学案6空间向量及其运算

1、空间向空间向量及其量及其运算运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直直. 1.在高考中一般以选择、填空题的形式出现，属在高考中一般以选择、填空题的形式出现，属于低档题于低档题. 2.空间向量是一种重要的数学工具，空间向量的空间向量是一种

2、重要的数学工具，空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考在高考中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算；对解决探索性问题有独到之处计算；对解决探索性问题有独到之处. 1.空间直角坐标系的概念空间直角坐标系的概念 （1）OABCDABC是单位正方体是单位正方体.以以O为原点，为原点，分别以射线分别以射线

3、OA,OC,OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC,OD的长为单位长，建立三条数轴的长为单位长，建立三条数轴:x轴、轴、y轴、轴、z轴轴.也就建立了一个空间直角坐标系也就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点，其中点O叫做坐标原点，叫做坐标原点，_叫做坐标轴叫做坐标轴.通过每通过每两个坐标轴的平面叫做两个坐标轴的平面叫做_,分别称为分别称为xOy平平面、面、yOz平面、平面、zOx平面平面.x轴、轴、y轴、轴、z轴轴 坐标平面坐标平面 (2)在平面上画空间直角坐标系在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使时，一般使xOy=_，yOz=_. 2. 2.空间向量空间向量 与

4、平面向量一样，在空间，我们把具有与平面向量一样，在空间，我们把具有_和和_的量叫做的量叫做 空间向量，向量的空间向量，向量的 叫做向量的长度或模叫做向量的长度或模. 大小大小 方向方向 大小大小 90 135 3.共线向量（1）共线向量的定义）共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线的直线 ，则这些向量叫做共线，则这些向量叫做共线向量或平行向量向量或平行向量.（2）共线向量定理）共线向量定理对于空间任意两个向量对于空间任意两个向量a,b(b0)，ab的充要条件是的充要条件是存在实数存在实数,使使 .互相平行或重合互相平行或

5、重合 a=b 4.共面向量（1）共面向量的定义：）共面向量的定义：通常把通常把 的向量，叫做共面向量的向量，叫做共面向量.（2）共面向量定理：）共面向量定理：如果两个向量如果两个向量a,b不共线，则向量不共线，则向量p与向量与向量a,b共面的充共面的充要条件是存在唯一的实数对要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使，使p=xa+yb.平行于同一个平面平行于同一个平面 5.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念）数量积及相关概念 两向量的夹角两向量的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a,b，在空间任取一点，在空间任取一点O，作，作OAa,OB=b,则则AOB叫做向

6、量叫做向量a与与b的夹角，记作的夹角，记作_，其范围是，其范围是_，若，若a,b= ,则称则称a与与b_,记作记作ab. 互相垂直互相垂直 0a,b 2 两向量的数量积两向量的数量积已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量a,ba,b, ,则则_叫做向量叫做向量a,ba,b的数量积，记作的数量积，记作_，即即_._.（2 2）空间向量数量积的运算律）空间向量数量积的运算律结合律：（结合律：（aa）b b_._.交换律：交换律：a ab b=_;=_;分配律：分配律：a a（b+cb+c)=_.)=_.|a|b|cos ab=|a|b|cosa,b ab(ab) ab + ac ba 6.空间向

7、量的坐标表示及应用空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算）数量积的坐标运算设设a=（a1,a2,a3),b=（b1,b2,b3),则则ab_.（2）共线与垂直的坐标表示）共线与垂直的坐标表示设设a=（a1,a2,a3),b=（b1,b2,b3),则则ab _, _, _,_,ab _ _（a,b均为非零向量均为非零向量).a1b1+a2b2+a3b3 a=b a2=b2 a3=b3 a1b1+a2b2+a3b3=0 a1=b1 ab0 （3）模、夹角和距离公式）模、夹角和距离公式设设a=（a1,a2,a3),b=（b1,b2,b3),则则a= =_.cosa,b= =_.设设A（a1,

8、b1,c1）,B（a2,b2,c2),则则dAB= =_.2 23 32 22 22 21 12 23 32 22 22 21 13 33 32 22 21 11 1b bb bb ba aa aa ab ba ab ba ab ba a+aa baba AB232221aaa 212212212)c-(c)b-(b)a-(a 如图所示，在平行六面体如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是分别是AA1，BC，C1D1的的中点，试用中点，试用a，b，c表示以下各向量：表示以下各向量：(1) AP;(2) A1N;(3)MP+NC1

9、.（1）P是是C1D1的中点，的中点，AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ D1C1=a+c+ AB=a+c+ b.(2)N是是BC的中点的中点,A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC=-a+b+ AD=-a+b+ c.根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可算律即可.2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1（3）M是是AA1的中点，的中点，MP=MA+AP= A1A+AP=- a+a+c+ b= a+ b+c，又又NC1=NC+CC1= BC+AA1= AD+AA1= c+a，MP+NC1= a+ b+c

