装降价20元；(2)设利润为w,根据题意得，w= (x-30) (60-x) X 10+100卜-10x2+1000x- 21000 =-10 (x- 50) 2+40

15、00,答：每件售价定为 50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元.【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题， 利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型.5.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.求：(1)房间每天的入住量 y (间)关于x (元)的函数关系式；(2)该宾馆每天的房间收费p (元)关于x (元)的函数关系式；(3)该宾馆客房部每天的

16、利润 w (元)关于x (元)的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？【答案】(1) y=60-; (2) z=-x2+40x+12000; (3) w=-x2+42x+10800,当每个房 101010间的定价为每天 410元时，w有最大值，且最大值是 15210元.【解析】试题分析：(1)根据题意可得房间每天的入住量=60个房间-每个房间每天的定价增加的钱数+10(2)已知每天定价增加为 x元，则每天要(200+x)元.则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价 明间每天的入住量；(3)支出费用为 20X (60-)，则利润 w= (200+x) ( 60- -x

17、) - 20X(60-x),101010利用配方法化简可求最大值.试题解析：解：(1)由题意得：xy=60 10x、12(2) p= (200+x) ( 60- -) =- x +40x+12000一 一 x 一 x(3) w= (200+x) (60) - 20X (60)10101 2=- - x +42x+10800101=-一(x- 210) 2+1521010当x=210时，w有最大值.此时，x+200=410,就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210 元.点睛：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式

18、法.本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般.6.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (1,0)、C (3, 0)、D (3,1 ” 4).以A为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，以每秒 个单位的2速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒.过点P作PE± x轴交抛物线于点 M,交AC(2)(3)线段当t为何值时，4ACM的面积最大？最大值为多少？点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段 CD向点D运动，当t为何值时，在PE上存在点H,使以C Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】(1) A (1, 4) ; y=x2+2x+3; (2

19、)当t=2时，AMC面积的最大值为201； (3) 20 8J5 或一13(1)由矩形的性质得到点 A的坐标，由抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式为 y = a (x-1) 2+4,把点C的坐标代入即可求得 a的值；(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点 M的坐标，由A、C的坐标得到直线 AC的解 析式，进而得到点 N的坐标，即可用关于 t的式子表示 MN,然后根据 ACM的面积是 AMN和4CMN的面积和列出用t表示的4ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t=2时，4AM C面积的最大值为1;(3) 当点H在N点上方时，由 PN =CQ, PN/ CQ得到四边形 PNCQ为平行四边

20、形， 所以当PQ= CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到+(4 J ,解得t值; 当点H在N点下方时， NH=CQ=, NQ=CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2=CQ2,得： (2 + 0-2/)2 :八，解得 t 值.解：(1)由矩形的性质可得点 A (1, 4),;抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式为 y=a (x1) 2+4,代入点C (3, 0),可得a= - 1 . ,y= - (x1) 2+4=x2 + 2x+3.1(2) P (1 t , 4),2心 ，11 2将x 1 t代入抛物线的解析式，y= ( x1) 2+4= 4 t ,24一 1,1,2、 . M (1 -t ,

21、 4 t ),24设直线AC的解析式为y = ir + /),将 A(l,4), C(3,0)代入 y - A,v + b ,得：y = -2, + 6 ,1将x 1 t代入得丁 = 4 一 f,2,1N (1 -t , 4-1 ),21，_ 1MN 三-)一(-jf -IMN =广+ / = (一？/】，当t=2时，AMC面积的最大值为1 .(3)如图1 ,当点H在N点上方时，一 11 ,、. N ( 1 2t, 4-f)，P (1 -t, 4), .PN=4 (4-1) = 1 = CQ, 又 PN/ CQ,四边形PNCQ为平行四边形，当PQ= CQ时，四边形FECQ为菱形， PQ2= P

