2020-2021北京备战中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合

1、2020-2021北京备战中考数学压轴题专题复习一二次函数的综合一、二次函数1.如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0)的对称轴为直线x 1,且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0), C(0,3).C两点，求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴 x 1上找一点M ,使点M到点A的距离与到点C的距离之和 最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点 P的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为 yx2 2x 3 ,直线的解析式为y = x+ 3. (2)M( 1,2)； (3) P 的坐标为(1, 2)

2、或(1,4)或(1 3 万)或(1 3 历).，2，2【解析】分析：(1)先把点A, C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得 a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a, b, c的 值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线 y=mx+n,解方程组求出 m和n的值即可得到直线解析式；(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线 y=x+3得y的值，即可求出点 M坐标；(3)设 P (-1, t),又因为 B (-3, 0) , C (0, 3),所以可得 BG=18, Pd=(-1+3) 2

3、+t2=4+t2, PG= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.1/2aa 1详解：(1)依题意得：a b c 0,解得： b 2,c 3c 32抛物线的解析式为 y x 2x 3.对称轴为x1 ,且抛物线经过 A 1,0 ,.把B 3,0、C 0,3分别代入直线y mx n,直线y mx n的解析式为yB7JX(2)直线BC与对称轴x 1的交点为 M ,则此时MA MC的值最小，把x 1代入直线y x 3得y 2,M 1,2 .即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为 1,2 .(注：本题只求 M坐标没说要求

4、证明为何此时MAMC的值最小，所以答案未证明MA MC的值最小的原因)22BC2 18 , PBt2 4t2,PC22-t 6t 10,若点B为直角顶点,BC2PB2PC218t2t26t10解得:t 2,若点C为直角顶点,BC2pc2PB2,即:18t26t102t2解得:t 4,若点P为直角顶点，t 3 后 t 3t1_ t22PB2PC2BC2 ,即:t2t26t1018解得:172综上所述P的坐标为 1, 2或1,4或1,32 3 、171,2(二次函数和一次函点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数 数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一

5、道不错的中考 压轴题.2.如图，在直角坐标系 xOy中，二次函数y=x2+ (2k-1) x+k+1的图象与x轴相交于0、 A两点.(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使4AOB的面积等于6,求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点 巳使/POB=90?若存在，求出点 P 的坐标，并求出 POB的面积；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y=x2-3x。(2)点B的坐标为：(4, 4)。(3)存在；理由见解析；【解析】【分析】(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了

6、OA的长，根据 OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 B点的坐标，然后根据 B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。(3)根据B点坐标可求出直线 OB的解析式，由于 OBLOP,由此可求出P点的坐标特 点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标.求POB的面积时，求出 OB, OP的长度即可求出ABOP的面积。【详解】解：(1)二.函数的图象与 x轴相交于O, ，0=k+1,k=- 1o，这个二次函数的解析式为 y=x2 - 3xo(2)如图，过点 B做BD,x轴于点D,令 x2 - 3x=0,解得：x=0 或 3。AO=3

7、。1 一 一. AOB 的面积等于 6, . AO?BD=6。 . BD=4。2点B在函数y=x2-3x的图象上， .,.4=x2- 3x,解得：x=4 或 x=-1 (舍去)。又顶点坐标为：(1.5, - 2.25),且2.25V4,，x轴下方不存在B点。，点B的坐标为：(4,4)。(3)存在。,一点 B 的坐标为：(4, 4) , Z BOD=45 , BO J4242 4 J2。若/ POB=90 ,贝U / POD=45。设P点坐标为(x, x2 - 3x)。：.x| x2 3x。若x x2 3x ,解得x=4或x=0 (舍去)。此日不存在点P (与点B重合)。2若x x 3x ,解得

8、x=2或x=0 (舍去)。当 x=2 时，x2 - 3x= - 2o，点P的坐标为(2, - 2)。11-PO?BO=- 0& X2J2 =8。OP 业2 22 272。/POB=90, .POB 的面积为:3.在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线的顶点坐标为( 2, 0),且经过点(4, 1),1 如图，直线y= -x与抛物线交于 A、B两点，直线l为y=-1.4(1)求抛物线的解析式；(2)在l上是否存在一点 P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)知F (x, y)为平面内一定点， M (m, n)为抛物线上一动点，且点 M到直线l的距离与点M到