10、+a+ c= a+ b+ c.2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 23 32 23 3用已知向量来表示未知向量用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和等首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则们可

11、把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立法则在空间仍然成立.由线段中点的向量表示式，得由线段中点的向量表示式，得OG=OM+MG=OM+ MN= OA+ （MO+OC+CN）= a+ - a+c+ (b-c)= a- a+ c+ b- c= a+ b+ c.已知空间四边形已知空间四边形OABC中，中，M，N分别是对边分别是对边OA，BC的中点，点的中点，点G在在MN上，且上，且MG=2GN，设，设OA=a,OB=b,OC=c,试用基底试用基底a，b，c表示向量表示向量OG.

12、2 21 13 32 23 32 22 21 13 32 22 21 12 21 12 21 13 31 13 32 23 31 13 31 16 61 13 31 13 31 1如图如图,已知已知E,F,G,H分别是空间四边形分别是空间四边形ABCD的边的边AB,BC,CD,DA的中点的中点.（1）求证：）求证：E,F,G,H四点共面；四点共面；（2）求证：）求证：BD平面平面EFGH；（1）要证）要证E,F,G,H四点共面，可寻求四点共面，可寻求x，y使使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行，进而由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行得到线面平行.（1）如图）如图,连接连接

13、BG，则，则EG=EB+BG=EB+ (BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知：由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面四点共面.（2）因为）因为EH=AH-AE= AD- AB= (AD-AB)= BD，所以所以EHBD.又又EH平面平面EFGH，BD平面平面EFGH，所以所以BD平面平面EFGH.2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1 (1)证明共线问题的方法证明共线问题的方法若若A,B,C共线，则存在唯一实数共线，则存在唯一实数x使使AB=xBC. (2)证明共面问题的方法证明共面问题的方法若若P,A,B,C共面，则存在实数共面，则

14、存在实数x,y，使，使AP=xAB+yAC. (3)证明线证明线面时，可证明线所在向量面时，可证明线所在向量a能用面内能用面内不共线向量不共线向量b,c表示表示,即即a=xb+yc，或，或a与面内向量与面内向量d满足满足ad.如图如图,平行六面体平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F，G分别分别是是A1D1，DD1，D1C1的中点，请选择适当的基底向量的中点，请选择适当的基底向量证明：证明：（1）EGAC；（2）平面）平面EFG平面平面AB1C.:(1)取取AB=a,AD=b，AA1=c为一组基底，为一组基底， E，F，G分别是分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，的中点， EG=

15、ED1+D1G= （a+b），）， AC=AB+BC=a+b，EG= AC，即，即EGAC，从而从而EGAC. (2)由（由（1）EGAC，同理可得，同理可得EFB1C，又，又EGB1C=C, 平面平面EFG平面平面AB1C.2 21 12 21 1如图，在棱长为如图，在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，G为为BC1D的重心的重心.（1）试证）试证A1,G,C三点共线；三点共线；（2）试证）试证A1C平面平面BC1D;（3）求点）求点C到平面到平面BC1D的距离的距离. 【分析【分析】 (1)即证即证CGCA1.(2)可证可证CA1BC1=0,CA1BD=0.(3)利用利

16、用CG= CA1可求可求.31 【解析【解析】（1）证明：）证明：CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1.CG=CC1+ (C1B+C1D)= (CB+CD+CC1)= CA1,CGCA1,即即A1,G,C三点共线三点共线.32213131（2）证明：设）证明：设CB=a,CD=b,CC1=c,则则|a|=|b|=|c|=a,且且ab=bc=ca=0.CA1=a+b+c,BC1=c-a,CA1BC1=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0,CA1BC1,同理可证，同理可证，CA1BD.又又BDBC1=B,因此因此A1C平面平面BC1D. (3)由（由（2）知，）知，A1C平面平面BC

17、1D，则，则C到平面到平面BC1D的的距离为距离为|OG|, 由（由（1）知）知CG= CA1, CA1=a+b+c,CA12=a2+b2+c2=3a2,即即|CA1|= a,因此因此|CG|= a.31333用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量求向量m和和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量标向量m和和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积

18、用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式及长度，最后利用公式cos=(2)由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中是思维中的常见障碍，在向量性质中|a|2=aa提供了向量提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题. .| |n n|m m| |mnmn已知一个已知一个60的二面角的棱上有两点的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在分别是在这两个面内且垂直于这两个面内且垂直于AB的线段的线段.又知又知AB=4,AC=6,BD=8,求求:(1