2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：3.6简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换Word版

1、第六节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换知识点一半角公式10A. 5一r.- 一 、民 。a _ 。 a1 .用 cos a表布 sin2cos2 2，tan2 1.1 + cos2 a_ 1 cos a2 1+ cos a2 .用 cosa2'cosa2'tana2.3 .用 sintan 2 一a表小sincos.巴-I-sin 2 一士1 cos a 2；a,. a _i_tan 2=1 cos a1 + cos aCOs a表不tansina 1 cos a1 + cos a sin aa ，一=士2a2.所在象限确定该三角函数值的符号.易混淆由a决定.必记结论用 t

2、an a 表示 sin 2 a 与 cos 2 a求值时，可由2sin 2 a= 2sin2sin ocos a 2tan acos2 a sin2 a0cos 0c sin2 a+ cos2 atan2 a+ 11cos 2 a= cos2 a sin2 a=2 +.2易误提醒 应用 “sin： =±J2 . + tan a自测练习_cos_' 或 “c吟=±y1+2os21 tan a1.已知 cos 0=一1 5.%5, 2<0<3 怎那sin 2=(,15"VD.c5C. 5解析：'''5< X3 兀，.

3、-5p2<旨知识点二辅助角公式15"I"basin a+ bcos a= a2 + b2sin( a+ 昉 其中 tan 4= a .易误提醒在使用辅助角公式易忽视。的取值，应由点(a, b)所在象限决定，当 。在第一、二象限时，一般取最小正角，当。在第三、四象限时，一般取负角自测练习2.函数f(x)= sin 2x+ cos 2x的最小正周期为()AC兀A.兀B.2兀C.2兀D-4解析：f(x) = sin 2x+ cos 2x=-/2sin 2x+4 , T =兀.答案：A兀，Ib. -V3, V3D.3.函数 f(x)= sin x cos x+ 6 的值域为(

4、)A. -2,2C. -1,1解析：.f(x)= sin x7t7t7tcos x+6 = sin x cos xcosg + sin xsin、= sin x 1 .cos x+ 2$in x =V3 乎sin x 2cos x = V3sin x 6 (xC R),f(x)的值域为73,同答案：B研考向冲考点研究*强技推能考点一三角函数式的化简自主探究|，履"u T- i题组训练化简:(1)sin 50 (1：43tan 10 );2cos4x-2cos2x+2(2)；2tan x sin2 x+4解：(1)sin 50(1+ /tan 10)=sin 50(1 : tan 60

5、 tari 10 )=sin 50cos 60 dos 10 4 sin 60s in 10cos 60 cos 10=sin 50cos 60 -10° ocos 60 cos 102sin 50 cos 50cos 10sin 100 cos 10cos 10cos 10(2)原式=2tan 4 x2cos2x cos2x 1 +24cos2xsin2x+ 11 sin22x7t7t4cos 4'一 x sin 4 x兀2sin 2 2xcos22x1-=1cos 2x.2cos 2x 2考点二辅助角公式的应用合作探究|kicrud T<hj u典蚀解析典遨悟法(1

6、)函数y= sin 2x+ 2 M3sin2x的最小正周期T为y= sin 2x+ 243sin2x=sin 2x 43cos 2x+ V3= 2sin(2x T)+ <3,所以该函数的 3最小正周期t=2t=-答案7t(2)设当x=。时，函数f(x)= sin x2cos x取得最大值，则 cos 0=解析f(x)= sin x2cos x=V5 当sin xcos x = -75sin(x 机其中 sin 0=平，cos 4= g,兀当x- Q 2k兀+ 2(kC Z)时函数f(x)取到最大值,兀即0= 2k兀+ 2+()时函数f(x)取到最大值,25所以 ss 仁一sin 