9、点F的距离总是相等，求定点 F的坐标.128y= x2- x+1. (2)点 P 的坐标为(1)(3)定点F的坐标为（2, 1）.【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2, 0）,可设抛物线的解析式为 y=a （x-2） 2,由抛 物线过点（4, 1）,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线 AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B；连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值，根据点 B的 坐标可得出点B的坐标，根据点 A、B的坐标利用待定系数法可求出直线 AB的解析式，再 利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P的坐

10、标；（3）由点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出(1 - -yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关 2 2于xo、yo的方程组，解之即可求出顶点F的坐标.详解：（1）二抛物线的顶点坐标为（2, 0）, 设抛物线的解析式为 y=a （x-2） 2.;该抛物线经过点（4, 1）,1=4a,解得：a=,4，抛物线的解析式为 y=- （x-2）2= -x2-x+1.44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：1yx44,解得:1 2y= -x x 14x2=4y2=1点A的坐标为（1, 作

11、点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值（如图）,点B的坐标为（4, 1）.4点 B (4, 1)，直线 l 为 y=-1, .点B的坐标为(4, -3).设直线AB的解析式为y=kx+b （kwQ ,将 A (1, 1)、B，(4, -3)代入 y=kx+b,得:4,131k=kb= 口124,解得：12,，人.44kb= 3b= 3直线AB的解析式为y=-13x+4 , 123当 y=-1 时，有x+=-1,12328解得：x=, 13点P的坐标为(”，-1) .13(3)二点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等, (m-xo) 2+ (n-yo)

12、 2= (n+1) 2,m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1. M (m, n)为抛物线上一动点，n= m2-m+1 ,4m2-2xom+x02-2y0 (m2-m+1) +yo2=2 4(1m2-m+1) +1, 42+ (2-2xo+2yo)m+xo2+y02-2yo-3=0.整理得： （1- - yo） m2 2. m为任意值，1 11 y0= o2 22 2xo 2y。=0,x。2 y。2 2y0 3= Ox0=2 yo=1，定点F的坐标为（2, 1）.点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程

13、组，解题的关键是：（1）根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐 标特征，找出关于 xo、yo的方程组.4.童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件，已知该款童装每件成本 30元，设降价后该款童装每件售价 X元，每星期的销售量为 y件.降价后，当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元？（2）当每件售价定为多少元时，一星期的销售利润最大，最

14、大利润是多少？【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润 4000元.【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论.（2）设每星期利润为 W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：（1）根据题意得，（60-x） X 10+100= 3X 100解得：x=40,60- 40=20%,答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w,根据题意得，w=（X-30） （60-x） X 10+100= - 10X2+1000X- 21000=-10 （x- 50） 2+4000,答：每件售价定为

15、 50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元.【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题， 利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型.5.如图，某足球运动员站在点 O处练习射门，将足球从离地面 0.5m的A处正对球门踢出 （点A在y轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系 y= at2+5t + c,已知足球飞行 0.8s时，离地面的高度为 3.5m.（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 x=10

16、t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m,他能【答案】（1）足球飞行的时间是 3 s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m； （2）能.5试题分析：(1)由题意得：函数 y=at2+5t+c的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),于是得,求得抛物线的解析式为:时，y最大,0.至9*0. 8、+5 X8-Fc=4.5;(2)把 x=28代入 x=10t 得 t=2.8,当 t=2.8 时，y=25 a-转X2&5X 2.8+=2.252.44,于是得到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数 y=at2+5t+c的图象经过(0, 0.5