22、D2+DQ2 = 2；F+(4 炉，. .(2 ；f十(4尸=r ,整理，得t240t 80 0 .解得t1208拆,t220875(舍去)；如图2当点H在N点下方时，NH=CQ=, NQ=CQ时，四边形 NHCQ为菱形,NQ2 = CQ2,得：（2 = .220整理，得 13t2 72t 800 0. 13t 20 t 400 .所以 t1 一，F = 4 （舍去）13图2尊睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析 式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键2 -7 .已知抛物线 y x (5 m)x 6 m .(1)求证：该抛物线与

23、x轴总有交点；(2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m的取值范围；(3)设抛物线yx2 (5 m)x 6 m与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线yx的对称点恰好是点 M,求m的值.【答案】(1)证明见解析；(2) 1<?m?3; (3) m 5或m 6【解析】【分析】(1)本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点.(2)根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果.(3)根据抛物线y=-x2+(5-m) x+6-m,求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与 x 轴的两个交点关于直线 y=-x的对

24、称点的坐标，列方程可得结论.【详解】(1)证明:,2b 4ac22m 4 6m m 70，抛物线与x轴总有交点(2)解：由(1)2m 7 ,根据求根公式可知, （m 7）2方程的两根为:即 x11, x2由题意，有 3<-m 6<51<?n 3(3)解：令 x = 0, y = m 6M (0, m 6)由(2)可知抛物线与x轴的交点为(-1, 0)和(m 6,0),它们关于直线yx的对称点分别为(0 , 1)和(0, m 6),由题意，可得：m 6 1 或 m 6 m 6m 5或 m 6【点睛】本题考查对抛物线与 X轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对

25、 称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算.8 .如图，抛物线y=ax2+bx过点B (1, - 3),对称轴是直线 x=2,且抛物线与x轴的正半 轴交于点A.(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当ywo时，自变量x的取值范围；(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA! BA时，求4PAB的面积.【答案】(1)抛物线的解析式为 y=x2-4x,自变量x的取值范图是0<x<4 (2) 4PAB的 面积=15.【解析】【分析】(1)将函数图象经过的点 B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定 系数a和b;(2)如图，过点 B作B已x轴

26、，垂足为点 E,过点P作PELx轴，垂足为F,设P (x, x2- 4x),证明PFAAEB求出点P的坐标，将4PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形 的面积.【详解】(1)由题意得,二=22a解得a= 1b= 4，抛物线的解析式为 y=x2-4x,令 y=0,得 x2-2x=0,解得 x=0 或 4,结合图象知，A的坐标为(4, 0),根据图象开口向上，则 ywo时，自变量x的取值范围是0WxW；4(2)如图，过点 B作B已x轴，垂足为点E,过点P作PELx轴，垂足为F,. PA，BA / PAF吆 BAE=90 , / PAF吆 FPA=90, / FPA=/ BAE又 / PFA=Z A

27、EB=90 .PFAAEB,PF AF 口 x2 4x 4 x,即，AE BE 2 13解得，x= -1 , x=4 (舍去)-1 x2-4x=-5点P的坐标为(-1, -5),又.B点坐标为(1, -3),易得到BP直线为y=-4x+1 1所以BP与x轴交点为(一，0)41 15 .SA PAB= 5 3 152 4【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直 线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键.9.如图1,抛物线C:y ax2 bx经过点A( 4,0)、B( 1,3)两点，G是其顶点，将抛 物线C绕点O旋转180°,得到新的抛

28、物线 C' .VA】Si02图3(1)求抛物线C的函数解析式及顶点 G的坐标；，一12(2)如图2,直线l ：y kx 一经过点A， D是抛物线C上的一点，设 D点的横坐标为 5m ( m 2),连接DO并延长，交抛物线 C于点E ,交直线l于点M ,DE 2EM,求m的值；(3)如图3,在(2)的条件下，连接 AG、AB ,在直线DE下方的抛物线C上是否存 在点P ,使得 DEP GAB ?若存在，求出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y x2 4x,顶点为：G(2,4)； (2) m的值为-3； (3)存在，点7、73f 73 7P的横坐标为：或-44【解析】【