7、6;=一 卞.i 利用 asin x+bcos x=:a2+ b2sin(x+ 把形如 y= asin x+bcos x+k 的函数化为一个角 ji的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等.i.，c bI (2)化 asin x+ bcos x= a2+ b2sin(x+ 时()的求法： tan(j)=W；。所在象限由(a, b) !点确定.!ii演练冲关一，一一，兀已知函数 f(x)=2sin xsin x+g .求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.解：f(x)= 2sin x 乎sin x+ 2cos xi 1 cos 2x 1= <3X2+2s

8、in 2x=sin 2x ； + 乎. 32函数f(x)的最小正周期为 T=兀. 兀兀 兀由一：+2k 厩 2x-< -+2kTt, kCZ,23 2兀5兀解得一行+ k厩xw行+ ku, kCZ,所以函数f(x)的单调递增区间是工，"， ，一12+ k it, 12+ k兀，k C Z.考点三三角恒等变换的综合应用良撰？?黑三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1 .三角恒等变换与三角函数性质的综合.2 .三角恒等变换与三角形的综合.3 .三角恒等变换与向量的综合.探究一 三角恒等变换与三角函

9、数性质的综合L兀一 .兀，一一 兀一一, 一一1.已知函数f(x) =，3sin( 3 x+(0 30, - 2怀2的图象关于直线x= 3对称，且图象上 相邻两个最高点的距离为兀.求和。的值；(2)若f 26必学，求cos a+ 32t的值.解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为兀，所以f(x)的最小正周期T= 为从田2_? c而 3= 1 = 2.又f(x)的图象关于直线x=京寸称，所以2x3+（）= kTt+ 2, k= 0, 土， i2, . 兀兀.因为一2蛇2,所以k=0,所以 5-2T=-6.5 r a 兀 /3 （2）由（1）得 f 2 = V3sin 2 26 =

10、4 ,所以sinTt 1 Tt 2兀/口兀兀.6 =4.由6"W，信 0<a-6<2，所以cos 1 - sin1 214口a 一仆6因此cos，3,2 = sin a= sin民一% +- = sin66a 6 COsf+COs a_1X_J_J56 sin6-4 2+428探究二三角恒等变换与三角形的结合2. (2016台州模拟)已知实数xo, xo+2是函数f(x)= 2cos23x+ sin 2 3 x，( 3>0)的相邻 的两个零点.(1)求w的值；3b c 2a(2)设a,b,c分别是 ABC三个内角A,B,C所对的边，若 解)=2且瑞+ 彘=氤， 试判

11、断 ABC的形状，并说明理由.解：(1)f(x)= 1 + cos 2cox+ 当sin 2cox 2cos 2cox,31=-y-sin 2 wx+ 2cos 2 wx+ 1=sin 2 wx+ 6+1,2由题思得 T= Tt, o =式一3=1.2 co(2)由(1)得 f(x)=sin 2x+6 +1,.一兀.3. f(A) = sin 2A+ 6 +1 = 2,rr .兀1即 sin 2A + 6 = 2.一一兀一一兀13兀0<A<ti, .6<2A +6V 6 ,cA 兀 5兀口Ha兀,2A + 6=,即 A=3.b c 2a bcos B ccos C 2acos

12、 A由= -得s + sC= A，所以 cos B + cos C = 2cos A= 1,tan B tan C tan A sin B sin Csin A ''一.2兀 ,2兀又因为 B+C="3",所以 cos B + cos 5一B =1,H 兀即 sin B + 6 =1,所以 B = C = 3.综上，ABC是等边三角形.探究三三角恒等变换与向量的综合 兀 . j ， 一 兀 5 兀 4.3. (2015合肥卞II拟)已知向量a= cos。一4 , 1 , b= (3,0),其中 长力彳，若ab =1.(1)求sin 0的值;(2)求tan 2

13、。的值.解：由已知得：cos 0_4=3, sin 04=231, sin Asin 0-4+-4=sin 9-4 cos4兀 兀4+2+ cos 0 4 sin4 = 622sin 0+ cos 0=上,两边平方得：1 + 2sin 0cos 0=即 sin 2 0=724 /27_/2而 cos 2 0= 1 2sin2 0= , tan 2 9= J.998通过变换把函数过讦方法三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,化为y=Asin(cox+昉的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用i整体思想解决相关问题.Ln答题模板系列1M/ ATI MU