17、)(0.8, 3.5),0. 5二cl3. 5二。 8 a 2+5 乂0. 8-Fc解得:22516抛物线的解析式为:y=-+当t=:时，y最大=43；(2)把 x=28代入 x=10t 得 t=2.8,251当 t=2.8 时，y=匿 * 22+5 X 2.8+=2.25他能将球直接射入球门.考点：二次函数的应用.2.44,6.如图，已知顶点为 C(0, 3)的抛物线y ax2y x m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数y ax2 b(a 0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点 M ,使得 MCB 15b(a 0)与x轴交于 A, B两点，直线?若存在，求出点 M的坐标；若不存【答

18、案】(1)-3;(2)y-x2-3;(3) M 的坐标为(3 J3 ,6)或(J3 ,-2)3【解析】【分析】(1)把C (0, -3)代入直线y=x+m中解答即可；(2)把y=0代入直线解析式得出点 B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可;(3)分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可.【详解】(1)将 C (0, -3)代入 y=x+m,可得：m = - 3;(2)将y= 0代入y= x 3得：x= 3,所以点B的坐标为(3, 0),将(0, - 3)、(3, 0)代入 y=ax2+b 中，可得：b 39a b 01ft,a -解得： 3 ,b 3所以二次函数的解析式为：y 1x2-

19、3;3(3)存在，分以下两种情况：若M在B上方，设MC交x轴于点D,则/ ODC= 45 +15 =60,.OD=OC?tan30 向，设DC为y=kx-3,代入（73 , 0）,可得：k8,y . 3x 3联立两个方程可得：1,2y x 3一x1解得：30 x2 3、3c，3y2 6所以 M1 (373, 6);若M在B下方，设 MC交x轴于点E,则/ OEC= 45 -15 = 30,.OE= OC?tan60 =3 事,设EC为y= kx- 3,代入（3J3, 0)可得：k3联立两个方程可得:3x 3x3 ,-x2 33解得:XiX2所以M2综上所述yiy2M的坐标为（3J3, 6)或(

20、J3, -2).【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.7.在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（ 2, 0）,且经过点（4, 1）,1 如图，直线y= x与抛物线父于 A、B两点，直线l为y= - 1.4（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点 P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）知F（Xo, yo）为平面内一定点， M （m, n）为抛物线上一动点，且点 距离与点M到点F的距离总是相等，求定点 F的坐标.M到直线l的128y=-x2-x+1. （2）点 P 的坐标为（一，13T) .

21、 (3)定点F的坐标为（2, 1）.【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为2, 0）,可设抛物线的解析式为y=a(x-2) 2,由抛物线过点（4, 1）,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线 AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B；连接AB交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值，根据点 B的 坐标可得出点B的坐标，根据点 A、B的坐标利用待定系数法可求出直线 AB的解析式，再 利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-

22、1-lyo） m2+ （2-2xo+2yo） m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关于X0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标.详解：（1）二抛物线的顶点坐标为（2, 0）, 设抛物线的解析式为 y=a （x-2） 2.;该抛物线经过点（4, 1）,1- 1=4a,解得：a=, 4，抛物线的解析式为 y= （x-2） 2=x2-x+1.44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：_1yx412yx4x-l= 11 x2=41y= 一 y2=11、点A的坐标为（1,一）4作点B关于直线l的对称点，点B的坐标为（4, 1）.B,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得

23、最小值（如图14丁点 B （4, 1）,直线 l 为 y=-1,.点B的坐标为（4, -3）.设直线AB的解析式为y=kx+b （kwQ ,将 A (1, 1)、B (4, -3)代入 y=kx+b,得:4,1k b= 口4,解得:4k b 313k=124 b3直线AB的解析式为y=34,123当 y=-1 时，有-!3x+3=-1, 12328 解得：x=,13，点P的坐标为(8,-1).13(3)二点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等, (m-xo) 2+ (n-yo) 2= (n+1) 2,-1 m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1. M (m, n)为抛物线上

24、一动点，.-.n=-m2-m+1, 4 . m2-2xom+x02-2y0 (m2-m+1) +yo2=2 4(1m2-m+1) +1, 4整理得：(1 - - yo) m2 22+ (2-2xo+2yo)m+xo2+y02-2yo-3=0. m为任意值,11_八1 y0= o2 2 2 2xo 2yo=O 22xy02 yo 3= 0x0=2 yo1，定点F的坐标为(2, 1).点睛：本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用两点之间线段最