29、分析】(1)运用待定系数法将 A( 4,0)、B( 1,3)代入y ax2 bx中，即可求得a和b的值和 抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标；(2)根据抛物线C绕点。旋转180co，可求得新抛物线 C'的解析式，再将 A( 4,0)代入12，y kx 一中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作DH/y轴5交直线l于H ,过E作EK /y轴交直线l于K ,由DE 2EM ,即可得-ME 1 ,再证MD 3明 MEK s MDH ,即可得DH 3EK ,建立方程求解即可；(3)连接BG,易证 ABG是Rt , ABG 900,可得1

30、tan DEP tan GAB -,在x轴下万过点。作OH OE ,在OH上截取 3OH 1OE J2,过点E作ET y轴于T ,连接EH交抛物线C于点P ,点P即为 3所求的点；通过建立方程组求解即可.【详解】16a 4b 0-，r a 解得b(1)将 A( 4,0)、B( 1,3)代入 y ax2 bx 中，得a b 314 2C解析式为：y x 4x ,配方，得：yx2 4x (x 2)2 4,，顶点为：G( 2,4)；(2) ;抛物线C绕点。旋转180c5,得到新的抛物线 C'.、一r，一一 、_1. _.'，新抛物线C的顶点为：G (2, 4),二次项系数为：a 1，

31、新抛物线C的解析式为：y (x 2)2 4 x2 4x12123将A( 4,0)代入y kx 一中，得0 4k ,解得k 一 , 555312，直线l解析式为y -x ,552. D(m, m 4m),，直线DO的解析式为y (m 4)x,由抛物线C与抛物线c'关于原点对称，可得点 D、V关于原点对称， 2 E( m,m 4m)如图2,过点D作DH /y轴交直线l于H ,过E作EK/y轴交直线l于K ,解得：m13 , m2则 H(m,K( m,|m /m2 4m2 1712m m 一, 55DH m2 4m ( 3m 马 m, "m 学 5555EK DE 2EMME 1

32、MD 3 ' . DH/y 轴，EK/y 轴DH /EKME- MDHEKDHMEMD1一，即 DH33EK17一 m51253(m217一 m512)25'm 2，m的值为：-3；(3)由(2)知：m 3, D( 3,3), E(3, 3), oe 3日如图 3,连接 BG ,在 ABG 中，AB2 ( 1 4)2 (3 0)2 18, BG2 2,_2AG 20222AB2 BG2 AG2ABG是直角三角形，ABG 90°， tan GABBGAB、232DEPGAB.tan DEPtanGAB1313，在x轴下方过点。作OH OE ,在OH上截取OH 1OE 叵

33、,3过点E作ET y轴于T ,连接EH交抛物线C于点P ,点P即为所求的点; E(3, 3),EOT 45°EOH 90°HOT 45°H( 1, 1),设直线EH解析式为y px q,3p q 3则，解p q1，直线EH解析式为1八、一y x解方程组 ,22 y x，点p的横坐标为：4x7 .73又277373 5,73 7y244【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定 和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难 度较大.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= - x2+bx

34、+c经过点A (- 1, 0)和点C (0,4),交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点(不与点 O, B重合)，以 OE为边在x轴上方作正方形 OEFG连接FB,将线段FB绕点F逆时针旋转90°,得到线段FP,过点P作PH/y轴，PH交抛物线于点 H,设点E (a, 0)(1)求抛物线的解析式.(2)若4AOC与4FEB相似，求a的值.(3)当PH= 2时，求点P的坐标.164【答案】(1) y=- x2+3x+4; (2) a=或 g； (3)点 P 的坐标为(2, 4)或(3+典，4).2【解析】【详解】(1)点 C (0, 4),则 c=4,二次函数表达式为：