14、BAN XI LIE I5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板_ 一 , ,、 4兀【典例】 (12分)(2015局考山东卷)设f(x) = sin xcos x- cos2 x + ：.求f(x)的单调区间;(2)在锐角4 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若f A =0, a= 1,求 ABC面积的最大值.思路点拨(1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为、角一函数”的形式，然后求解函数 f(x)的单调区间.bc的最大值，最(2)首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出后代入三角形的面积公式即可求出 ABC面积的最大值.1 + cos

15、 2x+ 2规范解答(1)由题意知f(x) = sjn22x2sin 2x 1 sin 2x. c 1= sin 2x- 2.(3 分)由尹 2k 庐 2xW2+ 2k Tt, kCZ,可得：+ k 后 xw：+ k% kCZ； (4 分)由 2+ 2k 后 2xw 沪 2k Tt, kC Z,可得:+ k 庐 xwp k 兀 kC Z,所以f(x)的单调递增区间是兀 .兀.,3 + k Tt, 4 + ku （kC Z）； （5 分）单调递减区间是 4 + k兀，竽+ k兀（kCZ）. （6分）A . 一 11（2）由 f2=sin A 5=0,得 sin A=, 由题意知A为锐角，所以co

16、s A = #.（8分） 由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccos A, （9 分） 可得 1 +V3bc= b2+c2>2bc, （10 分） 即bcW2 + 43,且当b=c时等号成立.1 2+V3八因此 2bcsin Aw -4.（11 分）所以4ABC面积的最大值为2+43.（12分）模板形成跟踪练习已知函数 f(x) = 243sin xcos x+ 2cos2x 1(xC R).兀 r , ur ,一 ur r d求函数f(x)的最小正周期及在区间0, a上的最大值和最小值；兀 一 6,、_，(2)已知 ABC为锐角三角形，A=-,且f(B) = -,求cos 2B的

17、值.35解：(1)由 f(x)=2"73sin xcos x + 2cos2x1 得f（x）= gsin 2x+cos 2x=2sin 2x+所以函数f(x)的最小正周期为兀兀兀 兀因为f(x) = 2sin 2x+ 6在区间0, g上为增函数，在区间 万上为减函数,兀兀又f(o)= i, f6 = 2, f2 = i,一一.兀.一一 .一所以f(x)在区间0, 2上的最大值为2,最小值为一1.(2)因为4ABC为锐角三角形，且 A = 60 °,兀0<b<5，所以 °0<C = 73 B< 2,一 一 兀 兀 兀一兀 7兀即 B 65 2

18、，所以 2B+6c 2,.,.兀 6由(1)可知 f(B)=2sin 2B+6 =5,r兀 3兀 4即 sin 2B + g =己，cos 2B+g = - 5,兀 兀所以 cos 2B= cos 2B+g6 =cos 2B+ g cosg + sin 2B + g sing3-4 310课时G! N7ONG JiANC!,跟踪检测;杏弼朴缺A组考点能力演练则 cos1 2 3 V11. (2015洛阳统考)已知sin 2a=",3_2B.-3.1A.-3解析：.cos2a_51 + cos 2(X- 兀24 =21 + sin 2 .cos2二=24-3.答案：D2,已知2sin0

19、+ 3cos 0= 0,则 tan 2 0=(a.912B.59C.55D.123解析：2sin 0+ 3cos 0= 0, .tan 0= 2,-3_ 2tan 0. tan 2 0= 不二1 tan1 2 02* 2 建9=51-4答案：B243. sin 2 a=0< a<2：,贝U -2cos1A.5B.7C.5D.一5解析：因为 C兀-c .sin 2 a= cos 2 - 2 a = 2cosa - 1,所以 42cos : a = H + sin 2 % 因为 sin 2 a= 25,所以 mcos 4 a = g,因为 0< 必2,所以：<：a<j