25、短找出点P的位置；(3)根据点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐 标特征，找出关于 xo、yo的方程组. 28.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax bx a o。(1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1, 1）时，a=_ ;当顶点坐标为（m, m） , mo时，a与m之间的关系式是 ；（2）继续探究，如果 bwQ且过原点的抛物线顶点在直线y=kx k 0上，请用含k的代数式表小b;（3）现有一组过原点的抛物线，顶点Ai, 2,，An在直线y=x上，横坐标依次为1,2,，n （n为正整数，且nwi?,分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为Bi, B2,

26、B3,，Bn,以线段AnBn为边向右作正方形 AnBnQDn,若这组抛物线中有一条经过点Dn,求所有满足条件的正方形边长。1b【答案】（1） 1； a= 一（2）=km4a【解析】b2a(3) 3, 6, 9一1斛：（1） 1 ； a= 一 。m（2）二.过原点的抛物线顶点b b一,一在直线y=kx k 0上,2a 4ab2=k4ab2ab wq b= 2k。（3）由（2）知，顶点在直线 y=x上，横坐标依次为1, 2,，n （n为正整数，且12_12n 12 的抛物线为：y= - x n n ,即 y= -x 2x o nn对于顶点在在直线 y=x上的一点Am （m, m） （ m为正整数，

27、且 mn）,依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m,点Dm坐标为（2 m, m）,12右点Dm在某一抛物线 y= -x 2x上，则n1-23m= - 2m 2 2m ,化简，得 m= - n。 n4m, n 为正整数，且 mK nw,12. n=4, 8, 12, m=3, 6, 9。，所有满足条件的正方形边长为3, 6, 9。也=1（1）当顶点坐标为（1, 1）时，由抛物线顶点坐标公式，有为2 ，即4ac b=14a2=12aa= 1 o4a二m .2a当顶点坐标为（m, m）,mo时，2b=m2am1=m a=。4am(2)根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标2a

28、4a代入4ay=kx ,化简即可用含k的代数式表示bo由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0,由此可求出 m的值和D点坐标。(3)将依题意，作的正方形 AmBmCmDm边长为 m,点Dm坐标为(2 m, m)，将(2 m,1 2m)代入抛物线y= x 2x求出m, n的关系，即可求解。 n9.如图，(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形，点 E在线段BC上, /AEF=90，且EF交正方形外角平分线 CP于点F,交BC的延长线于点 N, FN BC.(1)若点E是BC的中点(如图1) , AE与EF相等吗？(2)点E在BC间运动时(如

29、图 2),设BE=x, ECF的面积为y.求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值 .【答案】(1) AE=EF (2) y=-ax2+2x (0x/2 =4,设 P (m, m2+6m 5)，则 D (m, m 5),当P点在直线BC上方时，PD=- m2+6m 5 ( m 5) =- m2+5m=4,解得 mi =1, m2=4,当P点在直线BC下方时,PD=m5 ( m2+6m5) =m25m=4,解得 m1=5+241 , m2= 5-4j ,综上所述，P点的横坐标为4或竺亘或空包； 作ANBC于N, NHx轴于H,作AC的垂直平分线交 BC于Mi,交AC于E,

30、如图2,4图）.MiA=MiC,/ ACMi=Z CAMi,/ AMiB=2/ ACR ANB为等腰直角三角形, ，AH=BH=NH=2,.N (3, 2),易得AC的解析式为y=5x-5, E点坐标为设直线EMi的解析式为y= - x+b,5把E （工，-5）代入得-+b=-10解得b=125直线EMi的解析式为y=-125y x 5解方程组1y x5I2得136176Mi13617、一）；6作直线BC上作点Mi关于N点的对称点 设 M2 （x, x- 5）,M2,如图 2,则 ZAM2C=Z AMiB=2/ACB,13 +x 3= J_223 . x=,6综上所述，点13M的坐标为（一，6