35、y = - x2+bx+4,将点A的坐标代入上式得：0= - 1 - b+4,解得：b = 3,故抛物线的表达式为：y= - x2+3x+4；AO 1(2) tan Z ACO=, CO 4 AOC 与 AFEB 相似，贝 U / FBE= / ACO 或/CAO,即：tan / FEB= 1 或 4, 4四边形OEFG为正方形，则 FE= OE= a,EB= 4- a,a 1 5a /贝U或4 ,4 a 44 a解得：a= 16或4；5 5(3)令 y= - x2+3x+4= 0,解得：x= 4 或-1,故点 B (4, 0)； 分别延长CR HP交于点N, / PFN+Z BFNI= 90

36、 °, / FPN+Z PFN= 90 ； / FPN= / NFB, . GN / x 轴，Z FPN= / NFB= / FBE / PNF= / BEF= 90 °, FP= FB,.-.PNFABEF （AAS ,.FN=FE= a, PN= EB= 4-a, 点 P （2a, 4）,点 H （2a, - 4a2+6a+4）, .PH=2,即：4a2+6a+4-4=|2| ,解得：a= 1或1或3而或3后（舍去），244故：点P的坐标为（2, 4）或（1, 4）或（3+业，4）.2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（ 3）,要注意分类求解，避免遗漏.

37、11.已知：二次函数 y x2 4x 3a 2 (a为常数).(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若1二次函数的图象在x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点，求a的取值范围.5【答案】见解析；(2) a 2 .3【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2)先由二次函数的图象与一次函数y 2x 1的图象有两个交点，即关于 x的一元二次方程x2 6x 3a 3 0有两个不相等的实数根，由此可得a 2 ,再根据二次函数的图象在x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点，也就是说二次函数wx26x3a3的图象与x轴x 4的

38、部分有两个交点，画出函数wx26x3a3的图象，结合图象，可知当 x 4时，x2 6x3a 3 0 ,将x=4代入求得a的取值范围，由此即可求得答案 .【详解】(1)图象开口向上； 图象的对称轴为直线 x 2;当x 2时，y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减小；当x 2时，函数有最小值；(2) ,二次函数的图象与一次函数y 2x 1的图象有两个交点,x2 4x 3a 2 2x 1 ,即 x2 6x 3a 3 0,36 4(3a 3)二次函数的图象在，二次函数w x212a 24 0,解得 a 2,x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点, 6x 3a 3的图象与x轴x

39、4的部分有两个交点，画出二次函数w x2 6x 3a3的图象，结合图象,当 x 4时，x2 6x 3a 33，当二次函数的图象在 x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点时,5a的取值范围为5 a 2.3【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的 交点问题，二次函数的图象与 x轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运 用相关知识是解题的关键.12.如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 2y x bx c过A、B两点，且与x轴父于另一点 C.(1)求b、c的值；(2)如图1,点D为AC的中点，

40、点 E在线段BD上，且BE=2ED,连接CE并延长交抛物 线于点M,求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2, P为 ACG内以点，连接PA PG PG,分另1J以AP、AG为边，在他们的左侧作等边 4APR等 &AAGQ,连接 QR求证：PG=RQ 求PA+PC+PG勺最小值，并求出当 PA+PC+PGX得最小值时点 P的坐标.A D QSIR0C爸用图12【答案】(1) b=-2, c=3； ( 2) M ( 一551、一)；253) 证明见解析； PA+PC+PG的最小值为2炳,此时点P的坐标(,19里3)19【解析】试

41、题分析：(1)把A ( - 3, 0) , B (0, 3)代入抛物线(2)首先求出 A、C D坐标，根据 BE=2ED求出点E坐标,2.一 一 , 、 一x bx c即可解决问题.求出直线CE,利用方程组求交点坐标M .(3)欲证明PA+PG+PCt 小,PG=QR只要证明QAR0GAP即可.当Q、R P、C共线时, 作 QNXOAT N, AM，QC于M, PC OA 于 K,由AMNQsin / ACM= TAC QC求出AM, CM,利用等边三角形性质求出 AP、PM、PC,由此即可解决问题.试题解析：(1) ,一次函数y=x+3的图象与x轴、B (0, 3) , 抛物线 y2x bx