20、,所以 42cos : a75.答案：C4. (2015太原一模)设4 ABC的三个内角分别为 A, B, C,且tan A, tan B, tan C,2tan B成等差数列，则 cos(B-A)=()3 .'1010B 近B-10C. 103 10D下解析:3由题悬得tan C= 2tan B,1tan A = tan B,所以 ABC为锐角二角形.又 tan A=一tan C + tanBtan(C + B)=1 tan CtanB52tan B1 3tan2B1= 2tanB,所以 tan B=2,tan A=1,所以 tan(B tan B tan A 2 1A)=1 + t

21、an Btan A1 + 2X11.因为B>A, 3所以3 ,10 cos(B-A)= io ,故选D.答案:5.若LT兀兀,且 3cos 2a= sin 一一4a ,则sin 2 a的值为(1 A.1817C.i8D.1718解析：依题意得3(cos2 a sin2 a)=222 (cos a sin o), cos a+ sin a= g ,2(cos a+ sin a)6q2=8q，即 1+sin 2 a= 18，sin 217a= - 18，故选 D.答案：Dsin250 °6计算彳sin 10g 己sin250 °解析：1 + sin 101 cos 100

22、2 1 + sin 101-cos 90 + 10°1 + sin 102 1 + sin 102 1 + sin 1012.答案：27.化简sin2+加2计6一而0的结果是解析：法原式=兀1 cos 2 a T3,c ,包1 cos 2a+ 3一sin2 a1工=1 1 2 cos 2 a 3 + cos2 a+ 7 sin2 a =1cos 2 a cosf sin33cos 2 a1 21 cos 2 a 12 =2111法.：令a= 0,则原式=4 + 4=2.,1答案：28.设 sin 2 a= sin a, a 2,兀，则 tan 2 a 的值是解析：. sin 2 a=

23、 2sin1- cos a= 一 2 ,又 aC 2，兀，- sin2tan a. tan 2 a= 2 =1 tan a答案：3acos a= 一-2.3_兀一9.设函数 f(x) = sincox+ sin cox / , xCR. 1若3=5,求f(x)的取大值及相应 X的集合；(2)若x=8是f(x)的一个零点，且 0<3<10,求3的值和f(x)的最小正周期.解： 由已知：f(x) = sin 3 x cos 3 x=巾sin w x 4 .若 co=；,则 f(x)=72sin 1x4.1又 x C R,贝U sin x 4 < 2(2,匚, 1 兀兀. f(x)

24、max= V2,此时 2x 4= 2k7t+ 2，kC Z,即 xC xx=4kjt+ 27, kCZ .(2) -. x=)是函数f(x)的一个季点, 8. .曲in 8c-4 = 0,8°- 4=k %k Z,又0<co<10,，3=2, .XxXasinZx4,此时其最小正周期为10. (2016沈阳模拟)已知函数f(x) = sin x-73cos x+2,记函数f(x)的最小正周期为3,向量 a= (2, cos 0), b= 1, tan a+2 0< K4 ,且 a b = 3.求f(x)在区间 亨，432t上的最值；(2)求 2cos2s1n 2 &

25、quot;+ 3 的值. cos a sin a解：(1)f(x) = sin x43cos x+2=2sin x 3 + 2,.xe 2f，435 , ,x3£ :兀,f(x)的最大值是4,最小值是2.(2) .片 2兀,ab=2 + cos atan( a+ 7) = 2+ sin a=(,32cos2 a sin 2 a+ 3 2cos2 a sin 2 a2cos acos a sin acos a sin a=241-sin2 a= 432.B组高考题型专练x x x1. (2015 局考北东卷)已知函数 f(x) = 皿sin2cos2 /sin2.求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间& 0上的最小值.解：(1)因为 f(x)=sin x-乎(1 cos x)J2= sin x+ 4 ¥，所以f(x)的取小正周期为2兀.(2)因为一Tt<x<0,所以一3j5< x+4wj当x+