31、点睛：本题考查了二次函数的综合题:17、一 , 237、）或（,）.666熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式; 理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.11.复习课中，教师给出关于x的函数y = 23一（他+ 1）工/+1 （k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条： 存在函数，其图像经过（1,0）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y

32、随x的增大而减小； 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学 方法.【答案】真，假，假，真，理由和所用的数学方法见解析 .【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：真，假，假，真.理由如下：将（1,0）代入 y =+ l 得保+ l）i + l = O,解得卜=0存在函数一 +其图像经过（1,0）点.结论为真.举反例如，当好0时，函数1的图象与坐标轴只有两个不同的交点.，结论 为假.（k是实数）的对称轴为当底。时，二次函数y =+ l-(

33、4k + I)1r =-= 1 + 位就可举反例如，当“二1时，二次函数为八纵 弱, 551x -当4时，y随x的增大而减小；当,时，y随x的增大而增大 结论为假.当日时，二次函数,=2依TM +1)工-A + 1的最值为4M-挺24h2 + 1场二40 二一皿 ?当1fc 时，有最小值，最小值为负；当 卜七时，有最大值，最大值为正.，结论为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.12.如图，抛物线与 x轴交于点A ( 3, 0)、点B (2, 0),

34、与y轴交于点C (0, 1), 连接BC.(1)求抛物线的函数关系式；(2)点N为抛物线上的一个动点，过点 N作NP，x轴于点P,设点N的横坐标为t1飞 (4),求 ABN的面积S与t的函数关系式；1一 _ f 2(3)若 3且* 0时OPNCOB,求点N的坐标.”)或(1 , 2).【解析】1y = a(x + -)(x-2)试题分析：(1)可设抛物线的解析式为3,用待定系数法就可得到结论；丁(2)当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出 AB,就 可得到S与t的函数关系式；1(3)由相似三角形的性质可得PN=2PO.而PO=f ,需分和0vtv2两种情况- 0,、；,TU5

35、9 - I0560, /.t= 6,此时点N的坐标为(3535当 0v tv 2 时，PN=/a，I=,PO= =t,+ l = 2t得:0, 0v1v2,，t=1,此时点N的坐标综上所述：点N的坐标为（ 考点：1.二次函数综合题；)或(1, 2).2.待定系数法求二次函数解析式；3.相似三角形的性质.销售量p （件）P=50x销售单价q （元/件）一1当 1x20, q 30 -x 2一525当 21x40, q 20 x13.某大学生利用暑假 40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/

36、件？(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式.(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)第10天或第35天该商品的销售单价为 35元/件(2)2625015x 500 1525 21 xx 2040(3)这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是725元【分析】(1)分另将q=35代入销售单价关于 x的函数关系式，求出 x即可.(2)应用利润=销售收入一销售成本列式即可.(3)应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求.【详解】 一，1解：(1)当 1WxW20,令 q 30 -x 35,解得；x 10;2525当 21wxw4

37、0,令 q 20 35 ,解得；x 35.x.第10天或第35天该商品的销售单价为 35元/件.， 一， 1(2)当 1x200, y 30 -x 20 50 x21 2x 15x 500 ； 2525当 21WxW40, y 20 20 50 x x26250 .y关于x的函数关系式为y2625015x 500 1525 21 xx 20401, 2-x 15612.5,2- 一1 2(3)当 1x0, 随着x的增大而减小，x,2625026250，当x=21时，y525有取大值 乎,且 y2525 725 .x21-y1 y2,这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是725元.1

38、4.空地上有一段长为 a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙 AD的长；(2)已知0VaV 50,且空地足够大，如图 2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值.4广。一 f乂一式空地8C图1图2【答案】(1)利用旧墙AD的长为10米.(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出 AD,表示AB构成方程；(2)根据旧墙长度 a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系.【详解】100- x(1)设AD=x米，则 AB=-00米依题意得，X(100 x)=450 2解得 X1 = 10, X2=90a=20,且 xWa x=90舍去 利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=X(100 X)= -(x 50)2 1250, 0xa 22,0a50 .x