42、 c 过 A、y轴分别交于A、B两点，A(- 3,c 3B两点， cc，解得：9 3b c 0(2),对于抛物线yx22x点 C 坐标(1,0), , AD=DC=2,3 ,令 y=0,贝 U ，点D坐标(-x21, 0)2x 3 0 ,解得 x=- 3 或 1, ,BE=2ED .点 E坐标2、一，1)3,设直线 CE为y=kx+b,把E、C代入得到:2k 3b解得:，点(3)直线CE为ym坐标(1251、一，一)525y y3-x52x52x 3AGQ, 4APR是等边三角形,AP=AR，/QAR=/ GAP,在 AQAR 和 AGAP 中, AQ=AG,1或1255125AQ=AG, /

43、 QAC=Z RAP=60 ,/QAR=/ GAP, AR=AP,.QAWGAP,，QR=PG.如图 3 中，. PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC.当 Q、R P、C共线日PA+PG+PCt小，作QNOA 于 N, AMQC 于 M, PC OA 于 K. / GAO=60 , AO=3, . AG=QG=AQ=G /AGO=30； . /QGA=60； . . / QGO=90 ； .点 Q 坐标（6, 班），在 RTA QCN 中，QN=373，CN=7,QC= QN 2 NC2 =2,19 ,AM.sinZACM=ACNQ= ?QC.AM= 6扃, APR是等边三角形，Z APM

44、=60 , PM=PR cos30°=fM 19AP. AP=12M , pm=RM= 6M ,MC= JAC2AM = 14炳,PC=CM-191919PM=8M , - -PK CP 丝，.CK=28, pk=126OK=CK- CO= , 点 P 坐19 QN CQ CN191919标（_9_, 12Y3）, . pa+pc+PG勺最小值为2屈,此时点P的坐标（9, 19191913.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A (1, 0) , B (3, 0),交y轴于 点C.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求 4BCP

45、面积的最大值；(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点 M, N,当 BMN是等腰三角形时，直接写出 m的值.27【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x24x+3； (2) S>abcp最大=;(3)当 BMN8是等腰三角形时，m的值为J2 , 1, 2.【解析】分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.详解：(1)将A (1, 0) , B (3, 0)代入函数解析式，

46、得a b 3= 09a 3b 3= 0解得a= 1b= 4这个二次函数的表达式是 y=x2-4x+3；(2)当 x=0 时，y=3,即点 C (0, 3),设BC的表达式为y=kx+b,将点B (3, 0)点C (0, 3)代入函数解析式，得3k b= 0b= 0解这个方程组，得k= 1b= 3直线BC的解析是为y=-x+3, 过点P作PE/ y轴.Sa bcp=S bpe+Scpe= 1 (-t2+3t)23dtm 2+巴228,3<0,2当t=3时，Sabcp最大27(3) M (m, -m+3) , N (m, MN=m2-3m, BM=72|m-3| , 当MN=BM时，m 2-

47、3m= 2 m 2-3m=- y2 (m-3),解得8m2-4m+3)m=- J2当 BN=MN 时，/ NBM=Z BMN=45 , m2-4m+3=0,解得 m=1 或 m=3 （舍） 当 BM=BN 时，ZBMN=Z BNM=45 , -（m2-4m+3） =-m+3,解得 m=2 或 m=3 （舍）， 当ABMN是等腰三角形时，m的值为J2, -J2, 1, 2.点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用3）的关键是利用等腰三角形的面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（ 定义得出关于 m的方程，要分类讨论，以防遗漏.14.如图，直线y=-x+分另IJ与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，/ACB=90,°抛物线y=ax2+bx+力经过A, B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点 M作MHXBC于点H,作MD / y轴交BC于点D,求4DMH周长的最大值.cQx+g哈【答案】(1) (-1,0) (2) y=-&lx2+过E【解析】试题分析：(1)由直线解析式可求得 B、C坐标，在RtBOC中由三角函数定义可求得 /OCB=60 ,0则在RtAOC中可